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word完整版高中微积分基本知识
高中微积分基本知识
第一章、极限与连续
一、数列的极限
1.数列
定义:
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
X!
K,Xn丄叫数列,记作xn,并吧每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列的第n项或通项
界的概念:
一个数列Xn,若M0,s.t对nN*,都有XnM,则称人是有界的:
若不论M有多大,总mN*,s.txmM,则称xn是无界的
若axnb,则a称为xn的下界,b称为xn的上界
Xn有界的充要条件:
xn既有上界,又有下界
2.数列极限的概念
定义:
设Xn为一个数列,a为一个常数,若对0,总N,st当nN时,有
xna则称a是数列xn的极限,记作limxna或xna(n)
n
数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的
几何意义:
从第N1项开始,xn的所有项全部落在点a的邻域(a,a)
3.数列极限的性质
1唯一性②收敛必有界③保号性:
极限大小关系数列大小关系(nN时)
二、函数的极限
1.定义:
两种情形
①xXo:
设f(x)在点Xo处的某去心邻域内有定义,A为常数,若对0,
0,s.t当0xx0时,恒有f(x)A成立,则称f(x)在xx0时有
极限A
记作limf(x)A或f(x)A(xx°)
XX0
几何意义:
对0,0,s.t当0XXo时,f(x)介于两直线yA
单侧极限:
设f(x)在点xo处的右侧某邻域内有定义,A为常数,若对0,
0,s.t当0xx0时,恒有f(x)A成立,称f(x)在x0处有右极限A,
记作limf(x)A或f(x°)A
xx
limf(x)A的充要条件为:
f(x°)f(x°)=A
xx
垂直渐近线:
当limf(x)时,xx0为f(x)在x0处的渐近线
Xx0
2x:
设函数f(x)在xb0上有定义,A为常数,若对0,Xb,s.t当xX时,有|f(x)A成立,则称f(x)在x时有极限A,记作
limf(x)A或f(x)A(x)
x
limf(x)A的充要条件为:
Jimf(x)Jimf(x)A
水平渐进线:
若limf(x)A或limf(x)A,则yA是f(x)的水平渐近线
xx
2.函数极限的性质:
①唯一性②局部有界性③局部保号性(②③在当0|xx0时成立)
三、极限的运算法则
1.四则运算法则
设f(x)、g(x)的极限存在,limf(x)A,limg(x)B贝V
1limf(x)g(x)AB
2lim[f(x)g(x)]AB
3lim-(当B0时)
g(x)B
4limcf(x)cA(c为常数)
5lim[f(x)]kAk(k为正整数)
2.复合运算法则
设yf[(x)],若lim(x)a,则limf[(x)]f(a)
xxx0
可以写成limf[(x)]f[lim(x)](换元法基础)
Xx0Xx0
四、极限存在准则及两个重要极限
1•极限存在准则
①夹逼准则
设有三个数列xn,yn,zn,满足
ynXnZn,
②单调有界准则
limyn
n
limzn
n
a
则limXna
n
有界数列必有极限
3.重要极限
sinx①lim1
②lim1
1X
e
1
或lim1xe
x0x
x
x
x0
五、无穷大与无穷小
1.无穷小:
在自变量某个变化过程中lim
f(x)
0,
则称f(x)为X在该变化过程中的无穷小
探若f(X)0,则f(X)为x在所有变化过程中的无穷小
若f(X),则f(x)不是无穷小
性质:
1.有限个无穷小的代数和为无穷小
2.常量与无穷小的乘积为无穷小
3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小
5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理:
limf(x)A的充要条件是f(x)A(x),其中(x)为x在该变化中过程
中的无穷小
无穷小的比较:
(趋于0的速度的大小比较)
(x),(x),为同一变化过程中的无穷小
若lim-
-c(c0常数)
则
是
的同阶无穷小
(当c1时为等价无穷小)
若lim-
kc(c0常数)
则
是
的k阶无穷小
若lim-
-0
则
是
的高阶无穷小
常用等价无穷小:
(x0)x:
sinx:
tanx:
arcsinx:
arctanx:
In(1x):
ex1;
1cosx:
;(1x)1:
x;ax1:
xlna
2
2•无穷大:
设函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义。
若对于M0,0s.t当
0xX。
时,恒有f(x)M
称f(x)当xX。
时为无穷大,记作limf(x)
xX。
无穷大
(下:
趋于某点,去心邻域不为0)
吋为无穷大
定理:
limf(x)
无穷小
探无穷大的乘积为无穷大,其和、差、商不确定
六、连续函数
1•定义
设函数yf(x)在X。
某邻域有定义,若对0,Ost当0|xx0时,
恒有:
f(x)f(x°)
也可记作limf(x)f(x0)或limy0
x兀x0
f(X°)f(X°)(或f(X°)f(x0))为左(或右)连续
2•函数的间断点
可去间断点跳跃间断点
第二类间断点:
无穷间断点,震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数f(X)与g(x)都在X处连续,则函数
f(x)g(x),f(x)g(x),爲(g(x)0)
f(g)在U0处连续,则
定理:
yf[g(x)],g(x°)U0,若g(x)在x°处连续,
yf[g(x)]在X0处连续
4•闭区间连续函数的性质
①最值定理:
f(x)在[a,b]上连续,贝VXi,X2,对一切x[a,b]有
f(xjf(x)f(X2)
②介值定理:
f(x)在[a,b]上连续,对于f(a)与f(b)之间的任何数u,至少一点
s.tf()u
早、
导数
、导数的概念
limf(x。
X)f(x。
)
X。
存在,则称函数yf(x)在点
X。
可导,
极限值为函数yf(x)在点x。
处的导数,记为f(X。
)
单侧导数:
设函数yf(x)在点x。
处的左侧(x。
,x。
]有定义,若极限
yf(x)在点x。
处的左导数,记为f(x。
),类似有右导数f(x。
)
导函数:
函数yf(x)在某区间上可导,贝y
f(xx)f(x)f(x)lim
x。
x
II
性质:
①函数yf(x)在点x0处可导的充要条件f(x。
)f(x。
)
②可导连续
导数的几何意义:
函数点处的切线斜率
二、求导法则
1•函数的和、差、积、商的求导法则
定理:
若uu(x),vv(x)都在X处可导,则函数u(x)v(x)在X处也可导,且
[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)
定理:
若uu(x),vv(x)都在X处可导,则函数u(x)v(x)在X处也可导,且
[u(x)v(x)]uvuv
推论:
若u1,K,un都在x处可导,贝V函数u1u2Lun在x处也可导,且
[U1U2LUn]U1U2LUnU1U2LUnLU1U2LUn
定理:
若uu(x),vv(x)都在x处可导,贝y函数在x处也可导,且v(x)
u(x)uvuv
v(x)v2
2•反函数的求导法则
定理:
设函数xg(y)在Iy上单调可导,它的值域为lx,而g'(y)0,贝y其反函数
1
yg(x)f(x)在区间lx上可导,并且有
f'(x)
g(x)
(xo)可导,则复合函数
或孚字男(连锁规则)
dxdudx
定义:
若函数yf(x)的导数y
f(x)仍可导,贝Vyf(x)导数为yf(x)的二
四、隐函数求导
对于F[x,y(x)]0,或F[x,y(x)]G[x,y(x)],若求鱼
dx求导法:
方程两侧对x求导
微分法:
方程两侧求微分
公式法:
dy,将方程化成F[x,y]=0,将F看成关于x,y的二元函数,分
dxFy
别对x,y求偏导Fx',Fy
五、参数方程所确定的函数求导
x(t)dydydtdy,dx'⑴yt
,g/''
y(t)dxdtdxdtdt(t)为
(ax)axIna
(logax)'
1
xlna
(sinx)
cosx
1
(cosx)
sinx
1
(cotx)
2cscx
1
(secx)
secxtanx
导数公式基本函数:
C'0
(x)'x
(cscx)
(arcsinx)
(arccosx)
(arctanx)
I
(arccotx)
cscxcotx
1
1
1x2
1
1x2
导数运算法则:
III
(uv)uv
(Cu)'Cu
(uv)uvuv
(uv)(n)u(n)v(n)
高阶导数
[Cf(axb)](n)Canf(n)(axb)
(与
v
uvuv
(uv)(n)
v2
n
k
Cnu
(nk、(k)
/n、(m).mnm,口汀_
(x)('Anx,(nN)若mn,则0
(n)
1)n
n!
x、(n)xn
(a)aIna
(sinx)⑴sin(x—)
(logax)⑴
(cosx)(n)
探1.o(xn1)o(x)xn
2.
f(x)
f(X。
)
xXo
(1)n
cos(x
1(n1)!
xnlna
f'(X。
),需补充条件f(x)在xo处可导或该极限存在
第三章、微分
一、微分的概念
定义:
设函数yf(x)在某区间I上有定义,xo,xoxI,若
yf(xox)f(xo)可表示为
yAxo(x)(其中A与x无关),则称Ax为y在x0处的微分,记作dyAx
探dy与y的区别:
当y为自变量时,dyy
当y为因变量时,dyy,ydyo(x),dy为y的线性主部
定理:
对于一元函数yf(x),可导可微
性质:
一阶微分形式不变性,对于高阶微分dnyf(n)(x)(dx)n
二、微分的几何意义
“以直代曲”
三、微分中值定理
中值定理
条件
结论
Rolle
①[a,b]上连续,②(a,b)上可
导,③f(a)f(b)
至少存在一点,使得
f'()0
Lagrange
①[a,b]上连续,②(a,b)上
可导
f(b)f(a)f'ba
Cauchy
①[a,b]上连续,②(a,b)上
可导,③g(x)0
f(b)f(a)f'()g(b)g(a)g'()
①有限增量定理:
yf(xx)x(01)
②LHospital法则:
0型未定式定值法:
f(x),g(x)在x0的某去心邻域有定义,且
0
limf(x)limg(x)0,f(x),g(x)在x0的某去心邻域可导,且g(x)0
XXoxXo
limf'(X)A,
贝卩有limf(x)
..f'(x)lim'——
xXog(x)
xXog(x)
xXog(x)
—,0g,1,
,o0,
0类似
四、函数的单调性与极值
1.单调性:
定理:
设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则
导数符号
原函数单调性
f'(x)0
Z
f'(x)0
]
2.极值
定义:
设函数yf(x)在点xo某邻域有定义,若对该邻域内一切x都有
f(Xo)f(x)
贝Uf(xo)是函数f(x)的一个极大值,点Xo为函数f(x)的一个极大值点。
(极小值类似)
函数取得极值的一阶充分条件
函数yf(x)在点Xo去心邻域可导,且在X。
处可导或导数不存在,贝y:
①当X
Xo时,
f(X)
0,x
Xo时,
f(X)
0,则
f(Xo)是极大值
②当X
Xo时,
f'(x)
0,x
Xo时,
f'(x)
0,则
f(Xo)是极小值
③无论
XXo还是X
x0,总有
f'(x)
0(或
f'(x)
0),则f(Xo)不是极值
函数取得极值的二阶充分条件
IH
函数yf(x)在点Xo处具有二阶导数,且f(Xo)0,f(xo)0,则
1若f(Xo)0,则f(Xo)是极小值
2若f(Xo)0,则f(Xo)是极大值
第四章、不定积分
一、不定积分的概念和性质
1.原函数与不定积分
原函数:
设f(x)在|上有定义,若对XI,都有
F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx
则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数
原函数存在定理:
若函数f(x)在I上连续,则在I上可导函数F(x),s.t对xI,
都有F'(x)f(x)。
即连续函数一定有原函数
不定积分:
设F(x)使f(x)的一个原函数,C为任意常数,称F(x)C为f(x)的不
定积分,记作
f(x)dxF(x)C
几何意义:
积分曲线族
2.不定积分的性质:
1积分运算与微分运算为互逆运算
2[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
3kf(x)dxkf(x)dxk0
二、换元积分法
1.第一类换元积分法
定理:
设f(u)有原函数,且U(X)具有连续导数,则f[(x)]'(x)有原函数
f[(x)]'(x)dxf(u)du
2.第二类换元积分法
定理:
设f(x)连续,x(t)具有连续导数,且'(t)0,则
f(x)dxf[(t)]'(t)dt,其中t1(x)
三、分部积分法
II
uvdxuvuvdx
四、有理函数的积分
1.简单有理函数的积分
①将真分式P(x)分解为部分分式之和
Q(x)
对于Q(x)(x2pxq)1
应分解成I
个部分分
ClxDl
(x2pxq)1
C1xD1C2xD2
x2pxq,(x2pxq)2
2求4种积分
dx,
xa
(x
1
\k
a)
dx,
CxD,rdx,
xpxq
CxD,
2dx
(xpxq)
其中,对于
2
CxDp4qp
则
(x
Idxpxq)(ta
〒dt,再利用递推法
2.三角函数有理式的积分
sinx
万能变换:
tan^
2
cosx
_2u_
1u2
1u2
1u2
,dx
其他方法:
形式
换元
f(sinx,cosx)f(sinx,cosx)
tcosx
f(sinx,cosx)f(sinx,cosx)
tsinx
f(sinx,cosx)f(sinx,cosx)
ttanx
二、tannxdx与cotnxdxnN
对于tannxdx令ttanx
对于cotnxdx令tcotx
、se(?
xdx与csCxdxn为偶数对于sec?
xdx令ttanx
对于cscJxdx令tcotx
四、sinmxcosnxdx
1将其转化
当n,m至少有一个为奇数时,可利用sin2xcos2x
当n,m均为偶数时,利用2倍角转化
分母
积分表
第五章、定积分
一、定积分的定义
定义:
设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]内任意插入n-1个分点
把[a,b]分成n个小区间,[人“Xj](i1,2,L,n).记xxixi1,在第i个区间上
③函数f(x)在[a,b]上单调有界
-b
3区间可加性f(x)dx
a
bbb
4Cdx(ba)C⑤单调性:
若[a,b]上f(x)g(x)则f(x)dxg(x)dx
aaa、
bb
⑥f(x)dxf(x)dx
aa
7估值性质:
设M,m分别为f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,则
b
m(ba)f(x)dxM(ba)
a
8定积分中值定理:
若f(x)在[a,b]上连续,则在区间[a,b]上至少存在一点,s.t
f(x)dx
f()(ba)
(11)o12f(sinx)dx。
彳f(cosx)dx
oxf(sinx)dx
f(sinx)dx
f(x)为周期函数,
a
f(x)dx
T
0f(x)dx
T
"Tf(x)dx
~2
nT
f(x)dx
T
n0f(x)dx
三、微积分学基本定理
1.变上限函数
x
(x)f(t)dtx[a,b]
a
定理:
若f(x)在[a,b]上连续,则变上限函数可导,’(x)f(x)
2.原函数存在定理
若f(x)在[a,b]上连续,则函数(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数
3.Newton-Leibniz公式
(微积分基本定理)f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上一个原函数
b
则f(x)dxF(b)F(a)
a
※若不满足连续条件,可分段积分
四、定积分换元法
定理:
设函数f(x)在[a,b]上连续,函数x(t)满足:
1(t)在[,]上单调,值域为[a,b],()a,()b
2(t)在[,]上具有连续导数
b'
则有:
f(x)dx'(t)f[(t)]dt
a
五、定积分的分部积分法
类似不定积分
六、广义积分
1.无穷区间上的广义积分
设函数f(x)在[a,]上连续,任取ba,若极限
b
limf(x)dx存在
ba
则称此极限为函数在无穷区间[a,]上的广义积分,记作f(x)dx
a
af(x)dxblim
b
f(x)dx
a
类似定义f(x)在[
a]上的广义积分
对于f(x)dx,令
c
f(x)dxf(x)dx
f(x)dx,c为常数
c
2.无界函数的广义积分
设函数f(x)在(a,b]上连续,而limf(x),
xa
取0,如果极限
lim0:
f(x)dx存在
b
f(x)dx
a
则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分,记作
类似可定义b为无穷间断点时的广义积分
3.函数
含参变量s(s
0)的广义积分
(s)
xs1e
xdx
称为函数性质:
七、定积分的应用
1.求面积
2.
求体积
y1,V
b
A(x)dx
a
3.求弧长
4.
x
0f(t)dt为奇函
探f(x)为奇函数,则F(x)为偶函数;f(x)为偶函数,则F(x)中仅
T
F(x)为周期函数,则f(x)为周期函数;f(x)为周期函数,目°f(x)dx0则F(x)
为周期函数
baa
aaa
⑩若f(x)为奇函数,af(x)dx0;若为偶函数af(x)dx2°f(x)dx
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