高考总复习《走向清华北大》精品课件3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx
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高考总复习《走向清华北大》精品课件3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
第三讲简单的逻辑联结词、全称
量词与存在量词
共43页1
回归课本
共43页2
1.逻辑联结词
命题中的或、且、非叫逻辑联结词.
共43页3
2.命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
共43页4
注意:
p与q全真时,p∧q为真,否则,p∧q为假.
p与q全假时,p∨q为假,否则,p∨q为真.
p与¬p必定是一真一假.
共43页5
3.全称量词、存在量词
(1)全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,
并用符号∀表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作∀x∈M,p(x).
共43页6
(2)存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号∃表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特
称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,简记作
∃x0∈M,p(x0).
(3)两种命题的关系
全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
注意:
同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能
有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.
共43页7
命题
全称命题“∀x∈A,p(x)”
特称命题
“∃x∈A,p(x)”
①对所有的x∈A,p(x)成立
①存在x∈A,使
p(x)成立
②对一切x∈A,p(x)成立
②至少有一个
x∈A,使p(x)成立
表述
③对每一个x∈A,p(x)成立
③对有些x∈A,使
方法
p(x)成立
④任选一个x∈A,p(x)成立
④对某个x∈A,使
p(x)成立
⑤凡x∈A,都有p(x)成立
⑤有一个x∈A,使
p(x)成立
共43页8
考点陪练
1.(2010·威海模拟题)已知命题p:
∀x∈R,cosx≤1,则()A.¬p:
∃x0∈R,cosx0≥1
B.¬p:
∀x∈R,cosx≥1
C.¬p:
∃x0∈R,cosx0>1
D.¬p:
∀x∈R,cosx>1
共43页9
解析:
全称量词的否定应为存在量词,所以命题p:
∀x∈R,cosx≤1的否命题是∃x0∈R,cosx0>1.
答案:
C
共43页10
2.(2010·广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则“f(x) A.∃x0∈R,使得f(x0) B.不存在任何实数x,使得f(x)≥g(x) C.∀x∈R,都有f(x)+ D.存在无数多个实数x,使得f(x) 共43页11 解析: f(x) 立.因此其等价含义即为不存在任何实数使得f(x)≥g(x). 答案: B 共43页12 3.(2010·金华模拟题)下列特称命题中,假命题的个数是() ①∃x∈R,使2x2 +x+1=0; 0 0 0 ②存在两条相交直线垂直于同一个平面; ③∃x∈R,x2 0 ≤0. 0 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 命题①、②是假命题,命题③是真命题. 答案: C 共43页13 4.(2010·湖南)下列命题中的假命题是() A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x∈R,lgx<0D.∃x∈R,tanx=2 解析: 对于选项B,当x=1时,结论不成立,故选B. 答案: B 共43页14 5.(2010·辽宁)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x 的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0) 共43页15 解析: 由题知: x0 =- b 为函数f(x)图象的对称轴方程,所 2a 以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因 此∀x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,选C. 答案: C 共43页16 类型一含有逻辑联结词的命题真假判定 解题准备: 解决该类问题基本步骤为: 1.弄清构成它的命题p、q的真假; 2.弄清它的结构形式; 3.根据真值表判断构成新命题的真假. 共43页17 【典例1】已知命题p: ∃x∈R,使tanx=1,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧¬q”是假命题; ③命题“¬p∨q”是真命题; ④命题“¬p∨¬q”是假命题. 其中正确的是() A.②③B.①②④ C.①③④D.①②③④ 共43页18 [解]先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的命题进行真假判断. 命题p: ∃x∈R,使tanx=1正确,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 “p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题;④命题 “¬p∨¬q”是假命题,故应选D. [答案]D 共43页19 [反思感悟]正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义 是解题的关键,应根据组成各个复合命题的语句中所出现 的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为: ①确 定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根 据其真值表判断复合命题的真假. 共43页20 类型二全称命题与特称命题真假的判断 解题准备: 1.要判定全称命题是真命题,需对集合M中每个元 素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题; 2.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能 找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题. 共43页21 注意: 有些题目隐含了全称量词和存在量词,要注意对其进行 改写来找到. 共43页22 【典例2】(特例法)试判断以下命题的真假: (1)∀x∈R,x2+2>0; (2)∀x∈N,x4≥1;(3)∃x∈Z,x3<1;(4)∃x∈Q x2=3. 共43页23 [解] (1)由于∀x∈R,有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0. 所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题. (2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.所以命题“∀x∈N,x4≥1” 是假命题. (3)由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<1.所以命题“∃x∈Z,x3<1” 是真命题. (4)由于使x2=3成立的数只有± 3,而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题 “∃x∈Q,x2=3”是假命题. 共43页24 [反思感悟]本例中的(3)是一个典型的特例法,即要说明一个 存在性命题正确,只要找到一个元素使命题成立即可. 共43页25 类型三全(特)称命题的否定 解题准备: 1.全称命题p: ∀x∈M,p(x).它的否定¬p: ∃x0∈M,¬p(x0). 2.存在性命题p: ∃x0∈M,p(x0).它的否定¬p: ∀x∈M,¬p(x). 3.全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全 称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存 在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接 否定结论即可.从命题形式上看,全称命题的否定是特称命 题,特称命题的否定是全称命题. 共43页26 【典例3】写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假, 指出命题的否定属全称命题还是特称命题: (1)所有的有理数是实数; (2)有的三角形是直角三角形; (3)每个二次函数的图象都与y轴相交; (4)∀x∈R,x2-2x>0. 共43页27 [分析]先否定量词: 存在←−否定−→任意.再否定判断词. [解] (1)非p: 存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题. (2)非p: 所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命 题. (3)非p: 有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命 题. (4)非p: ∃x∈R,x2-2x≤0.为真命题,属特称命题. 共43页28 [反思感悟]只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因 否定不全面或否定词不准确而致错. 从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否 定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题 的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词. 共43页29 类型四与逻辑联结词、全称量词、存在量词有关的命题中参 数范围的确定 解题准备: 1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之, 由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的 真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取 二者的交集即可. 共43页30 2.此类题目经常与函数、不等式等知识相联系,要注意分类讨 论思想的应用. 【典例4】已知两个命题 r(x): sinx+cosx>m,s(x): x2+mx+1>0.如果对∀x∈R,r(x)∧s(x)为假,r(x)∨s(x)为真,求实数m的取值范 围. [分析]由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可先求出对∀x∈R时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由 要求分情况讨论出所求m的范围. 共43页31 [解] π ≥- sinx+cosx=2sinx+ 2, 4 ∴当r(x)是真命题时,m<- 2. 又 对∀x∈R,s(x)为真命题,即x2 +mx+1>0恒成立, 有∆=m2-4<0,∴-2 2,同时m≤-2或m≥2,即m≤-2,当r(x)为假, s(x)为真时,m≥- 2且-2 2≤m<2. 综上,实数m的取值范围是m≤-2或- 2≤m<2. 共43页32 [反思感悟]解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个 命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命 题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假 情况,求出参数的取值范围. 共43页33 错源一错误理解命题的否定 【典例1】已知命题p: 函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若¬p为真 命题,求实数m的取值范围. 共43页34 [错解]∵命题p: f(x)=-(5-2m)x是减函数, ∴¬p: 函数f(x)=-(5-2m)x为增函数, ∴0<5-2m<1,∴2 < 5 2 ⎛ 5 ⎫ ∴实数m的取值范围是ç 2, ⎪. 2 ⎝ ⎭ 共43页35 [剖析]本题的错误在于由p得到¬p: 函数f(x)是增函数.事实 上,命题p的否定包括“函数f(x)是增函数”和“f(x)不单调” 两种情形.为了避免出错,处理这类问题时,不宜直接得到命 题¬p,一般是先由原命题为真得出参数的取值范围,再研究 ¬p为真或为假时参数的取值范围. 共43页36 [正解]由f(x)=-(5-2m)x是减函数, 知5-2m>1, ∴m<2, ∴当¬p为真时,m≥2, ∴实数m的取值范围是[2,+∞). 共43页37 错源二对含有量词的命题的否定不当致误 【典例2】命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是() A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1<0 共43页38 [剖析]本题是对全称命题的否定,因此否定时既要对全称量 词“任意”否定,又要对“≤”进行否定,全称量词“任意” 的否定为存在量词“存在”,“≤”的否定为“>”,可能的 错误是“顾此失彼”,忽略了细节. [正解]题目中命题的意思是“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0都成 立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+1>0即可, 故命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在 x∈R,x3-x2+1>0”,故选C. [答案]C 共43页39 [评析]含有量词的命题的否定方法: 对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为 特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往 可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否 定判断词,而不否定省略了的全称量词. 共43页40 技法综合法 【典例】(2010·合肥第一次质检)下列命题: ①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3均成立; ②若log2x+logx2≥2,则x>1; ③“若a>b>0且c<0,则 c > c ”的逆否命题是真 命题; a b 共43页41 ④若命题p: ∀x∈R,x2+1≥1,命题q: ∃x∈R,x2-x-1≤0,则命题 p∧¬q是真命题.其中真命题为() A.①②③B.①②④ C.①③④D.②③④ 共43页42 [解]由x2+2x>4x-3推得x2-2x+3=(x-1)2+2>0恒成立, 故①正确;根据基本不等式可知要使不等式log2x+logx2≥2 成立需要x>1,故②正确;由a>b>0得0<1a 命题q是真命题,所以p∧⌝q为假命题.所以选A. [答案]A 共43页43
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