最全面高中数学知识点汇总表格格式精华版.docx
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最全面高中数学知识点汇总表格格式精华版
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高中数学知识汇总
1.集合与常用逻辑用语
元素特点
:
互异性、无序性、确定性。
x
A,x
A。
一组对象的全体
.
概念
x
A
x
B
A
B。
A;
B,B
子集
A
C
A
C
x
A
x
B,
x0
B,x0
A
A
B
真子集
关系
n。
n个元素集合子集数
2
集
A
B,B
A
A
B
相等
合
CU(A
CU(A
B)
B)
(CUA)
(CUA)
(CUB)
(CUB)
A
B
x|x
A,且x
B
交集
A
B
x|x
A,或x
B
运算
CU(CU
A)
A
并集
CUA
x|x
U且x
A
集
合与常用逻辑用语
补集
概念
能够判断真假的语句。
p,则
q,则
q
p
原命题:
若
原命题与逆命题,否命题与逆否命题互
逆命题:
若
逆;原命题与否命题、逆命题与逆否命
命题
四种
p,则
q,则
q
否命题:
若
题互否;原命题与逆否命题、否命题与
命题
逆否命题:
若
p
逆命题互为逆否。
互为逆否的命题等价。
常
p
pp
q,p是q的充分条件
q,q是p的必要条件
充分条件
用
若命题p对应集合A,命题q对应集合
必要条件
逻
充要
q等价于A
B,p
B,则
p
q等
q,
p,q互为充要条件
辑
条件
充要条件
用
A
B。
价于
语
p
p
q,p,q有一为真即为真,
q,p,q均为真时才为真,
p,q均为假时才为假。
p,q有一为假即为假。
或命题
类比集合的并
逻辑
且命题
类比集合的交
连接词
p和
p为一真一假两个互为对立的命题。
非命题
类比集合的补
全称量词
,含全称量词的命题叫全称命题,其否定为特称命题。
量词
存在量词
,含存在量词的命题叫特称命题,其否定为全称命题。
2.复数
2
i
规定:
1;实数可以与它进行四则运算,并且运算时原有的加、
虚数单位
4k
4k1
4k2
4k3
乘运算律仍成立。
i
1,i
i,i
1,i
i(kZ)。
复数
概念
形如a
bi(a,bR)的数叫做复数,a叫做复数的实部,b叫做复数
复数
1第1页共26页
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第1页,共26页
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的虚部。
b
0时叫虚数、a
0,b
0时叫纯虚数。
a
bi
c
di(a,b,c,d
R)
a
c,bd
复数相等
实部相等,虚部互为相反数。
即
z
a
bi,则zabi。
共轭复数
(a
bi)
(c
di)
(ac)
(b
d)i,(a,b,c,d
R)。
加减法
(a
bi)(c
di)
(ac
bd)
(bc
ad)i
,(a,b,c,d
R)
乘法
运算
ac
bd
bc
da
(a
bi)
(c
di)
i(c
di0,a,b,c,d
R)
除法
2
2
2
2
c
d
c
d
一一对应
一一对应
复数
z
a
bi
复平面内的点
Z(a,b)
向量
OZ
几何
意义
2
a
2
b
向量OZ
的模叫做复数的模,
z
z=a
c
bi
di
大多数复数问题,主要是把复数化成标准的
z
a
bi
的类型来处理,若是分数形式
,则首
先要进行分母实数化(分母乘以自己的共轭复数)
,在进行四则运算时,可以把
i看作成一个独立的
2
字母,按照实数的四则运算律直接进行运算,并随时把
i换成-1
3.平面向量
向量
既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
0向量
长度为0,方向任意的向量。
【0与任一非零向量共线】
重
要
平行向量
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量,也叫共线向量。
概
0,
。
a,b的夹角记为
a,b
起点放在一点的两向量所成的角,范围是
。
向量夹角
念
a,b
,bcos
叫做b在a方向上的投影。
【注意:
投影是数量】
投影
平
),使a
e1
e2。
若
为x,y轴上
e1,e2
(
e1,e2
不共线,存在唯一的实数对
面
基本定理
重
的单位正交向量,(
)就是向量a的坐标。
向
要
量
一般表示
坐标表示(向量坐标上下文理解)
法
a,b
(b0共线
存在唯一实数
,
则
(x1,y1)
(x2,y2)
x1y2
x2y1
共线条件
定
a
b
理
x1y1
x2y2
0。
a
b
ab
0。
垂直条件
a
b
(x1
x2,y1
y2)。
a
b的平行四边形法则、三角形法则。
各
加法
法则
2第2页共26页
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第2页,共26页
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种
运算
(a
b)
c
a
(b
c)
a
b
b
a,
算律
与加法运算有同样的坐标表示。
运
a
b
(x1
x2,y1
y2)
a
b的三角形法则。
法则
算
减法
运算
MN
(xNxM,yN
yM
)。
MN
ON
OM。
分解
0与a方向相同,
a为向量,
a
(
x,
y)
。
概念
0与a方向相反,
a
a
。
数乘
运算
(
a)
(
)a,(
)a
a
a,
算律
与数乘运算有同样的坐标表示。
(a
b)
a
b
a
b
a
b
cos
a,b
ab
x1x2
y1y2。
概念
x2
y2
a
,
主要
2
数量
aa
a
,ab
ab
。
2
2
2
2
2
xx
yy
x
y
x
y
12
12
1
1
2
性质
积运
算
(a
b)c
ac
bc,
a
b
ba,
与上面的数量积、数乘等具有同样
算律
的坐标表示方法。
(a)b
a(
b)
(ab)。
圆的方程
圆心
半径
2
2
2
x+y
=r
(0,0)
r
标准方程
2
2
2
a)
(a,b)
(x–
+(y
–b)
=r
r
D
2
E
2
1
2
D2
2
2
2
E
4F
一般方程
x+y
+Dx+Ey+F=0
4.算法、推理与证明
顺序结构
逻辑
依次执行
程序框图,是一种用程序
框、流程线及文字说明来表
条件结构
根据条件是否成立有不同的流向
算法
结构
示算法的图形。
循环结构
按照一定条件反复执行某些步骤
3第3页共26页
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第3页,共26页
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基本
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
语句
归纳推理
由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。
合情推理
类比推理
由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推
推理
理。
演绎推理
根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理.
推理
综合法
由已知导向结论的证明方法。
直接证明
数学
与
分析法
由结论反推已知的证明方法。
证明
证明
间接证明
主要是反证法,反设结论、导出矛盾的证明方法。
数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的,
因此,数学归纳法的适用范
数学
围仅限于与自然数有关的命题。
分两步:
首先证明当
n取第一个值
n0(例如n0=1)时
归纳
结论正确;然后假设当
n=k(k
N
k
n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
法
5.不等式、线性规划
(1)a
(2)a
(3)a
不等式的
b,b
b,c
c
0
a
acb
c
;
两个实数的顺序关系:
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
0
0
0
bc;a
c;
b,c
0
ac
bc;
b
a
c
(4)a
b,c
d
a
c
b
d
;
性质
1
a
0。
1
b
a
b
的充要条件
(5)a
b
0,c
d
0
ac
bd
;
ab
是
n
n
N*,n
n
n
(6)a
0,n
b;a
b
1
a
b
解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根
(如果有实数根),再结合对
一元二次
应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间,在含有字母参数的不等式中还要根据参数
不等式
的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向,从而确定不等式的解集.
a
b2
)(a,b
a
b
a
b
2
ab
(a,b
0);ab(
R);
ab
2
基本
2
0,b
2
2
a
b
2ab
a
b≤
不等式
(a
0)
(a,b0);a2
2
b
≤
ab
≤
2ab。
2
a
b
2
二元一次不等式Ax
By
C
0的解集是平面直角坐标系中表示
Ax
By
C
0某一侧所
二元一次
有点组成的平面区域。
二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公
不等式组
共部分。
4第4页共26页
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6.计数原理与二项式定理
n类不同方案,在第1类方案中有
完成一件事有
m1种不同的方法,在第
2类方案
分类加法
中有
m2种不同的方法,
n类方案中有
mn种不同的方法.那么完成这件
,在第
计数原理
事共有
N
m1
m2
mn种不同的方法.
基本
原理
n个步骤,做第1步有
完成一件事情,需要分成
m1种不同的方法,做第2步有
m2
分步乘法
第n步有
种不同的方法
做
mn种不同
的方法.那么完成这件事共有
计数原理
mn种不同的方法.
N
m1
m2
从n个不同元素中取出
m(m
n)个元素,按照一定的次序排成一列,叫做从从
n
m(m
n)
n
个不同元素中取出
个元素的一个排列,
所有不同排列的个数,
叫做从
排
定义
列
排列
m
个不同元素中取出
m(m
n)
个元素的排列数,用符号
An
表示。
组
合
n!
m)!
排列数
m
(n,m
Ν,m
A
n(n
1)(n
2)
(n
m
1)
n),规定0!
1.
n
(n
二
公式
项
从n个不同元素中,
任意取出m(m
n)个元素并成一组叫做从
n个不同元素中取
式
出m(m
n)
n个不同元素中取出
个元素的组合,所有不同组合的个数,叫做从
定
定义
理
m
表示。
Cn
m(m
n)个元素的组合数,用符号
组合
m
n(n
1)
(n
m!
m
1)
An
组合数
mn
mn
C
,C
.
m
Am
公式
m
n
m
m
m
m1
Cn
Cn
N,且m
n);Cn
Cn
Cn
(m,nN,且m
(m,n
n).
性质
1
n
0n
1n1
rnr
r
nn
r
(a
b)
Cna
Cnab
Cnab
Cnb(Cn叫做二项式系数)
定理
rnr
r
二项
Tr
Cnab
n,k
N,n
(其中
0
k
N
)
通项公式
1
式定
0
1
2
r
n
n
r
r
r
r
r1
Cn
Cn
Cn
Cn
Cn
2
Cr
Cr
Cr
Cn
Cn1
;
;
1
2
理
系数和
1
3
5
0
2
4
n11
2;
2
3
n
n1
2
公式
Cn
Cn
Cn
Cn
Cn
Cn
Cn
2
Cn
3
Cn
nCn
n
.
7.函数﹑基本初等函数
I
的图像与性质
5第5
页共
页
26
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第5页,共26页
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x
0时
x
0时
(
)单调递减,
y
1,
0
y
1
指数函数
0
a
1
函数图象过
x
定点(0,1)
y
a
x
0时0
x
0时
(
)单调递增,
y
1,
y
1
a
1
基本
在(0,
)单调递减,
0
x
1时
y
0,
x
1时
y
0
初等
0
a
1
对数函数
函数图象过
函数
定点(1,0)
y
loga
x
在(0,
)单调递增,
0
x
1时
y
0,
x
1时
y
0
a
1
Ⅰ
在在(0,
)单调递增,图象过坐标原点
0
幂函数
函数图象过
定点(1,1)
y
x
在在(0,
)单调递减
0
8.
函数与方程﹑函数模型及其应用
方程f(x)0的实数根。
方程f(x)
0有实数根
函数y
f(x)的图象与x轴有交
概念
函数
y
f(x)有零点.
点
函数
零点
图象在[a,b]上连续不断,若
f(a)f(b)
0,则
y
f(x)在
(a,b)内存在零点。
存在定理
对于在区间
a,b
上连续不断且
f
a
f
b
0
的函数
y
f
x
,通过不断把函数
方法
f
x的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近
似值的方法叫做二分法.
确定区间a,b
f(a)
f(b)
0,给定精确度
,验证
。
第一步
二
a,b
的中点c;
求区间
第二步
分
法
f
c
fc
0,则c就是函数的零点;
(2)若
f
a
f
c
0,
计算
:
(1)若
步骤
b
c(此时零点
则令
x0
a,c);(3)若fc
f
b
0,则令
a
c(此
第三步
时零点
x0
c,b).(4)判断是否达到精确度
:
即若
a
b
,则得到零
点近似值a(或b);否则重复
(2)~(4).
函数
概念
把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。
6第6页共26页
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第6页,共26页
v1.0
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建模
阅读审题
分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题。
数学建模
弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式。
解题步骤
解答模型
利用数学方法得出函数模型的数学结果。
解释模型
将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。
9.
导数及其应用
f(x0
x)
x
f(x0)
y
f(x)在点
函数
x
x0处的导数
f'(x)
lim
x0
。
概念
概念
0
与几
f'(x0)
为曲线y
f(x)在点(x0,
f(x0)处
的
切
线
斜
率,切线方
程
是
几何
何意
意义
义
y
f(x0)
f'(x0)(x
x0)。
n
n1
C
0(C为常数);(x)
nx(n
N);
1
x
1
cosx,(cosx)
(sinx)
sinx;
'
;
2
x
基本
公式
x
)
xx
x
alna(a
e,
0,且
a
1);
1
x
(e
(a)
(ln
x)'
。
导
1
,(log
x
1
log
x
数
a
0,且
a
1).
(lnx)
x)
e(
a
a
及
运算
[f(x)
g(x)]
f(x)
g(x);
其
应
[f(x)
g(x)]
f(x)g(x)
f(x)g(x)
[Cf
(x)]
Cf(x)
,
;
用
运算
f(x)
g(x)
f
(x)g(x)
g(x)f(x)
1
g(x)
g(x)
g(x)
法则
0),
.
(g(x)
2
2
g(x)
y
f(g(x))'
f'(g(x))g'(x)。
复合函数求导法则
f'(x)
0的各个区间为单调递增区间;
f'(x)
0的区间为单调递减区间。
单调性
研究
f'(x0)
0且f'(x)在x0附近左负(正)右正(负)的
x0为极小(大)值点。
极值
函数
性质
a,b
上的连续函数一定存在最大值和最小值,最大值和区间端点值和区间内的极
最值
7第7页共26页
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大值中的最大者,最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。
fx
在区间a,b上是连续的,用分点
ax0
x1
xi
xi
xnb将
1
区间
a,b
等分成
n
个
小区间
,
在每个
小
区间
上
任取一点
xi1,xi
i
概念
n
b
a
b
(i
1,2,
n),
。
f
x
dx
lim
n
f
i
a
n
i1
f
x
a,b
F
x
f
x
如
果
是
上的
连
续
函数,
并且
有
,则
基本
b
定理
.
定积
f
xdx
F
b
F
a
a
分
b
b
dx(
k为常数);
kf
xdx
k
f
x
a
a
b
b
b
xdx;
f
x
g
x
dx
f
x
dx
g
性质
a
a
a
b
c
d
xdx.
f
xdx
f
x
dx
f
a
a
c
a,b
y
f(x),和直线x
a.x
b(a
b),y
0所围成的曲
区间
上的连续的曲线
简单
b
(x)dx。
边梯形的面积
S
f
应用
a
10.
三角函数的图像与性质
y
x
的终边与单位圆交于点P(x,y)时,
sin
y,cos
x,tan
任意角
.
定义
基
三
本
sin
cos
角
同角三角
2
2
sin
cos
1,
tan
。
问
函
函数关系
题
数
360
180
,90
270
,
,
“奇变偶不变,符号看象限”.
诱导公式
的
三
图
值域
周期
单调区间
奇偶性
对称中心
对称轴
角
象
函
与
x
2k
2k
增
2
2
数
y
(
sinx
性
2k
k
(k
0)
1,1
奇函数
2
的
质
x
R
)
3
2
减
2k
2k
性
2
质
8第8
页共26页
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第8页,共26页
v1.0
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与
y
(
cosx
2k
2k
增
(k
0)
图
xR
)
2
1,1
2k
偶函数
xk
减
2k
2k
象
ytanx
k
2
增
k
k
0
k
奇函数
无
R
x
k
(
)
2
2
2
k
k
0向上,
k
0向下。
y
f
(x)图象平移
得
y
f(x)
k
图象,
上下平移
平移变换
y
f
(x)图象平移
得y
f(x
)
0向左,
0向右。
图象,
左右平移
图
1
f(x)的图象。
y
f
(x)图象各点把横坐标变为原来
倍得y
x轴方向
象
伸缩变换
变
A倍得
y
f
(x)图象各点纵坐标变为原来的
y
Af
(x)的图象。
y轴方向
换
y
f
(x)图象关于点(a,b)对称图象的解析式是
y
2b
f(2a
x)
中心对称
对称变换
x
a对称图象的解析式是
y
f
(x)图象关于直线
y
f(2a
x)。
轴对称
11.
三角恒等变换与解三角形
和差角公式
倍角公式
sin(
sin
)
cos
正弦
2tan
tan
sin2
2sin
cos
sin2
cos
sin
2
1
tan2
2
tan
cos2
2
cos2
2
1
1
1
2
2
cos2
cos
sin
cos2
cos(
cos
)
cos
变换
2
2
2cos
1
1
2sin
余弦
sin
sin
公式
2
sin
1
tan
tan
tan
2
cos
tan(
)
2tan
tan
1
tan
tan2
正切
2
1
a
sinA
b
sinB
c
si
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