学年北师大版数学八年级下册第三章 图形的平移与旋转专题练习附答案.docx
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学年北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转专题练习附答案
专题1 旋转构造等腰(边)及等腰直角三角形
类型1 旋转构成等腰(等边)三角形
1.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′,使点C的对应点C′恰好落在边AB上,则∠CAA′的度数是()
A.50°B.70°C.110°D.120°
第1题图 第2题图
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′,使点C′落在AB边上,连接BB′,则BB′的长度是()
A.1cmB.2cm
C.
cmD.2
cm
3.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,且AB′=CB′,则∠C′的度数为()
A.18°B.20°C.24°D.28°
第3题图 第4题图
4.如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△ADE.若AB=2,∠ACB=30°,则线段CD的长度为.
5.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.若AB=6,BC=8,则BD=.
6.如图,已知等边三角形ABC,O为△ABC内一点,连接OA,OB,OC,将△BAO绕点B旋转至△BCM.
(1)依题意补全图形;
(2)若OA=
,OB=
,OC=1,求∠OCM的度数.
类型2 旋转后构成直角(等腰直角)三角形
7.如图,在△ABC中,AB=
,AC=
,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为()
A.3
B.2
C.2
D.4
8.如图,在等边△ABC内有一点D,AD=4,BD=3,CD=5,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,则四边形ADCE的面积为()
A.12B.12+4
C.6+4
D.6+8
第8题图 变式图
【变式】 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,点P是△ABC内的一点.如果AP=3,BP=1,CP=2,那么∠BPC的度数是.
9.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点C和点E是对应点.若∠CAE=90°,BD=2,则AB的长为.
专题2 利用旋转理解几何模型
模型1 特殊三角形中的“手拉手”模型
1.如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边△ACD和等边△BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度数为_.
2.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接DE,现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度(如图2),连接BD,CE,延长BD交CE于点F.连接AF.若AD⊥BD,BD=6,CF=4,则DF=.
3.两块等腰直角三角尺AOB与COD(不全等)如图1放置,则有结论:
①AC=BD;②AC⊥BD.若把三角尺COD绕着点O逆时针旋转一定的角度后,如图2所示,判断结论:
①AC=BD;②AC⊥BD是否都还成立?
若成立请给出证明,若不成立请说明理由.
模型2 “对角互补”模型
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8,点D为AB的中点.若直角EDF绕点D旋转,分别交AC于点E,交BC于点F,则下列说法:
①AE=CF;②EC+CF=
AD;③DE=DF;④若△ECF的面积为一个定值,则EF的长也是一个定值,其中正确的有.
5.如图,点P为∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则以下结论:
①PM=PN恒成立;②OM-ON的值不变;③△OMN的周长不变;④四边形PMON的面积不变.其中正确的序号为.
模型3 “半角”模型
6.
(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=45°,为了探究BD,DE,CE之间的等量关系,现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB,连接DF,经探究,你所得到的BD,DE,CE之间的等量关系式是;
图1 图2
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=60°,∠ADE=45°,试仿照
(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究BD,DE,CE之间的等量关系,并证明你的结论.
模型4 “倍长中线”(旋转180°)模型
7.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
(1)如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:
延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
[感悟]解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(2)解决问题:
受到
(1)的启发,请你证明下列命题:
如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①求证:
BE+CF>EF;
②若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
参考答案:
专题1 旋转构造等腰(边)及等腰直角三角形
1.D
2.B
3.C
4.2.
5.10.
6.如图,已知等边三角形ABC,O为△ABC内一点,连接OA,OB,OC,将△BAO绕点B旋转至△BCM.
(1)依题意补全图形;
(2)若OA=
,OB=
,OC=1,求∠OCM的度数.
解:
(1)依题意补全图形,如图所示.
(2)连接OM.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵△BAO旋转得到△BCM,OA=
,OB=
,
∴MC=OA=
,MB=OB=
,∠OBM=∠ABC=60°.
∴△OBM为等边三角形.
∴OM=OB=
.
∵在△OMC中,OC=1,MC=
,OM=
.
∴OC2+MC2=OM2.
∴∠OCM=90°.
7.A
8.C
【变式】 135°.
9.
.
专题2 利用旋转理解几何模型
1._120°_.
2.2
3.
解:
①②都还成立.
证明:
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA.
∴∠COA=∠DOB.
在△ACO和△BDO中,
∴△ACO≌△BDO(SAS).
∴AC=BD,∠OBD=∠OAC.
设AO与BD交于点E,AC与BD交于点N,则∠BEO=∠AED.
∴∠AOB=∠ANE=90°.
∴AC⊥BD.
综上所述:
①AC=BD,②AC⊥BD都还成立.
4.①②③④.
5.①④.
6.
(1)BD2+CE2=DE2;
图1 图2
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=60°,∠ADE=45°,试仿照
(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究BD,DE,CE之间的等量关系,并证明你的结论.
解:
仿照
(1)将△AEC绕点A顺时针旋转120°后为△AFB,连接DF,则△AEC≌△AFB.
∴BF=CE,AE=AF,∠EAC=∠FAB.
∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠EAC=60°,即∠FAD=∠DAE=∠FAB+∠BAD=60°.
∴△AFD≌△AED(SAS).
∴∠ADF=∠ADE,FD=DE.
∵∠ADE=45°,∴∠ADF=45°.∴∠BDF=90°.
在Rt△BDF中,由勾股定理,得BF2=BD2+DF2.
∴CE2=BD2+DE2.
7.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
(1)如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:
延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
[感悟]解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(2)解决问题:
受到
(1)的启发,请你证明下列命题:
如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①求证:
BE+CF>EF;
②若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
解:
①延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,EG.
(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∴CF=BG.
∵DE⊥DF,∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
②BE2+CF2=EF2.
证明:
若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,
由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2.
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