平行四边形创新题赏析.docx
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平行四边形创新题赏析
平行四边形创新题赏析
平行四边形部分是初中数学的重点内容,在各地中考试卷中都占有一定的分量。
随着课程改革的进一步深入,出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型,令人耳目一新;它对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益。
现例举中考题几例并加以归类浅析,希望对同学们有所启发。
一、补充说理型
例1.如图1,已知四边形ABCD是平行四边形,∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G。
(1)求证:
AF=GB;
(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得△EFG为等腰直角三角形,并说明理由。
图1
解析:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,∴∠AGD=∠CDG
又∵DG是∠ADC的平分线
∴∠ADG=∠GDC
∴∠AGD=∠ADG
∴AD=AG
同理可得:
BF=BC
在平行四边形ABCD中,AD=BC
∴AG=BF
∴AF=GB
(2)可以添加条件∠ADC=90°或四边形ABCD是矩形
说理如下:
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=∠BCD=90°
又DG、CF平分∠ADC和∠BCD
∴∠EDC=∠ECD=45°
∴∠AGD=∠BFC=45°,∠FEG=90°
即△EFG是等腰直角三角形。
点评:
此例把解题的主动性交给学生,让学生添加条件再说理,给学生创造了一个适度的思维空间;富有创意,活而不难,有利于激发学生的信心和探索欲望。
二、判断类比型
例2.
已知任意四边形ABCD,且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。
(1)若四边形ABCD如图2-1,判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”,错误的在括号里填“×”)。
甲:
顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;()
乙:
顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。
()
(2)请选择甲、乙中的一个,证明你对它的判断。
(3)若四边形ABCD如图2-2,请你判断
(1)中的两个结论是否成立?
解析:
(1)甲的判断是正确的;乙的判断是错误的。
(2)对甲说理如下:
连接EF、FG、GH、HE(如图2-3)
∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
同理,HG∥AC
∴EF∥HG,EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
对乙可举反例说明:
如图2-4,在矩形ABCD中,顺次连接EQ、QG、GP、PE得到一条线段,而不是一个平行四边形。
(3)对图2-2,类似于
(1)中的结论甲、乙都成立。
点评:
此例通过设计问题串,让学生经历判断、归纳,从而建立认识,再作判断;体现了新课程下命题者关注学生思维过程的良苦用心。
三、猜想证明型
例3.
已知:
如图3,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF。
请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可)。
图3
(1)连接_____________;
(2)猜想_____________=_____________;
(3)证明
解析:
连接AF,猜想AF=AE。
证明:
连接AC,交BD于O
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD于O,DO=BO
∵DE=BF,∴EO=FO
∴AC垂直平分EF
∴AF=AE
点评:
此例要求学生经历探索—猜想—证明的思维过程,这种螺旋上升的结构符合学生的心理特征和认知规律。
让考生在试卷上留下思维的痕迹,能创造性地激活学生的思维。
四、运动探究型
例5.
如图4,已知平行四边形ABCD及四边形外一直线
,四个顶点A、B、C、D到直线
的距离分别为a、b、c、d。
(1)观察图形,猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式?
证明你的结论。
(2)现将
向上平移,你得到的结论还一定成立吗?
请分情况写出你的结论。
解析:
(1)
证明:
连接AC、BD,且AC、BD相交于点O,
为点O到
的距离
图4
∴
为直角梯形
的中位线
同理:
(2)不一定成立。
分别有以下情况:
直线
过A点时,
;
直线
过A点与B点之间时,
;
直线
过B点时,
;
直线
过B点时与D点之间时,
;
直线
过D点时,
;
直线
过C点与D点之间时,
;
直线
过C点时,
;
直线
过C点上方时,
。
点评:
将静态的数学与动态的变化结合起来,给数学以生命,让学生在图形的变化中理解体验变与不变。
本题以“平行四边形”、“线”为背景,在“动”中开拓学生视野,拓宽学生的思维空间,在“静”中寻找关系,从而找到解决问题的途径。
该题较好地考查了学生观察、分析、判断论证能力和探究创新能力;有利于培养学生严谨的思维习惯和缜密的治学态度。
五、图形设计型
例5.
在△ABC中,借助作图工具可以作出中位线EF,沿着中位线EF一刀剪切后,用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP,剪切线与拼图如图示1,仿上述的方法,按要求完成下列操作设计,并在规定位置画出图示。
图示1
(1)在△ABC中,增加条件_____________,沿着_____________一刀剪切后可以拼成矩形,剪切线与拼图画在图示2的位置;
(2)在△ABC中,增加条件_____________,沿着_____________一刀剪切后可以拼成菱形,剪切线与拼图画在图示3的位置;
(3)在△ABC中,增加条件_____________,沿着_____________一刀剪切后可以拼成正方形,剪切线与拼图画在图示4的位置;
(4)在△ABC(AB≠AC)中,一刀剪切后也可以拼成等腰梯形,首先要确定剪切线,其操作过程(剪切线的作法)是____________________________
然后,沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形,剪切线与拼图画在图示5的位置。
解:
(1)方法一:
∠B=90°,中位线EF,如图示2-1。
方法二:
AB=AC,中线(或高)AD,如图示2-2。
(2)AB=2BC(或者∠C=90°,∠A=30°),中位线EF,如图示3。
(3)方法一:
∠B=90°且AB=2BC,中位线EF,如图示4-1。
方法二:
AB=AC且∠BAC=90°,中线(或高)AD,如图示4-2。
(4)方法一:
不妨设∠B>∠C,在BC边上取一点D,作∠GDB=∠B交AB于G,过AC的中点E作EF∥GD交BC于F,则EF为剪切线,如图示5-1。
方法二:
不妨设∠B>∠C,分别取AB、AC的中点D、E,过D、E作BC的垂线,G、H为垂足,在HC上截取HF=GB,连接EF,则EF为剪切线,如图示5-2。
方法三:
不妨设∠B>∠C,作高AD,在DC上截取DG=DB,连接AG,过AC的中点E作EF∥AG交BC于F,则EF为剪切线,如图示5-2。
点评:
重视提高动手操作能力和实践能力,是素质教育新课程的切入点。
此类题设计新颖,不落俗套,为考生画图操作、类比联想、反思探究提供了自由发挥、自主探究的广阔思维空间;对进一步理解和应用所学知识,发展创新能力、实践能力、操作能力大有裨益;让学生在具体的操作情境中,领悟数学的发展与形成的真谛。
初三中考作业本有这样一道题:
如图所示,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线有两条,能否做到:
____(选填"能"或"不能"),请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法:
若填"不能",请简要说明理由.
拿到此题,学生们感觉无从下手.仔细分析此题,此题涉及到如何剪,如何拼的问题,因而我作了如下的解题分析.
一.寻找解题思路.
(1)由于四边形内角和为3600,因而可以将四个内角拼成一个周角,可以进行平面镶嵌.
(2)由于拼成的四边形是平行四边形,因而必须注意边长的特殊性,可以取各边的中点.
在找到思路的基础上,我们就可动手裁剪--沿对边的中点剪开,分割成四部分.
二.如何拼凑是本题的难点,关键是不能将剪下的图形弄乱.拼时以其中一块图形不动,抓相等的边拼在一起,以相临两边的中点为旋转中心将其中两块图形转1800,不相临的第三块图形平移到空缺处.
三.如何说明它是平行四边形.
(1)必须说明三点共线.可用两角之和为1800.
(2)必须说明它是平行四边形.可用角的关系证明两组对边平行.
经过以上的分析,裁剪,拼凑,证明,才可完整的完成此题.
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