生产线问题论文设计数学建模.docx

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生产线问题论文设计数学建模

海事大学2012年数学建模竞赛

乙组论文

生产线问题

2012年11月11日

摘要

本题是一个生产线问题，要求通过题目给出的表格数据对其生产模式的各方面进行研究讨论。

第一问要求生产工序、各机器的布局和生产速度，对不同的机器布局来说，其生产速度与生产线生产速度之间关系也不同，再由各机器速度档级组合与生产线速度之间的限制关系（表2）可以推理出此题。

第二问要求各机器速度档级组合与整条生产线生产速度的关系式也可以由第一问的推理答案得出。

第三问要求找出一种既赚钱又节能的生产模式，通过对比各速度档级组合的能耗与相应整条生产线生产速度，剔除生产速度相同但能耗多的档级组合，再对剩余档级组合的生产效率（生产速度/能耗）进行比较分析，确定一种既赚钱又节能的生产模式。

第四问要求制定一个“重要性指标”来评价每台机器对整条生产线的重要性，则根据“部分速度对整体速度限制越大越重要，部分能耗在整体能耗比重越小越有价值”的原则，对每个档级组合分别按速度、能耗的比例分配单位重要性，从而得到重要性指标集，再通过运算得到各机器的重要性指标。

关键词：

生产线问题，速度关系，生产效率，重要性

1.问题重述：

生产线问题

自动化生产线上生产设备的布局，既要考虑工序的安排，又要考虑生产效率。

现有一条小型的日用品自动生产线，它由A、B、C三台机器组成，每台机器具有2~3个档级的生产速度（产品数/小时），每个速度档级的能耗也有较大差异。

已知三台机器的速度档级和相应的能耗如表1所示，各机器速度档级组合与整条生产线生产速度（产品数/小时）之间的关系如表2所示。

问题一：

请指出这种日用品生产的工序安排，以及三台机器在整条生产线上的布局，并求出各机器每个档级的生产速度。

问题二：

请给出各机器速度档级组合与整条生产线生产速度之间的关系式。

问题三：

建立数学模型，并求出一种既赚钱又节能的生产模式。

问题四：

你能否制定一个“重要性指标”，以这个指标来评价每台机器对整条生产线的重要性？

表1各机器的速度档级及相应能耗

机器

A

B

C

生产速度

第１档级

3千瓦/小时

3千瓦/小时

2千瓦/小时

第2档级

5千瓦/小时

6千瓦/小时

3千瓦/小时

第3档级

/

/

4千瓦/小时

表2各机器速度档级组合与生产线生产速度之间的关系

A机器

B机器

C机器

整条生产线生产速度

（产品数/小时）

1档

1档

1档

300

1档

1档

2档

400

1档

1档

3档

400

1档

2档

1档

300

1档

2档

2档

600

1档

2档

3档

600

2档

1档

1档

300

2档

1档

2档

500

2档

1档

3档

500

2档

2档

1档

300

2档

2档

2档

600

2档

2档

3档

700

2.基本假设与符号约定

为了简化问题和方便讨论，除问题中给出的假设外，我们进一步做如下的假设和说明：

（1）假设各机器各档级的生产速度和能耗都是相互独立的，不受外界自然因素和人为因素的影响，各机器彼此之间也没有影响。

（2）假设各生产品在各机器之间的运输不花费时间和能耗。

（3）假设生产线生产速度和能耗仅由各机器的生产速度和能耗决定，没有额外生产速度的损失和能耗的增加。

（4）假设各机器的生产速度以及整条生产线的生产速度不会影响产品利润，产品数与利润呈线性关系，即赚钱多少只由产品数来衡量。

在此，我们也约定文中所用符号如下：

（1）Ai、Bi、Ci（i=1，2，3）分别表示第i档级的机器A、B和C。

（2）vA、vB、vC分别表示机器A、B、C的生产速度。

（3）v表示整条生产线的生产速度。

（4）vAi、vBi、vCi（i=1,2,3）分别表示第i档级的机器A、B、C的生产速度。

（5）Vi（i=1，2，…，11，12）表示第i组档级组合的整条生产线生产速度。

3.问题的分析

本题是一个生产线问题，要求通过题目给出的两个表格数据对其生产模式的进行讨论研究。

显然，机器在整条生产线上布局的不同导致了各机器生产速度对整条生产线生产速度的影响的不同，即它们的速度间有不同的函数式，而机器在整条生产线上的布局种类又是少量、可列的，速度间的函数式也是简单可求的。

因此，可以通过各机器速度档级组合与生产线速度之间的关系（表2）对这几种布局方式进行定量的推理，得出一种或几种符合函数关系的布局方式即生产模式，各机器各档级的速度，为下面问题的求解提供基础，再根据各问题的具体要求进行讨论求解。

4.模型的建立

根据分析，类比于电路的连接方法，机器有4种布局种类：

3个机器串联，3个机器并联，2个机器串联再与第3个机器并联，2个机器并联再与第3个机器串联。

机器相当于电路元件，生产速度相当于允许通过电路的最大电流。

如图所示为所有的连接方式和相应的函数关系：

V=min{vA，vB，vC}

V=vA+vB+vC

V=vA+min{vB，vC}

V=vB+min{vA，vC}

V=vC+min{vA，vB}

V=min{vB+vC，vA}

V=min{vA+vC，vB}

V=min{vA+vB，vC}

5.模型的求解

5.1问题一

5.1.1串联方式

对于串联方式，参照表2，由函数关系得：

V6=min{vA1，vB2，vC3}=600；V9=min{vA2，vB1，vC3}=500；V11=min{vA2，vB2，vC2}=600；

相应可得，vA1≥600；vB1≥500；vC2≥600，则必有min{vA1，vB1，vC2}≥500。

然而由表2，V2=min{vA1，vB1，vC2}=400，与此矛盾，所以三台机器不是串联方式。

5.1.2并联方式

对于并联方式，参照表2，由函数关系得：

V2=vA1+vB1+vC2=400；V3=vA1+vB1+vC3=400；

这显然是不成立的，所以三台机器不是并联方式。

5.1.3先串后并方式

若B、C串联后与A并联，则有函数式V=vA+min{vB，vC}。

参照表2，

V1=vA1+min{vB1，vC1}=300；V2=vA1+min{vB1，vC2}=400；

可得V1=vA1+vC1=300。

同理，

V7=vA2+min{vB1，vC1}=300；V8=vA2+min{vB1，vC2}=500；

可得V7=vA2+vC1=300。

显然是矛盾的，所以三台机器不是此种连接方式。

同理可得A、C串联后与B并联，以及A、B串联后与C并联都不符合条件。

5.1.4先并后串方式

若B、C并联后与A串联，则有函数式V=min{vB+vC，vA}。

参照表2，

V1=min{vB1+vC1，vA1}=300；V2=min{vB1+vC2，vA1}=400；

可得V1=vB1+vC1=300。

同理，

V4=min{vB2+vC1，vA1}=300；V5=min{vB2+vC2，vA1}=600；

可得V4=vB2+vC1=300。

显然是矛盾的，所以三台机器不是此种连接方式。

同理可得A、C并联后与A串联也不符合条件。

最后推理A、B并联后与C串联的连接方式。

有函数式V=min{vA+vB，vC}。

参照表2，

V1=min{vA1+vB1，vC1}=300；V2=min{vA1+vB1，vC2}=400；V3=min{vA1+vB1，vC3}=400；

可得

V1=vC1=300；V2=vA1+vB1=400。

同理可得

V11=vC2=600；V5=vA1+vB2=600；V8=vA2+vB1=500。

对于第12组档级组合，V12=min{vA2+vB2，vC3}=700，无论vA2+vB2=700还是vC3=700，都可以解由上面的等式所组成的线性方程组，得到

vA1=600-x；vA2=700-x；vB1=x-200；vB2=x。

所以，此种产品的工序为先经过A或B再经过C，或者先经过C再经过A或B，三台机器在整条生产线上的布局如图所示，它们各个档级的生产速度为

vA1=600-x；vA2=700-x；vB1=x-200；vB2=x；vC1=300；vC2=600；vC3≥700。

（200

5.2问题二

由问题一的解可得，三台机器在整条生产线上的布局为A与B的并联再与C串联，它们的生产速度关系为V=min{vA+vB，vC}，具体到每个机器的每个档级为：

V1=min{vA1+vB1，vC1}=vC1=300；V2=min{vA1+vB1，vC2}=vA1+vB1=400；V3=min{vA1+vB1，vC3}=vA1+vB1=400；

V4=min{vA1+vB2，vC1}=vC1=300；V5=min{vA1+vB2，vC2}=vA1+vB2=600；V6=min{vA1+vB2，vC3}=vA1+vB2=600；

V7=min{vA2+vB1，vC1}=vC1=300；V8=min{vA2+vB1，vC2}=vA2+vB1=500；V9=min{vA2+vB1，vC3}=vA2+vB1=500；

V10=min{vA2+vB2，vC1}=vC1=300；V11=min{vA2+vB2，vC2}=vC2=600；V12=min{vA2+vB2，vC3}=vA2+vB2=700；

5.3问题三

由表1、表2得到各机器速度档级组合与生产线生产速度、生产线能耗的关系，如表3所示。

表3：

各机器速度档级组合与生产线生产速度、生产线能耗的关系

A机器

B机器

C机器

整条生产线生产速度

（产品数/小时）

能耗

（千瓦/小时）

1档

1档

1档

300

8

1档

1档

2档

400

9

1档

1档

3档

400

10

1档

2档

1档

300

11

1档

2档

2档

600

12

1档

2档

3档

600

13

2档

1档

1档

300

10

2档

1档

2档

500

11

2档

1档

3档

500

12

2档

2档

1档

300

13

2档

2档

2档

600

14

2档

2档

3档

700

15

对于生产线生产速度相同的各种档级组合来说，生产线能耗多的显然是不符合题意要求的，剔除掉它们后可以得到表4。

定义效率=生产速度/能耗，表示生产线消耗每千瓦能生产的产品数量。

由于我们假设了赚钱多少仅取决于产品的多少，因此我们认为在消耗相同能耗的时候生产产品数量多的生产模式更有效率也即“既赚钱又节能”。

所以由表可得，机器A在第1档级，机器B在第2档级，机器C在第2档级的生产模式“既赚钱又节能”。

各机器速度档级组合与生产线生产速度、生产线能耗、效率的关系

A机器

B机器

C机器

整条生产线生产速度

（产品数/小时）

能耗

（千瓦/小时）

效率

（产品数/千瓦）

1档

1档

1档

300

8

37.56

1档

1档

2档

400

9

44.44

2档

1档

2档

500

11

45.45

1档

2档

2档

600

12

50.00

2档

2档

3档

700

15

46.67

5.4问题四

要求制定一个“重要性指标”来评价每台机器对整条生产线的重要性，则根据“部分速度对整体速度限制越大越重要，部分能耗在整体能耗比重越小越有价值”的原则，对每个档级组合分别按速度、能耗的比例分配单位重要性1。

由于A、B各档级的速度都是和x有关的数，在没有其他条件的情况下，x在（200，600）中等概率分布，则我们取x的期望E（x）=400来表示x，使x在运算中具体可用，简化运算。

则此时A、B、C各档级速度为vA1=200；vA2=300；vB1=200；vB2=400；vC1=300；vC2=600；vC3=700。

以档级组合第一组（A1，B1，C1）为例。

它的各机器速度、能耗与整条生产线速度、能耗关系如图所示。

对于生产速度而言，机器速度对整条生产线速度限制越大越重要，而整条生产线速度等于A、B速度之和与C速度的较小值，因此A、B的和重要性与C的重要性之比为它们速度之比的倒数。

把A、B看做一个整体，它们的总生产速度与C的生产速度之比为4:

3，则其重要性之比为3:

4，可得其重要性分别为3/7:

4/7。

A、B的和重要性为3/7，A、B的重要性之比等于A、B的速度之比等于1:

1，所以A、B、C的重要性分别为3/14:

3/14:

8/14。

对于能耗而言，机器能耗越小越有价值，所以它们的重要性之比为能耗之比的倒数。

A、B、C的能耗之比为3:

3:

2，则其重要性之比为2:

2:

3，其重要性分别为2/7:

2/7:

3/7。

所以对于第一组而言，A、B、C的重要性是它们各自在生产速度和能耗上重要性的加和。

同样的，对其他十一种组合按照此种规则划分单位重要性1，使用Excel计算，得到A、B、C的重要性指标集，如下表所示。

组序

档级组合

重要性指标集

A

B

C

速度类

能耗类

速度类

能耗类

速度类

能耗类

1

A1B1C1

0.214

0.286

0.214

0.286

0.571

0.429

2

A1B1C2

0.300

0.333

0.300

0.333

0.400

0.333

3

A1B1C3

0.318

0.364

0.318

0.364

0.364

0.273

4

A1B2C1

0.111

0.333

0.222

0.167

0.667

0.500

5

A1B2C2

0.167

0.400

0.333

0.200

0.500

0.400

6

A1B2C3

0.179

0.444

0.359

0.222

0.462

0.333

7

A2B1C1

0.225

0.286

0.150

0.476

0.625

0.238

8

A2B1C2

0.327

0.231

0.218

0.385

0.455

0.385

9

A2B1C3

0.350

0.255

0.233

0.426

0.417

0.319

10

A2B2C1

0.129

0.231

0.171

0.192

0.700

0.577

11

A2B2C2

0.

0.286

0.264

0.238

0.538

0.476

12

A2B2C3

0.214

0.324

0.286

0.270

0.500

0.405

重要性指标和

2.733

3.773

3.069

3.559

6.

4.668

综合重要性指标和

6.546

6.628

10.866

所以，机器A的重要性指标为6.546，机器B的重要性指标为6.628，机器C的重要性指标为10.866。

机器C的重要性要远大于机器A和B，机器A和B的重要性相近。