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圆形磁场一个有用结论
圆形磁场一个有用结论
磁场专题一:
带电粒子在圆形匀强磁场中运动的一个结论
在教学过程中发现有这样的问题:
一个圆形匀强磁场区域,带电粒子从圆周上一点沿垂直于磁场方向射入磁场,若计算得粒子的轨道半径与圆形磁场区域半径相同,则这些粒子将沿什么方向射出磁场?
如图1所示,一带电粒子以任意角
从圆周上一点O沿垂直于磁场方向射入磁场,若粒子的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时,轨道圆弧与磁场区域圆弧对应的两条半径线组成平行四边形(即四边形OO1AO2为平行四边形),带电粒子的速度方向总垂直于半径,因此带电粒子射出磁场时速度方向都平行于射入点磁场区域圆的切线(即平行于y轴),所以所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场。
结论:
圆形匀强磁场区域,带电粒子从圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场,当带电粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时,所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场;相反,若带电粒子以平行的速度射入磁场,这些带电粒子在磁场中做圆周运动将会聚通过平行速度方向的圆形区域切线与圆的切点。
例1如图2所示,真空中有(r,0)为圆心,半径为r的圆柱形匀强磁场区域,磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,在y=r的虚线上方足够大的范围内,有方向水平向左的匀强电场,电场强度的大小为E,从O点向不同方向发射速率相同的质子,质子的运动轨迹均在纸面内,设质子在磁场中的偏转半径也为r,已知质子的电量为e,质量为m,不计重力及阻力的作用,求
(1)质子射入磁场时的速度大小。
(2)速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子,到达y轴所需的时间。
(3)速度方向与x轴正方向成30°角(如图中所示)射入磁场的质子,到达y轴的位置坐标。
解:
(1)质子射入磁场后做匀速圆周运动,有
①
可得
②
(2)质子沿x轴正向射入磁场后经1/4圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场,在磁场中运动的时间
③
进入电场后做抛物线运动,沿电场方向运动r后到达y轴,因此有
④
时间为
⑤
(3)质子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场,如图3所示。
P点距y轴的距离
⑥因此可得质子从进入电场至到达y轴所需时间为
⑦
质子在电场中沿y轴方向做匀速直线运动,因此有
⑧质子到达y轴的位置坐标为
例2如图4所示的直角坐标系中,在直线x=-2L0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向,x轴下方的电场方向沿y轴正方向.在电场左边界上A(-2L0,-L0)到C(-2L0,0)区域内,连续分布着电荷量为+q、质量为m的粒子.从某时刻起由A点到C点间的粒子,依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场.若从A点射入的粒子恰好从y轴上的
(0,L0),沿x轴正方向射出电场,其轨迹如图中虚线所示.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求:
(1)求匀强电场的电场强度E;
(2)求在AC间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x轴正方向运动?
(3)若以直线x=2L0上的某点为圆心的圆形区域内,分布着垂直于xoy平面向里的匀强磁场,使沿x轴正方向射出电场的粒子,经磁场偏转后,都能通过直线x=2L0与圆形磁场边界的一个交点处,而便于被收集,则磁场区域的最小半径是多大?
相应的磁感应强度B是多大?
解:
(1)从A点射出的粒子,沿x轴方向一直做匀速直线运动,沿y轴方向先匀加速,后匀减速到零,根据运动轨迹和对称性可得
x轴方向
①
y轴方向
②
③
联立①、②、③,解得
(2)粒子的运动具有周期性.设从距离C点y处射出的粒子通过电场后将沿x轴正方向射出,粒子第一次到达x轴用时为t1,则有
④
⑤
⑥
联立④、⑤、⑥,解得满足条件的粒子纵坐标为
(3)根据上式可知:
当n=1时,粒子射出时纵坐标为y1=L0
当n=2时,粒子射出时纵坐标为
当n≥3时,沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间.
这些粒子从不同位置以同样的方向进入圆形磁场,最后会聚到一点,从图5中可知,粒子的运动半径与磁场圆的半径应相等.
由y1到y2之间的距离为
磁场的最小半径为
由
得
磁场专题二:
带电粒子在三角形匀强磁场中运动的一个结论
1.
如图12所示,边长为L的等边三角形abc为两个匀强磁场的理想边界,三角形内的磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,三角形外的磁场范围足够大,方向垂直纸面向里,磁感应强度大小也为B。
把一粒子源放在顶点a处,它将沿∠a的角平分线发射质量为m,电荷量为q,初速度为
的带负电粒子(粒子重力不计),带电粒子第一次到达b点的时间是________,第一次到达c点的时间是____________,
2.空间存在两个匀强磁场,它们分界线是边长为3L的等边三角形APC,D、E、F三点分别在PC、CA、AP边上,AF=PD=CE=L,分界线两侧的磁场方向相反且垂直于纸面,磁感应强度大小都为B,分界线外的磁场区域足够大。
现有一质量为m、电荷量为q的带正电离子(不计重力),从F点以速度v向三角形内射入。
(1)如果速度v方向与PC边平行,离子第一次到分界线就经过D点,则磁感应强度B的大小是多少?
(2)如果改变B的大小和速度v的方向(速度v的方向均在纸平面内),使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点,求离子周期性运动的周期。
(3)再改变磁感应强度B的大小和速度v的方向(速度v的方向均在纸平面内),能否仍使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点?
为什么?
(1) 带电离子的运动轨迹如图所示, 可得圆周运动的半径
[2分]
根据洛仑兹力提供向心力,可得
[1分]
由上二式可得
[2分]
(2)连接D、E、F,可得DDEF是等边三角形,当离子沿ÐDFE的角平线方向射入时, 离子才能依次经过D点、E点,其运动的各段轨迹依次是a、b、c、d、e、f.回到F点, 完成一个周期运动, 如右下图所示.
画出a段圆孤的圆心O,由几何关系可知,DFOD也是等边三角形,所以圆孤半径
R = OF = FD =
[3分]
离子一个周期运动的路径为3个圆的周长,所以其运动周期
[8分]
(3) 不可能. [2分]
右图中三个圆相切是满足题中要求的必要条件, 再改变B的大小和v的方向, 圆半径R将改变, 半径R无论变大还是变小, 三圆总是相交, 不可能再相切, 所以不可能.[4分]
如图所示,空间存在两个匀强磁场,其分界线是半径为R的圆,两侧的磁场方向相反且垂直于纸面,
磁感应强度大小都为B。
现有一质量为m、电荷量为q的带正电离子(不计重力)从A点沿OA方向射出。
求:
(1)离子在磁场中做匀速圆圈运动的周期;
(2)若向外的磁场范围足够大,离子自A点射出后在两个磁场不断地飞进飞出,最后又能返回A点,求其返回A点的最短时间及对应离子的速度。
(3)若向外的磁场是有界的,分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域,上述离子仍从A点沿OA方向射出,且微粒仍能返回A点,求其返回A点的最短时间。
(可能用到的三角函数值:
sin370=0.6,cos370=0.8)
(1)根据带电粒子在磁场中运动规律,可得
求出:
(2)如图,离子从A点射出后,分别一次进出向里的磁场返回A所用时间最短,
最短时间
将
代人得:
由图可知:
(1分)由向心力公式得:
由以上两式可得:
(3)如图由几何知识可知离子运动轨迹不超出边界须有:
≤ 2R 得
≤
如图有:
即:
≤
解得:
n≥4.86
由于n要取整数,所以n=5时,离子返回A的时间最短
由离子轨迹得:
将
代人上式得:
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