作业1数学建模姜启源版doc.docx
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作业1数学建模姜启源版doc
实验一动力系统
一、实验目的与要求
掌握运用软件求解动态系统模型,通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。
通过对数据进行处理,归纳出动态系统模型。
1、用Excel对数据进行处理,建立动态系统模型并且进行验证;
2、用Excel画散点图,对动态系统模型解的长期趋势进行分析;
3、用Excel求解动态系统模型并佔计均衡点;
4、用Excel分析多元动态系统模型。
二、实验内容
Example1.1P9研究课题第一题
随着汽油价格的上涨,今年你希望买一辆新的(混合动力)汽车。
你把选
择范围缩小到以下几种车型:
2007ToyotaCamry混合动力汽车2007Saturn混合
动力汽车2007HondaCivic混合动力汽车2007NissanAltima混合动力汽车
2007MercuryMariner混合动力汽车。
每年公司都向你提供如下的"优惠价"。
你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。
采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。
混合动力汽车
“优惠价”(美元)
预付款(美元)
利率和贷款持续吋间
Saturn
22045
1000
年利率5.95%,60个月
HondaCivic
24350
1500
年利率5.5%,60个月
ToyotaCamry
26200
750
年利率6.25%%,60个月
Mariner
27515
1500
年利率6%%,60个月
Altima
24900
1000
年利率5.9%%,60个月
解答如下,对五家公司分別建立动力系统模型:
Saturn:
ZJbn=bn+J-bn=0.0595bn-6000
bn+i~bn+0.0595bn-6000b。
二21045
HondaCivic:
Zldn=bn+j-hn=0.055bn-6000bn+i二bn+0.055bn-6000bo二22850
ToyotaCamry:
4bn=bn+i-bn=0.0625bn-6000bn+i-hn+0.0625bn-6000b。
二25450
Mariner:
Abn=bn+rbn=0.06bn-6000
bn+i=bn+0.06bn-6000b。
二26015
Altima:
Abn=bn^rbn=0.059bn-6000bw二6+0.059九・6000bo二23900
Excel操作步骤:
g]MicrosoftExcel・黔建MicrosoftExcel工作表
文件(D務(£)视图QD循入①梧式CO)IM(D城(0窗口(W)毎助(W
;」占且12曲旦山L券0JX事矗▼▼o二Ihw▼头削辿对1QQ%和
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
Saturn
HondaCivic
ToyotaCamry
Mariner
Altima
2
月份
余颔
月份
余颔
月份
余额
月份
余额
月份
余额
3
n
Bn
n
Dn
n
Fn
n
Hn
n
Jn
4
0
21045
0
22850
0
25450
0
26015
0
23900
5
6
7
8
9
10
11
2.用智能标识把刀份从0拉到5:
3.在&输入二B4+0.0595B4-6000,回车后下拉即可可到序列B=(16297.18,11266.86,
5937.238,…)。
同理在D,F,H,J行输入,得到如下表格:
画MicrosoftExcel-新建MicrosoftExcel工作表:
旦]文件(E)编辑(E)视图(Y)插入(I)格式(Q)工BCD加9)奮匚(W)帮助(LD
-zla!
圈旳100%
4.在插入T图表tXY散点图,选屮数据格就可得出下表:
(1)选中A1到B9的数据,建立散点图,得到Saturn表:
Saturn
—♦—Saturn余额
(2)选屮Cl到D9的数据,建立散点图,得到HondaCivic表:
HondnCivic
—♦—HondaCivic余额
(3)选中El到F9的数据,建立散点图,得到ToyotaCamry表
ToyotaCamry
—♦-ToyotaCamry余额
(4)选中G1到H9的数据,建立散点图,得到Mariner表
Mariner
—♦—Mariner余额
(5)选屮11到J9的数据,建立散点图,得到Altima表
月份
—♦—Altima余额
由图可知:
Saturn表的线最早与X轴相交,故我们可以得出应当购买Satum公司的汽车。
Example1.2P16习题第二题
下列数据表示从1790到2000年的美国人口数据
Year
population
Year
Population
Year
Population
1790
3,929,000
1870
38,558,000
1940
131,669,000
1800
5,308,000
1880
50,156,000
1950
150,697,000
1810
7,240,000
1890
62,948,000
1960
179,323,000
1820
9,638,000
1900
75,995,000
1970
203,212,000
1830
12,866,000
1910
91,972,000
1980
226,505,000
1840
17,069,000
1920
105,711,000
1999
248,710,000
1850
23,192,000
1930
122,755,000
2000
281,416,000
1860
31,443,000
求出能够相当好地拟合该数据的动力模型,通过画出模型的预测值和数据值来测试你的模型。
解答如下:
首先均差计算公式可得卜-列差分表
divideddifferencetable
均差
Year
Observedpopulation
1790
392,900
△
A2
A3
A4
1800|530,800
13,790
1810
7,240,000
670,920
32856.5
1820
9,638,000
239,800
-21556
-1813.75
183O|12,866,000
322,800
4150
856.8667
66.76542
184o|17,069,000
420,300
4875
24.16667
-20.8175
185()
23,192,000
612,300
96(X)
157.5
3.333333
1860
31,443,000
825,100
10640
34.66667
-3.07083
1870|38,558,000
711,500
-5680
-544
-14.4667
1880
50,156,000
1,159,800
22415
936.5
37.0125
189()
62,948,000
1,279,200
5970
-548.167
-37.1167
1900
75,995,000
1,304,700
1275
-156.5
9.791667
1910
91,972,000
1,597,700
14650
445.8333
15.05833
1920
105,711,000
1,373,900
■11190
-861.333
・32.6792
1930
122,755,000
1,704,400
16525
923.8333
44.62917
1940
131,669,000
891,400
-40650
-1905.83
-70.7417
1950
150,697,000
1,902,800
50570
3040.667
123.6625
I960
179,323,000
2,862,600
47990
・86
■7&1667
1970
203,212,000
2,388,900
-23685
-2389.17
-57.5792
1980
226,505,000
2,329,300
-2980
690.1667
76.98333
1990
24&709,873
2,220,487
.5440.64
-82.0212
-19.3047
2000
281,416,000
3,270,613
52506.27
1931.564
50.33962
根据excel中“T具t数据分析T冋归”,可得如下图像
模型:
y=670127x2・3E+06x+8E+06
Example1.4P50第四题
假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵:
老鼠。
生态学家希望预测在一个鸟兽类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平。
令Mn表示n年后老
鼠的种群量,On表示n年后斑点猫头鹰的种群量。
生态学家提出了下列模型:
Mn+l=l.2Mn-0.OlOnMn
On+1=0.70n+0・0020nMn
生态学家想知道在栖息地两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感。
(a)比较上面模型中系数的正负号和例3中猫头鹰-模型中系数的正负号。
依次解释正在建模的捕食者——食饵关系中四个系数1・2、-0・01、0・7和0.002的正负号的意义。
(b)对下列表中初始种群数量进行检验并预测其长期行为:
(C)现在利用给定的起始值对不同的系数的值做实验,然后再试不同的起始值。
长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感?
解答如下:
(a)1.2和0.7分别是老鼠和猫头鹰增长率,都是正常数。
猫头鹰的存在是为了降低老鼠的增长率,反之亦然。
OnMn为两种生物竞争的激烈程度。
-0.001的负号表示随着竞争激烈程度的增加,老鼠的数忖不断减少。
0.002的正号表示随着竞争激烈程度的増加,猫头鹰的数目不断増加。
(b)平衡点:
如果把(M,0)成为平衡点,那么必须同时有M=Mn+l=Mn和0二On+1二
On,把它们带入模型给出
0二M*(0.2-0.001*0)
0二0*(-0.3+0・002*M)
平衡点的意义:
第一个方程表明如果M二0或0=200,那么老鼠的种群量没有变化。
第二个方程表明如果0二0或M二150,那么斑点猫头鹰的种群量没有变化。
如下图
(1)所示在(M,0)二(0,0)和(M,0)=(150,200)处于平衡点,因为两个种群的种群量在这两个点都没有变化。
Excel操作步骤:
1.打开excel表格,输入如下表格:
2.用智能标识把天数从2拉到30:
3.在B4输入二0.7*B3+0.002*B3*C3冋车后下拉即可可到序B二(200,200,200…)。
在C4输入二1.2*C3-0・001*B3*C3回车后下拉即可可到序B=(150,150,150…)。
得到如下表格:
刮MicrosoftExcel・123
=3]文件(0精㈢视冒(V)插入①格式©
:
」」T2丨专*需二
E1-玉
A
B
C
D
1
平衡
2
n猫头鹰老鼠
3
11—200|150
4
2
200
150
5
3
200
150
6
4
200
150
7
5
200
150
8
6
200
150
9
7
200
150
10
8
200
150
11
9
200
150
12
10
200
150
13
11
200
150
14
12
200
150
15
13
200
150
16
14
200
150
17
15
200
150
18
16
200
150
19
17
200
150
20
18
200
150
21
19
200
150
22
20
200
150
23
21
200
150
24
22
200
150
25
23
200
150
26
24
200
150
27
25
200
150
28
26
200
150
29
27
200
150
30
28
200
150
31
29
200
150
32
30
200
150
4.在插入t图表TXY散点图,选中数据格就可得出下表:
选屮A1到C32的数据,建立散点图,得到平衡表:
平衡
(图1)
图1:
如果老鼠的种群量从150开始而猫头鹰的种群量从200开始,那么这対
个种群都停留在它们的起始值处。
(b)
(1)情形A长期行为:
猫头鹰先逐渐变多,达到一个顶峰后,数目又逐渐下降。
后來随着老鼠的增加乂逐渐上升。
老鼠数日先上升一小段,有急剧下降,后来是随着猫头鹰的减少而数忖上升(他们的数忖是互相波动的)
EXCLE操作同上图操作相似。
文件(B輛匡)视图M插入0)格式(Q)工MOD数揭9)S0(W)科助但)
(2)情形B长期行为:
猫头鹰先逐渐变多,达到一个顶峰后,数Fl乂逐渐下降。
后来随着
老鼠的增加又逐渐上升。
老鼠数目先上升一小段,有急剧下降,后
来是随着猫头鹰的减少而数日上升。
(他们的数a是互相波动的)
」文件(B^(E)视誣旨入①囲(Q)工具(D
皿if
1
情形B
2
n
猫头懈
老鼠
3
1
150
300
4
2
195
315
5
3
259.35
316.575
6
4
345.7525
297.7863
7
5
447.9474
254.3832
8
6
541.4637
191.3095
9
7
586.199
125.9843
10
8
558.043
77.32927
11
9
476.9362
49.64207
12
10
381.2076
35.89438
13
11
294.2117
29.39005
14
12
223.242
26.62116
15
13
168.1553
26.00243
16
14
126.4536
26.83047
17
15
95.30315
28.80376
18
16
72.20238
31.81942
19
17
55.13654
35.88587
20
18
42.55283
41.08442
21
19
33.28349
47.55304
22
20
26.46391
55.48092
23
21
21.46122
65.10886
24
22
17.81749
76.73332
25
23
15.20663
90.71279
26
24
13.40351
107.4759
27
25
12.26357
127.5305
28
26
11.71246
151.4727
29
27
11.74695
179.9931
30
28
12.45161
213.8773
31
29
14.04236
253.9897
32
30
16.96288
301.221
(3)情形C长期行为:
猫头鹰先逐渐变多,达到一个顶峰后,数冃又逐渐下降。
后来随着老鼠的增加又逐渐上升。
老鼠数目先上升一小段,有急剧下降,后来是随着猫头鹰的减少而数H上升。
(他们的数目是互和波动的)
(4)情形D长期行为:
猫头鹰数忖不断增长。
老鼠数口几乎不变,直到第26天开始不断增长。
i®]文件(D耐(£)视圏(Y)插入0)格式g)IM©加9)窗口(W)网助(H)
:
」二£3』32犁臥能7运▼/勺▼7或W▼头诲辿母90%二超❷]未体
K?
-A-
A
B
C
1
情形D
2
n
猫头僂
老鼠
3
1
10
10
4
2
7.2
11.9
5
3
5.21136
14.19432
6
4
3.795895
16.95921
7
5
2.785878
20.28668
8
6
2.063147
24.2875
9
7
1.54442
29.09489
10
8
1.170964
34.86893
11
9
0.901335
41.80189
12
10
0.706289
50.12459
13
11
0.565208
60.11411
14
12
0.463599
72.10295
15
13
0.391373
86.49011
16
14
0.341661
103.7543
17
15
0.31006
124.4697
18
16
0.294228
149.325
19
17
0.293831
179.1461
20
18
0.310959
214.9227
21
19
0.351336
257.8404
22
20
0.427112
309.3179
23
21
0.563206
371.0494
24
22
0.812198
445.0503
25
23
1.291477
533.6988
26
24
2.282553
639.7493
27
25
4.518311
766.239
28
26
11
916.0246
29
27
27.85254
1089.153
30
28
80.16816
1276.648
31
29
260.8108
1429.631
32
30
928.2941
1342.694
I
一1情形D猫头鹰
情形D老鼠
(c)在情形A的基础上,利用给定的起始值对不同的系数的值做实验
(2)起始值相同,系数不同:
(1)起始值相同,系数不同:
Mn的系数1.2改为1.0
On的系数0.7改为0.4
OnMn的系数-0・001改为-0.02
OnMn的系数0.002改为0.001
情形A
n
猫头鹰
1
150
200
2n
120
170
31
88.8
149.6
4J
62.08896
136.3155
5J
41.76296
127.8518
6d
27.38413
122.5124
7J
17.66344
119.1575
8J
11.27484
117.0527
9
7.149436
115.733
10
4.514625
114.9056
11J
2.843361
114.3868
12
1.78783
114.0616
13n
1.122978
113.8576
14J
0.70491
113.7298
15
0.442303
113.6496
16J
0.277456
113.5993
17J
0.17402
113.5678
18
0.109134
113.5481
19
0.068438
113.5357
20J
0.042915
113.5279
21J
0.02691
113.523
22J
0.016874
113.52
23J
0.010581
113.5181
24J
0.006634
113.5169
25J
0.00416
113.5161
26J
0.002608
113.5156
27J
0.001636
113.5153
28
0.001026
113.5151
29J
0.000643
113.515
30
0.000403
113.515
情形A
n
猫头鹰
老鼠
1
150
200
2
135
180
3
118.8
167.4
4
103.0471
161.1058
5
88.73447
160.1239
6
76.32264
163.7317
7
65.92228
171.4852
8
57.45029
183.1728
9
50.73854
198.7607
10
45.6018
218.3432
11
41.87811
242.0982
12
39.45329
270.2406
13
38.27918
302.9649
14
38.39268
340.3634
15
39.94233
382.3012
16
43.22964
428.2214
17
48.7726
476.842
18
57.39764
525.6967
19
70.3521
570.4886
20
89.38154
604.3161
21
116.5818
617.1499
22
153.5557
596.683
23
199.1131
532.7715
24
245.4609
427.1623
25
276.6743
302.8915
26
277.4743
195.8652
27
248.5795
126.3431
28
205.412
88.79913
29
162.0288
70.07814
30
124.7748
61.38441
散点图如下:
情景A
天数
猫头鹰
老鼠
长期行为:
猫头鹰灭绝,老鼠长期维持在113只左右。
猫头鹰和老鼠的数量互相波动。
猫头鷹的起始值150改为90
(3)系
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