西师版小学数学毕业总复习总结资料.docx
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西师版小学数学毕业总复习总结资料
第一章数和数的运算
一、概念和结论
(一)整数
1、整数:
自然数和0都是整数。
整数分为正整数、0和负整数。
2、自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的0、1、2、3……叫做自然数,一个物体也没有,就用0表示。
0是最小的自然数,自然数包括正整数和0。
3、计数单位:
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位:
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除:
如果整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
倍数和因数是相互依存的。
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的因数。
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
例如:
10的因数有1、2、5、10,其中最小的因数是1,最大的因数是10。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
例如:
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
一个数最大的因数和最小的倍数相等,都是它本身。
一个数的所有倍数都是它的所有因数的倍数,一个数的所有因数都是它的所有倍数的因数。
6、能被2、3、5、8、9整除的数的特征:
能被2整除的数的特征:
个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304。
能被5整除的数的特征:
个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405。
能被5整除的数的特征:
一个数各个数位上的数字之和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
204、48.
能被9整除的数的特征:
一个数各个数位上的数字之和能被9整除,这个数就能被9整除。
例如:
234、630.
能被4(或25)整除的数的特征:
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
能被8(或125)整除的数的特征:
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数能被8(或125)整除。
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
能同时被2和3整除的数,一定是6的倍数。
能同时被2和5整除的数,个位一定是0(也就是10的倍数)。
能同时被3和5整除的数,一定是15的倍数。
能同时被2、3、5整除的数,一定是30的倍数;能同时被2、3、5整除的最小三位数是120,最大的三位数是990。
7、偶数与奇数、质数与合数:
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数两类。
能被2整除的数叫做偶数,最小的偶数是0。
不能被2整除的数叫做奇数,最小的奇数是1。
按因数的个数可以把自然数分为质数、合数、1三类。
只有1和它本身两个因数的数叫做质数。
除了1和它本身之外还有别的因数的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。
100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
质数只有两个因数,合数至少有三个因数。
1既不是质数也不是合数。
最小的质数是2,最小的合数是4,既是偶数又是质数的数只有2,20以内既是奇数又是合数的数只有9和15。
分解质因数:
把一个合数写成几个质数相乘的形式,叫做分解质因数。
这几个质数叫做这个合数的质因数。
例如:
15=3×5,3和5叫做15的质因数。
8、公因数与公倍数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的因数有1、2、3、4、6、12;18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公因数,6是它们的最大公因数。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6……;3的倍数有3、6、9……。
其中,6、12……是2和3的公倍数,6是2和3的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
两个数是互质数时,它们的最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
两个数是倍数关系时,它们的最大公因数是较小数,最小公倍数是较大数。
9、互质数:
互质数:
公因数只有1的两个数,叫做互质数。
互质的两个数不一定是质数。
互质数的6种特例:
相邻的两个自然数一定是互质数,例如:
15和16;相邻的两个奇数一定是互质数,例如:
15和17;1和任何一个自然数一定是互质数;2和任何一个奇数一定是互质数;两个不同的质数一定是互质数,例如:
7和13;一个质数与一个合数,如果它们不成倍数一定是互质数,例如:
5和33。
(二)小数
1、小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25和0.368。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
3.25和5.26。
有限小数:
小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7和25.3。
无限小数:
小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33……和3.1415926……。
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
例如:
∏
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。
例如:
3.555……0.0333……12.109109……。
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如:
3.99……的循环节是“9”,0.5454……的循环节是“54”。
纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
例如:
3.111……0.5656……。
混循环小数:
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
例如:
3.1222……0.03333……。
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首位数字和末位数字上各点一个圆点。
(三)分数
1、分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
表示其中的一份的数,叫做分数单位。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
2、分数的分类:
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3、约分和通分:
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把一个分数化成最简分数的过程叫做化简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(四)百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用“%”来表示。
百分号是表示百分数的符号。
二、方法
(一)数的读法和写法
1、整数
(1)整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,其它数位上有一个0或连续的几个0都只读一个零。
(2)整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
2、小数
(1)小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
(2)小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
3、分数
(1)分数的读法:
读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。
(2)分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
4、百分数
(1)百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。
(2)百分数的写法:
百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
(二)数的改写
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
1.准确数:
在万位或亿位数字后面打上小数点,省略小数末尾的0,再加上一个“万”字或“亿”字,用等号连接。
例如:
1254300000=125430万;1254300000=12.543亿。
2.近似数:
找到万位或亿位,看千位或千万位上的数字是否满5,满了5就向前一位进一,并舍去尾数;没满5就直接舍去尾数,同时在后面加上一个“万”字或“亿”字,用约等号连接。
例如:
1302487015≈130249万,1302487015≈13亿。
(三)近似数
1、四舍五入法:
比保留的位数多看一位,该位上的数字是“4”或者比“4”小,就舍去,该位上的数字是“5”或者比“5”大,向前一位进一。
2、去尾法:
无论尾数的是几,一律舍去的凑整方法叫做“去尾法”。
3、进一法:
无论尾数是几,舍去时,并向前进一。
(四)大小比较
1、比较整数大小:
先看位数,位数多的那个数就大;如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
2、比较小数的大小:
先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
3、比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
4、0与负数的比较:
0比任何负数都大。
5、比较负数的大小:
在负数中,数值越大的负数反而越小,数值越小的负数反而越大。
(五)数的互化
1、小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
2、分数化成小数:
用分子除以分母。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留两位小数。
3、一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
4、小数化成百分数:
把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5、百分数化成小数:
把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6、分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
7、百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
8、熟记常用的分数、小数、百分数的互化:
=0.5=50%
=0.25=25%
=0.75=75%
=0.2=20%
=0.4=40%
=0.6=60%
=0.8=80%
=0.125=12.5%
=0.375=37.5%
=0.625=62.5%
=0.875=87.5%
=0.04=4%
(六)数的整除
1、分解质因数:
把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
2、求两个数的最大公因数:
先用这两个数的公因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这两个数的的最大公因数。
3、求两个数的最小公倍数:
方法与求最大公因数的方法相同,只是最后要把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这两个数的最小公倍数。
(七)约分和通分
约分:
用分子和分母的公因数(1除外)同时去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
通分:
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三、性质和规律
(一)乘法的规律
一个因数不变,另一个因数扩大或缩小若干倍,积也随着扩大或缩小相同的倍数;一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变。
一个非零数乘小于1的数,积小于这个数;一个非零数乘大于1的数,积大于这个数;
(二)乘法的规律
商不变的规律:
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变。
除数不变,被除数扩大或缩小若干倍,商也随着扩大或缩小相同的倍数;被除数不变,除数扩大或缩小若干倍,商反而缩小或扩大相同的倍数。
当被除数不为0时,除数大于1,商反而小于被除数;除数小于1,商反而大于被除数。
(三)小数的性质在小数的末尾添上零或者去掉零,小数的大小不变。
近似数末尾的0不能去掉。
(四)小数点位置的移动引起小数大小的变化
小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍……
小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍……
小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足。
(五)分数的基本性质:
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
四、四则运算的意义
(一)整数四则运算
1、整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2、整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是总数,减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
被减数-减数=差被减数=减数+差
3、整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
0和任何数相乘都得0,1和任何数相乘都得任何数。
因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数
4、整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
5、乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
例如4×4=42=16,4×4×4=43=64。
(二)小数四则运算
小数加法、减法、小数乘整数、小数除法的意义与整数相同。
一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
(三)分数四则运算
分数加法、减法、分数乘整数、分数除法的意义与整数相同。
分数乘分数的意义是求这个数的几分之几是多少。
如
×
表示求
的
的多少。
乘积是1的两个数叫做互为倒数。
五、简便运算的依据
(一)运算定律
1、加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。
2、加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即a+b+c=a+(b+c)。
3、乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4、乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。
5、乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。
两个数的差与一个数相乘也可以:
(a-b)×c=a×c-b×c
(二)加数或减数接近整数(或整十、整百数……)的简便计算:
多加就减;多减就加;少减就再减。
(三)去括号(或添括号)法则。
(用于同级运算中)
在加、减法中:
括号前面是加号,去掉括号不变号;括号前面是减号,去掉括号要变号。
加变减,减变加。
在乘、除法中:
括号前面是乘号,去掉括号不变号;括号前面是除号,去掉括号要变号,乘变除,除变乘。
(四)减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去这几个数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。
(五)积不变的性质:
两个因数,一个扩大若干倍,另一个缩小相同的倍数,积不变。
a×b=(a×c)×(b÷c)
(六)除法的性质:
一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数的乘积。
即a÷b÷c=a÷(b×c)
(七)商不变的性质:
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变。
a÷b=(a÷c)÷(b÷c)
a÷b=(a×c)÷(b×c)
六、运算法则
1、整数加法:
相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
2、整数减法:
相同数位对齐,从个位减起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
3、整数乘法:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,哪一位上乘得的积满几十就向前进几,然后把各次乘得的数加起来。
4、整数除法:
先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
5、小数乘法:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。
6、除数是整数的小数除法:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
7、除数是小数的除法:
先移动除数的小数点,使它变成整数,被除数的小数点也同时向右移动相同的位数(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8、同分母分数加减法:
只把分子相加减,分母不变。
9、异分母分数加减法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10、分数乘法:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
所得的积一般要写成最简分数。
12、分数除法:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
七、混合运算的运算顺序
第一级运算:
加法和减法。
第二级运算:
乘法和除法。
没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;有两级运算的先算乘、除法,后算加减法。
有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
第二章解决问题
一、一般应用题常用数量关系
1、单价×数量=总价总价÷数量=单价总价÷单价=数量
2、平均数问题
算术平均数:
数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数:
(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
差额平均数:
(大数-小数)÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数
最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
3、行程问题
(1)一般行程问题
速度×时间=路程;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间。
(2)反向行程问题:
分为“相遇问题”(二人从两地出发,相向而行)和“相离问题”(两人背向而行)
两种。
(速度和)×相遇(离)时间=相遇(离)路程;相遇(离)路程÷(速度和)=相遇(离)时间;
相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度和。
(3)同向行程问题(追及问题)
追及(拉开)路程÷(速度差)=追及(拉开)时间;追及(拉开)路程÷追及(拉开)时间=速度差;
(速度差)×追及(拉开)时间=追及(拉开)路程。
4、植树问题
(1)在非封闭线路的两端都要植树
株数=段数+1=全长÷株距-1全长=株距×(株数-1)株距=全长÷(株数-1)
(2)在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树
株数=段数=全长÷株距全长=株距×株数株距=全长÷株数
(3)在非封闭线路的两端都不要植树
株数=段数-1=全长÷株距-1全长=株距×(株数+1)株距=全长÷(株数+1)
(4)封闭线路上植树
株数=段数=全长÷株距全长=株距×株数株距=全长÷株数
5、列车过桥问题
(桥长+列车长)÷速度=过桥时间;(桥长+列车长)÷过桥时间=速度;
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
6.单产量×数量=总产量总产量÷数量=单产量总产量÷单产量=数量
7.一倍数×倍数=几倍数几倍数÷倍数=一倍数几倍数÷一倍数=倍数
8.较小数+相差数=较大数较大数-相差数=较小数较大数-较小数=相差数
9.和差问题:
较大数=(和+差)÷2较小数=(和-差)÷2
10.每份数×份数=总数量总数量÷份数=每份数总数量÷每份数=份数
11.图上距离÷实际距离=比例尺图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺
二、分数应用题常用的数量关系
1.求比较量:
单位“1”的量×比较量对应的分率=比较量
单位“1”的量×多的分率=多的数量单位“1”的量×少的分率=少的数量
总之,单位“1”的量乘什么量对应的分率就等于什么量。
2.求单位“1”的量:
比较量÷比较量对应的分率=单位“1”的量
多的数量÷多的分率=单位“1”的量少的数量÷少的分率=单位“1”的量
3.求分率:
比较量÷单位“1”的量=比较量以应的分率
少的数量÷单位“1”的量=少的分率多的数量÷单位“1”的量=多的分率
注意:
甲数比乙数多的分率≠乙数比甲数少的分率。
(因为单位“1”不同。
)
4.工程问题:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率
合作总量=合作工效×合作时间
合作时间=合作总量÷合作工效合作工效=合作总量÷合作时间
5、百分率
发芽率=发芽种子数÷试验种子数小麦的出粉率=面粉的重量÷小麦的重量
产品的合格率=合格的产品数÷产品总数出勤率=实到人数÷应到人数
6、纳税:
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的(销售额、营业额……)的比率叫做税率。
应纳税款=收入×税率
7、利息:
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×年利率年数 税后利息=利息×(1-利息税率)本息=本金+利息
8、利润与折扣问题
折扣率=卖价÷原价卖价=原价×折扣率减价=原价×(1-折扣率)成本=卖价÷(1-赔率)
成本=卖价÷(1+赚率)卖价=成本×(1+赚率)卖价=成本×(1
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