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ReadingMaterial1
StaticAnalysisofBeams
横梁的静力分析
Abarthatissubjectedtoforces(受力)actingtransverse(横截面)toitsaxisiscalledabeam.
一条受到由截面向轴心的力的棒子称为横梁。
Inthissectionwewillconsideronlyafewofthesimplesttypesofbeams,suchasthoseshowninFig.1.2.
在这文章中我们将讨论几种最简单的受力图,如图1.2所示。
Ineveryinstanceitisassumedthatthebeamhasaplaneofsymmetry(对称面)thatisparallelto(平行于)theplaneofthefigureitself.
每种情况下,我们假设横梁水平对称,即与其平整的外形对称。
每种情况下,我们假设横梁水平对称,即与其平整的外形对称。
Thus,thecrosssection(横截面)ofthebeamhasaverticalaxisOfsymmetry.
因此,梁的横截面有垂直对称轴。
Also,itisassumedthattheappliedloads(作用力,载荷)actintheplaneofsymmetry(对称面),andhencebendingofthebeamoccursinthatplane.
同时,假设作用力作用在对称面上,同时截面发生弯曲变形。
同时假定施加载荷于对称平面,同时弯曲也发生在那个平面。
Laterwewillconsideramoregeneralkindofbending(弯曲)inwhichthebeammayhaveanunsymmetrical(非对称的)crosssection(横截面).
之后,我们考虑一种更普遍的弯曲,可能有非对称截面。
(a)Asimplesupportedbeam(简支梁)
(b)Acantileverbeam(悬臂梁)
(c)Abeamwithanoverhang(外伸梁)
Fig.1.2Typesofbeams
ThebeaminFig.1.2(a),withapinsupportatoneendandarollersupportattheother,iscalledasimplysupportedbeam,orasimplebeam.Theessentialfeatureofasimplebeamisthatbothandsofthebeammayrotatefreelyduringbending,buttheycannottranslateinthelateraldirection.Also,oneendofthebeamcanmovefreelyintheaxialdirection(thatis,horizontally).Thesupportsofasimplebeammaysustainverticalreactionsactingeitherupwardordownward.
ThebeaminFig.1.2(b)whichisbuiltinorfixedatoneendandfreeattheotherend,iscalledacantileverbeam.Atthefixedsupportthebeamcanneitherrotatenortranslate,whileatthefreeenditmaydoboth.Thethirdexampleinthefigureshowsabeamwithanoverhang.ThisbeamissimplysupportedatAandBandhasafreeendatC.
Loadsonabeammaybeconcentratedforces,suchasP1andP2inFig.1.2(a)and(c),ordistributedloads,suchastheloadqinFig.1.2(b).Distributedloadsarecharacterizedbytheirintensity,whichisexpressedinunitsofforceperunitdistancealongtheaxisofthebeam.Forauniformlydistributedload,illustratedinFig.1.2(b),theintensityisconstant;avaryingload,ontheotherhand,isoneinwhichtheintensityvariesasafunctionofdistancealongtheaxisofthebeam.
ThebeamsshowninFig.1.2arestaticallydeterminatebecausealltheirreactionscanbedeterminedfromequationsofstaticequilibrium.Forinstance,inthecaseofthesimplebeamsupportingtheloadPl[Fig.1.2(a)],bothreactionsarevertical,andtheirmagnitudescanbefoundbysummingmomentsabouttheends;thus,wefind
RA=P1(L--a)/LRB=P1a/L
Thereactionsforthebeamwithanoverhang[Fig.1.2(c)]canbefoundinthesamemanner.
Forthecantileverbeam[Fig.1.2(b)],theactionoftheappliedloadqisequilibratedbyaverticalforceRAandacoupleMAactingatthefixedsupport,asshowninthefigure.Fromasummationofforcesintheverticaldirection,weconcludethat
RA=qb
and,fromasummationofmomentsaboutpointA,wefind
MA=qb(a+b/2)
ThereactivemomentMAactscounterclockwiseasshowninthefigure.
Theprecedingexamplesillustratehowthereactions(forcesandmoments)ofstaticallydeterminatebeamsmaybecalculatedbystatics.Thedeterminationofthereactionsforstaticallyindeterminatebeamsrequiresaconsiderationofthebendingofthebeams,andhencethissubjectwillbepostponed.
TheidealizedsupportconditionsshowninFig.1.2areencounteredonlyoccasionallyinpractice.Asanexample,long—spanbeamsinbridgessometimesareconstructedwithpinandrollersupportattheends.However,inbeamsofshorterspan,thereisusuallysomerestraintagainsthorizontalmovementofthesupports.Undermostconditionsthisrestrainthaslittleeffectontheactionofthebeamandcanbeneglected.However,ifthebeamisveryflexible,andifthehorizontalrestraintsattheendsareveryrigid,itmaybenecessarytoconsidertheireffects.
Example*
FindthereactionsatthesupportsforasimplebeamloadedasshowninFig.1.3(a)
Neglecttheweightofthebeam.
Solution
Theloadingofthebeamisalreadygivenindiagrammaticform.Thenatureofthesupportsisexaminednextandtheunknowncomponentsofthesereactionsareboldlyindicatedonthediagram.Thebeam,withtheunknownreactioncomponentsandalltheappliedforces,isredrawninFig.1.3(b)todeliberatelyemphasizethisimportantstepinconstructingafree—bodydiagram.AtA,twounknownreactioncomponentsmayexist,sincetheendispinned.ThereactionatBcanonlyactinaverticaldirectionsincetheendisonaroller.Thepointsofapplicationofallforcesarecarefullynoted.Afterafreebodydiagramofthebeamismade,tileequationsofstaticsareappliedtoobtainthesolution.
Fig.1,3Asimplebeam
∑Fx=0,RAx=0
∑MA=O+,2000+100(10)+160(15)-RB(20)=0,RB=+2700lb↑
∑MB=O+,RAy(20)+2000-100(10)-160(5)=0,RAy=-10lb↓
Check:
∑Fy=0↑+,-10-100-160+270=0
Notethat∑Fx=0usesuponeofthethreeindependentequationsofstatics.thusonlytwoadditionalreactioncomponentsmaybedeterminedfromstatics.Ifmoreunknownreactioncomponentsormomentsexistatthesupport,theproblembecomesstaticallyindeterminate.
NotethattheconcentratedmomentappliedatCentersonlyintotheexpressionsforthesummationofmoments.ThepositivesignofRBindicatesthatthedirectionofRBhasbeencorrectlyassumedinFig.1.3(b).TheinverseisthecaseofRAy,andtheverticalreactionatAisdownward.Notethatacheckonthearithmeticalworkisavailableifthecalculationsaremadeasshown.
(SelectedfromStephenP.TimoshenkoandJamesM.Gere,MechanicsofMaterials*
VanNostrandReinholdCompanyLtd.,1978.
*SelectedfromEgorP.Popov,IntroductiontoMechanicsofSolids*Prentice-HallInc.,1968.)
材料1
横梁的静力分析
一条受到由截面向轴心的力的棒子称为横梁。
在这文章中我们将讨论几种最简单的受力图,如图1.2所示。
每种情况下,我们假设横梁水平对称即与其平整的外形对称。
因此,横梁截面梁垂直对称轴。
同时假定施加载荷于对称平面,同时弯曲也发生在那个平面。
之后,我们考虑一种更普遍的弯曲,可能有非对称截面。
(a)简单的支撑横梁(b)悬臂梁(c)外伸梁
图1.2横梁的种类
在图1.2(a)中杆一端由固定支座支撑另一端由一个滚动支座支撑,被称为简支梁或者单体梁。
简支的一个基本的特征是在弯曲的时候杆的两端可以自由旋转,但是不能横向移动。
杆一端能够在轴向自由移动(意思是水平方向)。
简支梁的支撑可能垂直向上或者向下。
如图1.2(b)杆一端固定,另一端自由的称作悬臂梁。
在固定的一端既不能旋转也不能移动,但另一端两者均可。
图中第三个例子展示的是带有悬垂部分的外伸梁。
梁在AB处受到支撑,有一个自由端C。
杆上的载荷可能集中在一点,例如图1.2(a)的P1和1.2(c)的P2,或者分散分布,例如,图1.2(b)的q.具有分布式荷载强度,主要表现为一个单位距离力沿杆的主轴。
对于均匀呢分布的载荷,例如1.2(b)中,其强度是不变的;非均匀分布的载荷其强度是随沿其杆轴线方向距离的一个函数。
图1.2的横梁是静定的,因为所以的反应都可以从静力平衡方程中得出。
例如,图1.2(a)中简支梁受的力p1,两个方向的受力都是垂直的,并且其大小也可以通过总结受力完成瞬间得出,因此,我们发现RA=P1(L-a)/LRB=aP1/L图1.2(c)的外伸梁的受力也可以用同种方法获得。
对于图1.2(b)的悬臂梁,所受应用载荷q与一个垂直力和固定端的力偶平行,如图所示。
从以上垂直方向的合力,我们总结得出RA=qb。
从A点的合力,我们发现MA=qb(a+b/2),作用力力偶是逆时针的如图所示。
前面的例子说明了静定力能够由静力学方程求出来。
静力不确定横梁的力需要考虑梁的变形,这个在以后会做讨论。
图1.2中的理想化条件在实际中只是偶尔遇到。
例如,大桥中的长距离横梁两端有时候需要铰链和滚动结构。
当然,在短距离横梁中经常会有一些对支撑水平移动的制约力。
在多数情况下,这种约束力对横梁的影响很小,可以忽略不计。
但是,如果横梁的韧性横好,而两端的水平制约力非常的明显,那么就必须要考虑这个的影响了。
例子
找出图1.3(a)简单横梁受力下的反作用力。
忽略横梁的重力。
解决方案
横梁的受力已经在图中给出。
支撑力的性质接下来就会测出,组成部分未知的反作用力也将会在图中大胆的指出。
含有未知力部分和所有应用力的横梁被重新展示在图1.3(b)中用来着重强调构建一个自由图示的步骤。
在A点,可能存在两个未知的反作用力,因为两端被约束。
B点的约束反力只能在垂直方向起作用,因为B端在滑动支座上。
力的作用点被仔细的标记出来。
当横梁的自由结构图示制作出来,就可以利用静力学方程得出求解。
∑Fx=0,RAx=0
∑MA=0+,2000+100(10)+160(15)-RB(20)=0,RB=+2700lb↑
∑MB=0+,Ray(20)+2000-100(10)-160(5)=0,Ray=-10lb↓
检查:
∑Fy=0↑+,-10-100-160+270=0
注意,∑FX=0既是三个静力学独立方程的一个,所以只有两个额外的反作用力可以从静力学中求得。
如果出现更多的反作用力部分或者更多的支持瞬间存在,问题就会变成静力学不确定。
注意,集中作用与C点的力只有一个合力瞬间的表达式。
RB的正方向表明RB已经在图1.3(b)中准确的假设了。
Ray的情况相反,A点的垂直作用力向下。
注意假如计算过程如上所示,那么计算的验证是有效的。
(选自StephenP.TimoshenkoandJamesM.Gere,材料机械,诺斯特兰德莱有限公司,1978。
选自EgorP.Popov,固体机械介绍,普伦蒂斯-霍尔公司,1968)
ReadingMaterial2
Shearforceandbendingmomentinbeams
Letusnowconsider,asanexample,acantileverbeamacteduponbyaninclinedload(斜载荷)Patitsfreeend[fig.1.5(a)].
Ifwecutthroughthebeamatacrosssectionmnandisolatetheleft-handpartofthebeamsasfreebody[fig.1.5(b)],weseethattheactionoftheremovedpartofthebeam(thatis,theright-hangpart)upontheleft-handpartmustbesuchastoholdtheleft-handpartintheequilibrium.
Thedistributionofstressesoverthecrosssectionmnisnotknownatthisstageinourstudy,butwedoknowthattheresultantofthesestressesmustbesuchastoequilibratetheloadP.
ItisconvenienttoresolvetheresultantintoanaxialforceNactingnormaltothecrosssectionandpassingthroughthecentroidofthecrosssection,ashearforceVactingparalleltothecrosssection,andabendingmomentMactionintheplaneofthebeam.
Theaxialforce,shearforce,andbendingmomentactingatacrosssectionofabeamareknownasstressresultants.
Forastaticallydeterminatebeam,thestressresultantscanbedeterminedfromresultanequationsofequilibriumforthecantileverbeampicturedinFig.1.5,wemaywritethreeequationsofstaticsforthefree-bodydiagramshowninthesecondpartofthefigure.Fromsummationsofforcesinthehorizontalandverticaldirectionswefind,respectively,
N=PcosβV=Psinβ
and,fromasummationofmomentsaboutanaxisthroughthecentroidofcrosssectionmn,weobtain
M=Pxsinβ
wherexisthedistancefromthefreeendtosectionmn.Thusthroughtheuseofafree-bodydiagramandequationsofstaticequilibrium,weareabletocalculatethestressresultantswithoutdifficulty.ThestressesinthebeamduetotheaxialforceNactingalonehavebeendiscussedinthetextofUnit.2;NowwewillseehowtoobtainthestressesassociatedwithbendingmomentMandtheshearforceV.
ThestressresultantsN,VandMwillbeassumedtobepositivewhentheyactinthedirectionsshowninFig.1.5(b).Thissignconventionisonlyuseful,however,whenwearediscussingtheequilibriumoftheleft-handpartofthebeam.Iftheright-handpartofthebeamisconsidered,wewillfindthatthestressresulta
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