《微积分》同步练习册解析.docx
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《微积分》同步练习册解析
第五章不定积分
§5.3凑微分法和分部积分法
3
x
(9)dx;
1x2
(10)
sinxcosx,dx;■.2-3cos2x
(第5.1〜5.2节的内容,请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料)
1.求下列不定积分:
(1).e^dx;
(2)
1
f八・
idx;
xlnx
X—12*
⑸ydx;⑹sin21-2xdx;
'1+2x—x
5.求下列不定积分:
2
(1)已知f(x)是e*的一个原函数,求.xf(x)dx;
(5)sinInxdx;(6)1x2dx.
2
⑵已知e^是f(x)的一个原函数,求xf(x)dx.
1.求下列不定积分:
§5.4换元积分法
(5)..xcos.,xdx;
dx;
1-2x3
-
⑹edx;
98
x
dx
101
1-
2x
¥dx;
1
⑷J―dx;
X』1一X
2*.求不定积分
2sinxcosx
sinx「cosx
dx.
4*.已知f(Inx)二ln(1x),求f(x)dx.
x
3*.试求不定积分
Inx-1
(Inx)2
dx
第六章定积分
§6.1定积分的概念与性质
31Jt
(3){sinxdx与.02xdx;
JtJI
(4)o4tanxdx与./xdx.
1.利用定积分的几何意义,计算下列定积分:
2
(1)J°|x-1dx;
1
(2)sinxdx;
■--1
2
3.利用定积分的性质,估计
2一
Ixedx的大小
'0
⑶丁1-x2dx.
2.不计算积分,比较下列各积分值的大小(
指出明确的“■,J=”关系,
并给出必要的理由)
(1)
121oxdx与oxdx;
222
(2)1xdx与1xdx;
1
4.设fx在区间01上连续,在0,1内可导,且满足f1=3,fxdx,
试证:
在o,1内至少存在一点•,使得厂=0.
5.试判断下列定积分是否有意义
“可积”),并说明理由•
(即,被积函数在相应的积分区间上是否
r2
x
2,
x=1
x=1
6*.根据定积分的定义,试将极限lim—sin二+si…+sii表
nYnInnnJ
达为定积分的形式(不需要计算出具体的数值结果):
§6.2微积分基本定理
1求下列函数关于x的导数:
x1/t1t2
⑴J(2—sin3t)dt;
(2)J_tedt;
1'x
x2
3.求函数f(x)=J0(u-2)e」du的极值点.
(3)[et2dt;
■x
*x
(4)iix-tsintdt.
*0
4.计算卜列定积分:
21+X3
(1).“23dx;
'xx
211
(2)仁2sindx;二xX
2.求下列极限:
\17
1
叫
Hx
uduna
1x1
(2)Hmo-f0a+2u>du;
(3)
兀
—cosxdx;
2
min"1,x2』dx;
^2
Jo(1-cos%'u)du.
(5)
2
1fxdx,其中
-A
f(x)=«
-2xxe
xe,
x:
:
1
x_1
6*•试利用定积分的定义及计算原理求解数列极限limSn,其中
Sn
+
2n12n2
2nn
b
(6).:
xdx,其中b为常数.
5.设fx在0,1上连续,且满足fx二-2x30fxdx,试求fx.
§6.3定积分的换元积分法与分部积分法
(5)sinx-sin3xdx.
J0
1.试利用定积分的换元法计算下列积分:
In222
(1)ex-1dx;
(2).x-1x1dx;
*0・1
2.利用函数的奇偶性计算下列定积分:
-1
(1)2一sin2xlnxTx2dx;
(2)x53x2-x.1x2dx.
1
2
3.设fx是R上的连续函数,试证:
对于任意常数a0,均有
;x3fx2心
a2
0xfxdx.
X
4*.设fX是R上的连续函数,并满足°fX-te^dt=X2,试求fX•
试计算q2fxdX,其中
兀
sint
t
dt.
5.利用定积分的分部积分法计算下列积分:
尹12
(1)4xsinxdx;
(2)In1x2dx;
7*.已知fX是R上的连续函数,试证:
(0”0f("Jdt.
e2
(3)cosInxdx.
‘1
§6.4定积分的应用
1.计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积:
3
(1)y=x-4x,y=0;
(2)y=x,y=x,y=2x.
3.求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积:
41“
(1)xy1,y=0,x,x=1;绕x轴,
4
2
2.假设曲线y=1-x0乞x乞1、x轴和y轴所围成的区域被曲线y=ax2a0分为面积相等的两部分,试确定常数a的值.
(2)y=X3,y=0,X=2:
(i)绕x轴
(ii)绕y轴
5.已知某产品在定价p=1时的市场需求量Q=a,在任意价格p处的需
b
求价格弹性为Ep-,其中a0,0均为常数,Q为产品在价格p处
的市场需求量。
试求该产品的市场需求函数Q二Qp.
4.已知某产品的固定成本为50,边际成本和边际收益函数分别为
MCq二q2-4q,6,MRq=105-2q,其中q为产品的销售量(产
量),试求最大利润.
§6.5反常积分初步
1.判定下列无穷限积分的敛散性;若收敛,则求其值.
0
(1)_J-xqdx(q为常数);
(2)°edx(k为常数);
(3)
耘sinx
--1cos2x
dx(其中,
q,k均为常数)
*
(2)
0arctanudu
..1x2
3.判定下列积分的敛散性;若收敛,则求其值.
2
(1)h(x-1)kdx,k为常数;
2.求下列极限:
.Adtlim一t'dt
1
(2)o1nxdx;
(3)
dx.
x、1-ln2x
5•计算下列反常积分(提示:
利用「函数的定义,以及F-j的结果)<2)
—3
(1)ex2dx;
'0
X22
(2)0exdx.
4.利用-函数和2函数的性质,以及
m3.5,3.
6*.考察曲线y=—基,1,址),试求解:
xJx
(1)该曲线与x轴和直线X=1所围成的平面图形的“面积”
(2)上述图形绕x周旋转一周所成旋转体的“体积”.
(3)由寸二x、y=x-2所围成的区域.
第七章多元函数微积分学
§7.1预备知识§7.2多元函数的概念
1.已知点A(4,1,2),在ox轴上找出与点A相距.30的点B.
4.
2.求过点(1,0,3),(2,-1,2),(4,-3,7)的平面方程.
求下列函数的定义域并画出定义域的示意图:
2
(1)z二arcsin」—InIn(14一4x2-y2);
2
3.分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式:
(1)由y=x、x=2、y=1所围成的区域;
(2)
2
(2)由y二x、y=2所围成的区域;
y22
5.设f(x-y,)=x-y,求f(x,y).
x
*4xy2,x,y]〔0,0
7•设f(x,y)= 卫,(x,y)=(0,0) 连续性. 6•试求下列二元函数的极限: (1) (肿,0) (2) (x,y 22 xy xy e (2)z=cos―y,求zx; x一y §7.3偏导数与全微分 1.求下列函数在给定点处的偏导数: (1)Z=x;x2—y3,求Zx(1,2),Zy(1,2); (3)z=(xsiny)xy,求 ;: z (4)u=(1xy)z,求Ux(1,2,3),Uy(1,2,3),Uz(1,2,3). f(x,y)在(0,0)处 x2y 22 3.设f(x,y)二二xy d 是否连续、是否存在偏导数. x2y2=0 ,分别讨论 x2y2二0 2.求下列函数的指定偏导数: (1)z=ln(x2y2),求二Z;ex 4.求下列函数的全微分: (1)z二Xyx; 7.已知一矩形的长为6米、宽为8米。 当长增加5厘米,宽减少时,求矩形对角线长度变化的近似值。 10厘米 22 5.求函数z=xyy在点(2,1)处的全微分. 503 6•计算1.06.的近似值. §7.4多元复合函数与隐函数微分法 1.求下列复合函数的偏导数或导数: 2 /、uczcz (1)z,u=x—2y,v=x2y,求一,一; vexcy (4)z=u-v2Inw,u=xy2,v=x-y,w=x2y2,求—- (2) u_2v・3 z=e,u=sinx,v=x, 求dz; dx 2.设z=f(x2-y2,exy),求三,一z•excy (3) -y dz 十2x-3,求匸; 3.设f(u)可导,z=xnf(」2),证明: x—2^-^=nz• xexcy (2)2xz-2xyzln(xyz)=0. 4.求下列方程所确定隐函数的导数dy: dx (1)xyIny-Inx=0; yx (2)x「y=1nxy. 5.求下列二元(三元)方程所确定的隐函数y二yx(z二z(x,y))的全 微分: (1)exy二arctan—;x §7.5高阶偏导数 4.设f(S,t)可微, u=f(2x+3y,ey4Z),求 ;: 2u "2 -.2-.2 、仃2丄2土OZCZ 1.设Z二xy,求一- dx -2-2 2czcz 2.设Z二sin(xy),求厂- exoyox 3 5.设z-2xzy=0, : 2z : 2 2CZ 3.设f(u,v)可微,z二f(xy,In(xy)),求——xy §7.6多元函数的极值 22 1.求f(x,y)二xy-xy-xy的极值. 4.求曲线■= r2 Z=X 、xy=1 y2 上到xoy平面距离最短的点. 2.求u=x-x2-y2在区域D'(x,y)|x2y2<1? 上的最大值与最 小值. 5.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品,商品在两个市场上的需求量与定价分别满足pi18-2qi,P2=12-q2,其中pi,P2分别 是该产品在两个市场上的价格(单位: 万元/吨),q1,q2分别是该产品在两个市场上的需求量(单位: 吨),且该企业生产这种产品的总成本函数为 C二2(q1q2)5。 如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上 该产品的销售量及统一的价格,使该企业的总利润最大化。 3.求z=xy在条件x2y=1,x,y_0下的最值. §7.7二重积分 1.将二重积分iifx,ydxdy按两种次序化为累次积分,其中积分区域D : 2 D12x-x222-x 分别给定如下: (3)0dx0f(x,y)dy.1dx0f(X,y)dy• (1)D由曲线y=x2与直线y=1所围成; (3)D由直线y=x,y=2x,x=3所围成. 3•计算二重积分: 22 (1)ii(xxyy)d;「; |x|勺,恥1 2.交换积分次序: 1~/x (1)0dxxf(x,y)dy; 2y2 (2)°dy『f(x,y)dx; (2)iiycos(xy)d;「; 0_x_二 0乞y乞x (3)yexydxdy,其中D由xy=1,x=2,y=1所围成. D 5.画出区域D,并把.1.1f(x,y)dxdy化为极坐标系下的二次积分: D (1)D='(x,y)|1乞x2y2二4; (2)D='(x,y)|2x乞x2y2乞. 4•计算累次积分: 112 (1)dxeydy; L0'x xsiny ⑵Jo叫瓷dy. 6.利用极坐标变换计算: (1)(x2y2)dxdy,D—(x,y)|-1乞y乞1,一2乞x乞一..1一y2[ D (2)(xy)dxdy. x2y2<4x *22 9•计算二重积分ii|xy-4|dxdy. x2+y2兰 7. 用二重积分计算曲线y=x2,y=.x围成的平面图形的面积. (2)若f(x),g(x)在[0,1]上均连续、单增,则 111°f(x)g(x)dx—.of(x)dx.og(x)dx. n ndn1 第八章无穷级数 §8.1常数项级数的概念和性质 □0 1.利用下列级数’二Un的部分和Sn,求5,u2和un以及和值S. n=1 n 3n23 (1)Sn■;⑵Snn~- n+14 ad 3.已知级数vUn收敛,且和值为S,证明: nV QO (1)级数7(Un1'Un2)收敛,且和值为2S-2g-U2;nV 2.判断下列级数是否收敛;若收敛,求其和值 ⑵级数v(Un;)收敛.nm2 判别下列级数的 4.利用无穷级数性质以及几何级数与调和级数的敛散性,敛散性: (1) 丄11 20、、20320 n20 Il: 孚; 23 242^6_2_ 3332533 QOQ0 5.给定级数7Un,有limS2n二a,lim.Un=0,试证级数7Un收敛,其nmn^^nm 和S=a. §8.2正项级数 2•利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性: 1禾U用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性: (1) 3n QO Z, 心(2n1)! ⑵二159: (4n-3); 心258(3n-1)' (1): 2nsin冷; n=15 oO ⑵'(n,4-1); n=1 □OA 7丄 2nnW2 ⑷二2n1tan2; nm4n ⑶ JI : : 1—cos— Z n4 ⑷皐2 1 _n2 In JTnn n「n; □0 ⑹、 n4 3n 4n-2n oO z nT n 2n! n n 4•假设正项级数van发散,试证: ni 匕;a匕]a 1)级数乩发散;2)级数? ^厂收敛. 心1+an心1+nan 'an收敛,则7a2与-均收敛. n=1ndn=1n 3*•证明: 若正项级数 §8.3任意项级数 1.判别下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散? (1) 、 (1)n ni 壬cosna ⑵Lk; 2.判别下列交错级数的敛散性: (1) nJn (1)nF; qQ ⑷、(—1)n(1—n3); n£ 11+」_1+…+1_1 .2-1.213-131、n-1n1 2 M(T)n°2n⑸ nin! 3.如果级数aUn绝对收敛,试证: n4 力n+1 (1)级数un绝对收敛; n吕n 级数并M]2收敛. n八n丿 §8.4幕级数 QO ⑵'n(n1)xn. n=0 5 : -2n—12n2: -2n—1 3•求幕级数斗—X收敛域及和函数,并求、斗1的和• n±22 •将下列函数展开成X的幕级数,并写明后者的收敛域 2 (1)f(x)—; (2)f(x)=3X; 1+X (3)f(x)二sin2x; (4)f(x)=In(4-3x). 4•已知级数van(2x-3)n在x=3时收敛,试讨论van(2x-3)n在以下 n£n£ 1 各点处的敛散性: (1)x=0; (2)x=2;(3)x;(4)x=4. 2 6•求下列函数在指定点的幕级数展开式,并求收敛域 1X (1)f(x),X°=2; (2)f(x)=e,Xo=-1・ 1+x 第九章微分方程初步 §9.1微分方程的基本概念 1.验证下列各函数是否为所给微分方程的通解: (1)yy,ym.xCe"; 3.验证函数y=1是否分别为: 1)微分方程y-2yy=1的解;2)初 值问题y”-2y: y=1,yO]=1,yO]=1的解: ⑵y9x=10cos2t,x=2cos2tC1cos3tC2sin3t; (3)x_2yy"=2x_y,x2-xyy2=C• 1 2.验证函数y是否为初值问题x1y0,y0=1的解: x十1 §9.2一阶微分方程 1.求下列方程的通解或在给定条件下的特解: (1)y=10xy;⑵xxydy7xyydx=0; 135: …d2n—1\ d设心二亍厂^",证明: 和函数yx满足微分方 (9)y_x「xV,y0" 程方程n2 ,并求yx• 第十章差分方程 §10.1差分方程的基本概念 1•计算下列差分: (1)yn=n—n,求△y.; ⑵yn=1n(n+2),求卜.- ⑵yn,1ynyn1=yn 1十Cn §10.2简单的一阶常系数差分方程的解法 求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解: (1)2yn1y^3n;⑵y1-2y^2n; 2.按教材P330定义10.2改写下列差分方程,并指出方程的阶数: (1)A2yn-5牧=3;⑵A3yn-3心yn-2yn=1• 3.验证以下是否为数列所给方程的解(其中,C为任意常数): n闻兀n兀n (1)yn二C3-0.3sin0.1cos,ynd-3yn二sin 222 2 ⑶2yn1-yn=2n,y。 =4. 【补充材料】 第五章不定积分(2011学年第一学期内容缩编) §5.1原函数与不定积分的概念 §5.2基本积分公式 c,2 2cosx, dx; 1cos2x (8)( 1X1-x 1-x'1X 1.已知一曲线经过点(1,2),且在其上任一点(x,y)处的切线斜率等于 (9) 广咬二4-J空2+4dx J81x4-16 4x,求曲线的方程 2.求下列不定积分: (1) 已知 f(x)dx =xe2x 1+2x C,求不定积分帀dx; (2) 已知 f(x)dx =arctanxC,求不定积分—dx; f(x) (3) 已知 f(x)dx 求不定积分(sinxcosx)3dx. 1f(x) 3.求下列不定积分: (1) ⑵「1丄x2 l)dx; x 2) (sinx- ■1 七)dx; (3) (2xx1)2dx; 4) 12x2 x2(1x2)dx, (5) 6) 1-sin2x.dx;cosx-sinx 第五章自测题 [C] f(X)-F(x)=1 [D] -J-J —F(x)dx二一f(x)dxdxdx 5. 下列等式中不成立的是[ ]. [A] [(x_1)dx]=x_1 [B] d[secxdx]=secxdx [C] (tanx)dx二tanx [D] 2x2xi deeC 6. cosxdarcsinx]亠iarcsinxd( cosx]=[]. [A] sinxarccosx [B] sinxarccosxC [C] cosxarcsinxC [D] cosxarcsinx 7. 设f(x)dx=F(x)c, 且x= atb,则f(t)dt=[]. 一、选择题 1设f(x)dx=x2c,则 [A]-2(1_x2)2c 122 [C](1-x)c 2 2.d(sin(1-2x))=[]. [A] sin(1-2x) [C]-2cos(1-2x)C xf(1-x2)dx的结果是[] 22 [B]2(1-X)c 122 [D];(1-X)c 2 [B] sin(1-2x)C [D]-2cos(1-2x) e-1 3设、(hdx,则T].
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