三角形专项训练.docx
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三角形专项训练.docx
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三角形专项训练
一.选择题(共6小题)
1.为了估计池塘两岸A、B间的距离,杨阳在池塘的一侧选取了一点P,测得PA=14m,PB=11m,那么AB间的距离不可能是( D )
A.5mB.15mC.20mD.26m
2.若a,b,c是△ABC的三边,则化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是( B )
A.2a﹣2bB.2b﹣2aC.2cD.0
3.以下判断正确的是( C )
A.在△ABC中,射线AD平分∠ABC,则AD是△ABC的角平分线
B.在△ABC中,点M是BC边上的中点,那么直线AM是△ABC的一条中线
C.在Rt△ABC中,∠C=90°则直角边AC、BC是直角三角形的两条高线
D.任何三角形的高线的交点不可能在这个三角形的外部
4.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法错误的是( D )
A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=ECD.∠C的对边是DE
5.我国的纸伞工艺十分巧妙,如图,伞不论张开还是缩拢,△AED与△AFD始终保持全等,因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.你知道△AED≌△AFD的理由吗?
( C )
A.SASB.ASAC.SSSD.AAS
6.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块),你认为将其中的哪一块带去玻璃店,就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( C )
A.第4块B.第3块C.第2块D.第1块
二.填空题(共1小题)
7.三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x的取值范围是 1<x<6 .
三.解答题(共19小题)
8.已知:
如图,AC和BD相交于点O,说明:
AC+BD>AB+CD.
证明:
∵AO+BO>AB,DO+CO>CD,
∴AO+BO+DO+CO>AB+CD,
即AC+BD>AB+CD.
9.如图.AD是△ABC的角平分线,点P为AD上一点,PM∥AC交AB于M,PN∥AB交AC于N,求证:
PA平分∠MPN.
证明:
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵PM∥AC,PN∥AB
∴∠APM=∠PAN,∠APN=∠PAM,
∴∠APM=∠APN,
∴PA平分∠MPN.
10.已知:
如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
△ABE≌△ADE.
证明:
在△DEC和△BEC中
∵
,
∴△DEC≌△BEC(ASA).
∴DE=BE.
∵∠3=∠4,
∴∠DEA=∠BEA.
∵DE=BE,AE=AE,
在△ABE和△ADE中
∵
,
∴△ABE≌△ADE(SAS).
11.如图,已知点D、E是△ABC的边BC上两点,且BD=CE,∠1=∠2.试证:
△ABD≌△ACE.
证明:
∵∠2=∠1,∠1+∠ADB=180°,∠2+∠AEC=180°,
∴∠ADB=∠AEC,AD=AE,
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE.
12.如图,线段AC、DB的交于点O,且AC=BD,OB=OC,小明在探索△ABO与△DCO全等时,他的思考过程如下:
因为AC=DB,∠AOB=∠DOC,OB=OC,所以△ABD≌△DCO.
你认为小明的思考过程对吗?
如果正确,指出他用的是判别三角形全等的哪个方法;如果不正确,请写出正确的探索过程.
解:
不正确.
∵AC=DB,OB=OC,
∴AO=DO,
在△ABO和△DCO中,
,
∴△ABD≌△DCO(SAS).
13.公路上,A,B两站相距25千米,C、D为两所学校,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,如图,已知DA=15千米,现在要在公路AB上建一报亭H,使得C、D两所学校到H的距离相等,且∠DHC=90°,问:
H应建在距离A站多远处?
学校C到公路的距离是多少千米?
解:
∵∠DHC=90°,
∴∠AHD+∠CHB=90°,
∵DA⊥AB,
∴∠D+∠AHD=90°,
∴∠D=∠CHB,
在△ADH和△BHC中,
,
∴△ADH≌△BHC(AAS),
∴AD=BH=15千米,AH=BC,
∵A,B两站相距25千米,
∴AB=25千米,
∴AH=AB﹣BH=25﹣15=10千米,
∴学校C到公路的距离是10千米.
答:
H应建在距离A站10千米处,学校C到公路的距离是10千米.
14.“三月三,放风筝”,这天,妈妈让小玉自己动手制作一个如图所示的小风筝,它由两个三角形拼成,而且要满足△ABC≌△ADE才符合要求,小玉通过测量得到AB=AD,∠BAE=∠DAC,为了保证符合要求,还需要测量哪一对相等的量?
请你帮助小玉找出一对相等的量并说明理由.
解:
∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE,
即∠BAC=∠DAE,
又∵AB=AD,
∴若利用“SAS”,则测量AE=AC,
若利用“ASA”,则测量∠B=∠D,
若利用“AAS”,则测量∠C=∠E.
15.为了测量一个池塘旁两棵树之间的距离,小强利用课本学到的知识进行了如下的测量:
先站在B树处,正面对准A树;然后向右转90°,并向正前方走了6步,标上记号C后,继续向前又走了6步到点D,再向右转90°又向前走,当走了15步时,发现所处的位置E与A、C在一条直线上.
(1)画出小强所走路线的示意图,并用字母标出.
(2)A树与B树间的距离是多少?
你能说出这时为什么吗?
解:
(1)如图所示:
(2)根据题意可得:
∠ABC=90°,∠CDE=90°,BC=CD=6步,DE=15步,
在△ABC和△EDC中,
,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=DE=15步.
16.如图所示,已知△ABD≌△ACE,试说明BE=CD,∠DCO=∠EBO的理由.
解:
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,AB=AC,
∴BE=CD,
∵△ABD≌△ACE,
∠BAD=∠CAE,∠ADB=∠AEC,
∵∠DCO=∠EBO,
∴∠DCO=∠EBO.
17.如图,已知点D在AC上,点B在AE上,△ABC≌△DBE,且∠BDA=∠A,若∠A:
∠C=7:
4,求∠DBC的度数.
解:
如右图所示,设∠A=7x,
∵△ABC≌△DBE,
∴∠C=∠E,∠EDB=∠A,
∴∠C=∠E=4x,
又∵∠BDA=∠A,
∴∠ADE=14x,
∴21x+4x=180°,
解得x=
°,
∴∠DBC=7x﹣4x=3x=21.6°.
18.如图,已知BE,CF是△ABC的高,P为BE延长线上的﹣点,Q为CF上一点,△PAB≌△AQC,且AB与QC是对应边,试说明AP⊥AQ.
证明:
∵△PAB≌△AQC,
∴AP=AQ,∠P=∠QAC,
∵BE⊥AC,
∴∠AEP=90°,
∴∠P+∠PAE=90°,
∴∠QAC+∠PAE=90°,
即∠PAQ=90°,
∴AP⊥AQ.
19.尺规作图:
(画出图形,保留作图痕迹,不写作法,写出结论)
已知:
∠α,线段a、b.
求作:
△ABC,使∠B=∠α,AB=b,BC=a.
解:
20.已知∠α及线段b,作一个三角形,使得它的两内角分别为α和
,且两角的夹边为b.(要求:
用尺规作图,并写出已知、求作和结论,保留作图痕迹,不写作法)
已知:
求作:
结论:
解:
已知:
∠α,线段b;
求作:
△ABC,使得∠B=α,∠C=
α,BC=b.
结论:
如图,△ABC为所求.
21.工人师傅要测量A山山顶的垂线到山一脚的距离AF.直接测量十分烦琐,恰巧有一B山已被开发成功.已知B山A山等高,且两山斜坡长度DF与NP也相等.若B山已知距离BP为100米,那么能否直接判定A山距离AF也为100米呢?
解:
能;
由已知,DA=NB,DF=NP,DA⊥AF,NB⊥BP,
所以Rt△DAF≌Rt△NBP,所以AF=BP=100米.
22.如图所示,海岛上有A、B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北方,海岛D在观测点B的正北方,从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗?
为什么?
解:
相等.
理由:
∵∠CAD=∠CBD,∠COA=∠DOB(对顶角),
∴由内角和定理,得∠C=∠D,
又∵∠CAB=∠DBA=90°,
在△CAB和△DBA中,
∴△CAB≌△DBA(AAS),
∴CA=DB,
∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.
23.如图,D是△ABC中BC边上任意一点,求证:
2AD<AB+BC+AC.
证明:
∵在三角形ABD中AB+BD>AD,在三角形ACD中AC+DC>AD,
∴AB+BD+AC+DC>2AD,
∴2AD<AB+BC+AC.
24.已知在三角形ABC中,存在一点P,连接PB、PC,延长BP交AC于点D,求证:
AB+AC>PB+PC.
证明:
∵AB+AD>BD,PD+CD>PC,
∴AB+AD+PD+CD>BD+PC,
∴AB+AD+PD+CD>BP+PD+PC,
∴AB+AC>PB+PC.
25.如图,点F、C在BE上,BF=CE,AB=DE,∠B=∠E.
求证:
∠A=∠D.
证明:
∵BF=CE,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠A=∠D.
26.两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分为△AOF、△DOC.
(1)求证:
△AOF≌△DOC.
(2)连接BO,AD,试判断直线BO与线段AD的关系.(只写结论,不要求证明)
(1)证明:
∵两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,
∴AB=BD,BF=BC,
∴AB﹣BF=BD﹣BC,
∴AF=DC
∵∠A=∠D,∠AOF=∠DOC,
在△AOF与△DOC中,
,
∴△AOF≌△DOC(AAS);
(2)直线BO与线段AD是垂直关系;
连接BO并延长到AD于点G,连接AD,
∵△AOF≌△DOC,
∴FO=CO,
在△BFO和△BCO中,
,
∴△BFO≌△BCO(SSS),
∴∠FBO=∠CBO,
∵AB=BD,
∴BG⊥AD.
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