初中数学竞赛第22讲面积问题与面积方法.docx
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初中数学竞赛第22讲面积问题与面积方法
第二十二讲面积问题与面积方法
几何学的产生,源于人们测量土地面积的需要.面积不仅是几何学研究的一个重要内容,而且也是用来研究几何学的一个有力工具.
下面,我们把常用的一些面积公式和定理列举如下.
(1)三角形的面积
(i)三角形的面积公式
b+c)是半周长,r是△ABC的内切圆半径.
(ii)等底等高的两个三角形面积相等.
(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比;两个等高三角形的面积之比等于底边之比;两个三角形面积之比等于底、高乘积之比.
(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
(2)梯形的面积
梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半.
(3)扇形面积
其中r为半径,l为弧长,θ为弧l所对的圆心角的度数,α是弧度数.
1.有关图形面积的计算和证明
解因为CD⊥AB,AC=CB,且△ABD内接于半圆,由此可得
所以,阴影部分AEFBDA的面积是
例2已知凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为S1=5,S2=10,S3=6.求△ABO的面积(图2-128).
解首先,我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比.过B,D分别作AC的垂线,垂足为E,F.于是Rt△BEO
由题设
设S△AOB=S,则
所以
例3如图2-129,AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求△ABC的面积.
分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出,那么△ABC的面积即可得知.根据例1,这两个面积是不难求出的.
解设未知的两个小三角形的面积为x和y,则
即
又
即
①÷②得
再由②得x=56.因此
S△ABC=84+70+56+35+40+30=315.
例4如图2-130,通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线,这些直线分三角形为六个部分,已知三个平形四边形部分的面积为S1,S2,S3,求△ABC的面积.
解为方便起见,设
S△QDG=S′1,S△QIE=S′2,S△QFH=S′3,则
所以
同理可得
从①,②,③中可以解得
所以
例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形:
将单位正方形的每一条边n等分,然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来.如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰
解如图2-131,过F作BC的平行线交BG于H,则∠GHF=∠CED,∠FGH=∠DCE=90°,故
n2-n-90=0,
所以n=10.
2.利用面积解题
有的平面几何问题,虽然没有直接涉及到面积,然而若灵活地运用面积知识去解答,往往会出奇制胜,事半功倍.
例6在△ABC内部或边界上任取一点P,记P到三边a,b,c的距离依次为x,y,z.求证:
ax+by+cz是一个常数.
证如图2-132,连结PA,PB,PC,把△ABC分成三个小三角形,则
S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PCA
所以ax+by+cz=2S△ABC,
即ax+by+cz为常数.
说明若△ABC为等边三角形,则
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数,此常数是正三角形的高.
例7如图2-133,设P是△ABC内任一点,AD,BE,CF是过点P且分别交边BC,CA,AB于D,E,F.
求证:
证首先,同例2类似,容易证明
说明本例的结论很重要,在处理三角形内三条线交于一点的问题时,常常可以用这一结论去解决.
例8如图2-134,已知D,E,F分别是锐角三角形ABC的三边BC,CA,AB上的点,且AD,BE,CF相交于点P,AP=BP=CP=6,设PD=x,PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28,求xyz的值.
解由上题知
去分母整理得
3(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+324
=xyz+6(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+216,
所以xyz=108-3(xy+yz+zx)=24.
练习二十二
1.填空:
________.
(2)一个三角形的三边长都是整数,周长为8,则这个三角形的面积是________.
(3)四边形ABCD中,∠A=30°,∠B=∠D=90°,AB=AD,AC=1,则四边形ABCD的面积是______.
(4)梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于O.若S△ABO=p2,S△CDO=q2,则SABCD=____.
△ABC=40.若BE,CD相交于F,则S△DEF=______.
2.E,F分别在矩形ABCD的边BC和CD上,若△CEF,△ABE,△ADF的面积分别是3,4,5,求△AEF的面积.
3.已知点P,Q,R分别在△ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求△ABC的面积的最大值.
4.在凸五边形ABCDE中,S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1,CE与AD相交于F,
求S△CFD.
5.在直角三角形ABC中,∠A=90°,AD,AE分别是高和角平分线,且△ABE,△AED的面积分别为S1=30,S2=6,求△ADC的面积S.
6.设P是△ABC内一点,AD,BE,CF过点P并且交边BC,CA,AB于点D,E,F.
求证:
7.已知△ABC中,DE∥BC交AB于D,交AC于E,AM为BC边上的中线,与DE相交于N,求证:
DN=NE.
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