二次函数存在性问题.docx
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二次函数存在性问题.docx
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二次函数存在性问题
函数图象中点的存在性问题(强化训练)
切入点一:
利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质),并描述作图方法
切入点二:
做好数据准备,计算尽量利用相似、数形结合(交轨法)
切入点三:
紧扣不变量,善于使用前题所采用的方法或结论
切入点四:
在题目中寻找多解的信息(不重不漏)
1.1因动点产生的平行四边形问题
1.如图1,直线L:
y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线G:
y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.
(1)该抛物线G的解析式为;
(2)将直线L沿y轴向下平移个单位长度,能使它与抛物线G只有一个公共点;
(3)若点E在抛物线G的对称轴上,点F在该抛物线上,且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形,求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长.
(4)连接AC,得△ABC.若点Q在x轴上,且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点Q的坐标.
2.在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),AB=4,与y轴交于点C,且过点(2,3).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若抛物线的顶点为D,连接CD、CB,问抛物线上是否存在点P,使得∠PBC+∠BDC=90°?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点K为抛物线上C关于对称轴的对称点,点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
1.2因动点产生的等腰三角形问题
1.在平面直角坐标系xOy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0).
(1)请直接写出点B、C的坐标:
B、C ;并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与
(1)中的抛物线交于点M.
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;
②在①的条件下探究:
抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形?
若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B 两点(点A在点B的左侧),顶点为C(0,1).直线DB交y轴于点D,交抛物线于点P(2
,-3).
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点E是抛物线上的动点,若以A、B、P、E为顶点的四边形是梯形,求点E的坐标;
(3)连接AP,点F在直线AP上,设点F到直线DB的距离为m,点F到点D的距离为n,求m+n的最小值.
1.3因动点产生的直角三角形问题
1.如图,抛物线y=ax2-bx-2交x轴于A(-1,0)、B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是线段AB上一点,过D点作DE∥AC交抛物线于M,交y轴于N,若CM=AN,求D点坐标;
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移,交原抛物线于点P,点Q在x轴上,问是否存在点Q使△CPQ是以PC为斜边的等腰直角三角形?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
2.
如图1,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C,经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B,顶点P的横坐标为-2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接BC,得△ABC.若点D在x轴上,且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似,求出点P的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径;
(3)设直线l:
y=x+t,若在直线l上总存在两个不同的点E,使得∠AEB为直角,则t的取值范围是;
(4)点F是抛物线上一动点,若∠AFC为直角,则点F坐标为.
1.4因动点产生的相似三角形问题
1.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)直接填写:
a=,b=,顶点C的坐标为;
(2)在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.
2.如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C,⊙O1为△ABC的外接圆,交抛物线于另一点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;
(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
3.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(l,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,在抛物线的对称轴上找一点E,使|AE﹣DE|的值最大,求E的坐标;
(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD?
若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2002•金华)如图,已知直线y=-2x+12分别与Y轴,X轴交于A,B两点,点M在Y轴上,以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D,连接MD.
(1)求证:
△ADM∽△AOB;
(2)如果⊙M的半径为2
,请写出点M的坐标,并写出以(-
,
)为顶点,且过点M的抛物线的解析式;
(3)在
(2)条件下,试问在此抛物线上是否存在点P使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似?
如果存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
1.5因动点产生的梯形问题
1.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)、B(0,3)、C(1,0).
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(2)如图1,将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°,与直线y=-x交于点N.在直线DN上是否存在点M,使∠MON=75°.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=-x上的点,当四边形OBPQ是直角梯形时,求出点Q的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是⊙O'的切线,AD丄CD于点D,tan∠CAD=
,抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.
(1)求证:
∠CAD=∠CAB;
(2)①求抛物线的解析式;
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形?
若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
1.6因动点产生的面积问题
1.如图,已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,其顶点为M.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系,并加以证明;
(3)在抛物线上是否存在点N,使得S△BCN=4?
如果存在,那么这样的点有几个?
如果不存在,请说明理由.
2.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于C点,对称轴
与抛物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.已知x1、x2恰是方程x2-2x-3=0的两根,
且sin∠OBC=
.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)对称轴上是否存在点D,使得△BCD是直角三角形?
若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?
若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;
1.7因动点产生角的问题
1.如图,已知点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.
(1)求点C的坐标及抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,求点D的坐标;并直接写出直线BC、直线BD的解析式;
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
2.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=3.
(1)在AB边上取一点D,将纸片沿OD翻折,使点A落在BC边上的点E处,求点D,E的坐标;
(2)若过点D,E的抛物线与x轴相交于点F(-5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程;
(3)若
(2)中的抛物线与y轴交于点H,在抛物线上是否存在点P,使△PFH的内心在坐标轴上?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)若
(2)中的抛物线与y轴相交于点H,点Q在线段OD上移动,作直线HQ,当点Q移动到什么位置时,O,D两点到直线HQ的距离之和最大?
请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式.
1.8因动点产生的相切问题
1.已知:
如图,抛物线y=x2+4x+m与x轴的负半轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,3),过A、C两点作直线AC.
(1)直接写出m的值及点A、B的坐标;
(2)点P是线段AC上一点,设△ABP、△BPC的面积分别为S1、S2,且S1:
S2=2:
3,求点P的坐标;
(3)①设⊙O′的半径为1,圆心O′在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在⊙O′与坐标轴相切的情况?
若存在,求出圆心O’的坐标;若不存在,请说明理由.
②探究:
设⊙O′的半径为r,圆心O′在抛物线上运动,当r取何值时,⊙O′与两坐标轴都相切?
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为
,求点M的坐标.
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- 二次 函数 存在 问题