小学数学概率教学的尴尬及归因探寻.docx
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小学数学概率教学的尴尬及归因探寻
小学数学“概率”教学的尴尬及归因探寻
在义务教育小学阶段,概率内容教学的主要目的是帮助学生在体验活动中认识事件发生的确定性、不确定性事件发生的可能性和游戏的公平性,能够求一些简单事件发生的可能性,并能对简单事件发生的可能性作出合理的统计预测分析。
但是,由于是首次将“概率”的教学内容“下放”到了小学阶段,不少一线教师“慌了手脚”,表现出诸多的不适应,使得“概率”教学呈现出苍白无力的尴尬困境。
笔者在某市一次骨干教师评选中,观摩了几位参赛老师执教的“可能性”与“游戏的公平性”,在听课过程中就曾多次与概率教学的尴尬相遇。
一、课堂遭遇了怎样的尴尬?
1、学生参与试验次数太少。
[案例一]真的是“太意外了”吗?
A老师教学四年级上册的“游戏的公平性”,为了让学生在游戏中充分体验公平性,他在课始设计了情境冲突,想以此引入本节课要学习的话题。
师:
这里有一个布袋,里面有3个红球和1个黄球。
我们进行游戏,一共摸20次球,这个游戏规则是如果摸到的红球多,就算女生赢,如果摸到的黄球多,就算男生赢。
师:
你认为这样的游戏好不好呢?
男生:
(大声地甚至有些情绪激昂)不公平,因为黄球只有1个,红球3个,黄球个数比红球少。
师:
(教师不顾男生的反对声)这样吧,我们先进行一次比赛,请男、女生各派一名代表。
(全班推荐了男、女生代表各一名上来轮流从袋子里摸球。
座位上的男生很气愤。
)
统计结果是红球摸到了9次,黄球摸到了11次,男生赢了。
(男生因为意外地赢了,而欢呼雀跃。
女生个个垂头丧气。
)
(A老师本来想通过这次游戏突出这样做是不公平的,结果男生组“意外地”赢了这场游戏,尴尬与无奈写满了执教老师的脸。
因为,在他试教时没有出现这种特殊情况,这种情况是他万万没想到的。
)
师:
刚才的游戏太意外了,我们重新再做一次游戏。
[归因分析]课后笔者与A老师交流,A老师感慨道:
“怎么会这么巧呢?
太意外了!
”事实上,类似这样的“例外”,我们在教学中出现这种情况完全正常。
某一事件发生的可能性大并不能遮盖或替代另一小概率事件发生的偶然性。
例如,抛一枚硬币50次,结果有10次正面朝上的这种情况完全正常。
因为概率是二分之一并不能保证抛2n次硬币一定有n次正面朝上,只有当n越来越大时,正面朝上的频率会越来越接近二分之一。
因此,教师在课前应该充分预设到有上述情况偶发的可能,让几组学生一起参与试验的过程,课堂上尽量避免因“太意外”而让学生“重新做一次”的尴尬。
可以说,耍使获得的试验数据有效并有意义,学生参与试验的摸球次数以及参与实验的学生人数都是概率教学实验时要考虑的因素。
2、实验活动欠科学性。
[案例二]真的是“胸有成竹”了吗?
同样教学“游戏的公平性”,两位老师在材料处理和活动安排方面有明显的不科学:
B老师在导入环节安排了游戏活动,游戏规则是:
有一个黑色不透明的袋子,里面装有大小相同的黄球和白球。
3名男生和3名女生分别在袋中各摸出一个球,摸后放回。
摸到黄球多算男生赢,白球多算女生赢。
学生们兴高采烈地摸球,气氛十分热烈。
结果白球多黄球少,女生赢了。
男生纷纷表示不满,嚷道:
肯定袋里白球多黄球少。
B老师胸有成竹、满脸得意地打开袋子让学生看,果然白球5个黄球3个。
W老师为了让学生能够通过试验来体会等可能性,就组织学生做了抛花片游戏,给学生准备的花片正面和反面除了图案不同外,正面是凹凸不平的,而反面是光滑平整的。
这样由于正反面的质量(轻重)不一样,得到的机会也就不均等了。
结果很多花片在桌面上打滚或跳跃后正面朝上的次数占了绝对优势。
[归因分析]B老师的教学思维是“因为摸到白球的个数多于黄球,所以袋子里白球的个数多于黄球”。
由此他安排的活动程序是:
实验摸球――收集统计数据――作出决断。
这是有违概率理论知识的。
概率事件发生的前提是“袋子里自球的个数多于黄球,所以摸到白球的可能性就大”。
即使白球摸到的可能性大,也不能因此就能断定摸到的白球比黄球多。
事实上,摸到黄球的个数多于白球的可能性也是存在的。
笔者在听课时,着实替B老师捏了一把汗――万一男生摸到的黄球多呢?
B老师还会胸有成竹吗?
因此,作为教师应该学一点概率学的知识,形成科学的统计方法和概率思想,科学合理地安排活动程序:
呈现各种球――作出合理的猜想和假设――试验摸球――收集数据――作出决断。
同时我们还要注意在进行游戏公平性内容的教学时,为让学生体会机会的均等即事件发生的等可能性,提供的材料还要有三点要求:
一是实验材料要同质、匀质,例如“摸球”游戏用的彩球除了颜色有区别外,大小、形状、轻重都应该相同,即质地相同、均匀。
而W老师提供的花片材料,因正反面质地的不同导致了试验结果的不真实性和不科学性。
二是每次实验的条件要相同,以保证每次试验都是独立的,试验是可以重复的。
例如,“摸球”游戏时,为保证实验的科学性,每次摸球之前,教师都必须强调或提醒学生每次把球放回看不见的袋子里,要将球搅和摇匀以后再摸。
三是保证每次实验的随机性。
例如,在做“掷骰子”游戏时,掷出的骰子要滚出一定的距离,且每次的距离尽可能相同,并且落在同一个平面上。
可见,为体现概率教学本身的科学性,教师除了要树立正确的概率思想方法外,还要注重提供科学的材料,安排科学的活动程序,指导学生掌握科学的试验方法。
3、解释得苍白无力。
[案例三1真的能被学生“驳倒”吗?
Y老师为了向学生解释“游戏的公平性”,组织了摸球的游戏f学生在装有4个白球、4个黄球的袋里重复摸球30次)。
10组学生汇报的白、黄球摸到的结果分别是:
(15,15)、(14,16)、(17,13)、(18,12)、(15,15)、(16,14)、(11,19)、(12,18)、(17,13)、(15,15)(每组中前一个数是白球的次数,后一个是黄球的次数)。
反馈交流时,教师却只将其中的三组(15,15)的数据板书在黑板上,并提问学生:
你们发现了什么?
学生说:
摸到白球和黄球的次数相等。
师:
这就说明这个游戏是公平的。
Y老师对其他小组的实验结果没有理睬。
Y老师进而为说明事件发生的等可能性,出示了教材上的“你知道吗”的阅读材料(见上表),想以此作为支撑。
教师呈现统计表后让学生说一说看了以后有什么想法?
结果半数以上的孩子说正反面次数相差太大,并振振有词地说:
第二组正反面数据相差56,第三组相差42,第五组相差1242。
悬殊越来越大。
Y教师被学生的“反驳”辨得无话可说。
[归因分析]Y老师因对公平性缺少丰富、全面、正确的认识,故认为游戏的公平性就应该是可能性相等,也就是如果重复摸若干次,等概率事件实际发生的次数也应该是相等的。
因此,当她面对(14,16)、(17,13)和(11,19)等数据时,干脆置之不理,用剩下的所谓“合理”的数据解释,显得底气不足,以至于到最后被学生“反驳”得无话可说,使得教学解释苍白无力。
如果Y老师能在更开放的背景下,即将全班的数据作一统计分析,会得出黄、白球摸到的可能性非常接近,进一步渗透重复实验次数越多,黄、白球的可能性就会趋向相等。
尤其是“你知道吗”史料的介绍,教师更应该将之转化成正反面出现的频率计算来解释,即正反面出现的频率与50%非常接近,只相差零点几个百分点。
如果教师能充分重视这一点,还可以使学生在追溯数学史料的同时感受数学家科学求真、精益求精的精神。
但由于Y老师对数学史料掌握程度比较肤浅,导致自己的教学被“驳倒”。
4、实验结束后思维的缺席。
[案例四]真的是“合理猜测”吗?
三年级H老师教学“可能性”时,教师将学生4人一组,每组有3个黄球和1个红球,每次摸一个球,摸10次。
请学生先猜测。
结果学生的猜测有六种:
(8,2)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(9,1)、(10,0)。
实际8组学生的情况如下:
(7,3)、(8,2)、(8,2)、(7,3)、(5,5)、(7,3)、(5,5)、(8,2)。
实验结束后,老师问:
谁的猜测是对的?
班上有2组实际摸球的结果是(5,5),在事实面前,H老师甘拜下风,承认(5,5)的估计也是很准的。
殊不知,估计和猜测也要有合理的根据,而这两组学生的估计是一种偶然事件。
H老师为了强调合理估计,就告诉学生,如果我们摸的次数再多一些,因为黄球的个数比红球多,摸到黄球的可能性肯定要比红球大。
并提示学生课后可以做这样的实验。
[归因分析]由于“猜测”这一数学学习活动一方面能充分调用学生已有的知识和经验,激发学生参与学习的积极性,另一方面能发展学生的数学直觉思维能力,因而受到一线数学教师的青睐。
概率教学中猜测活动的目标就是要培养正确的概率直觉思维,其主旨是要让学生消除错误的经验,学会合理的猜测,作出正确的判断。
上述案例中,H老师仅凭两组学生的结果就说他们的估计是很准的,但事实上这种估计只是一种偶然发生的事件,整个课堂教学过程思维缺席了。
其实为了能说明可能性的具体内涵,引发学生更深层次的思考,H老师可以组织学生结合小组实验的统计数据再进行全班合计,如果时间允许,组织学生重复做实验的次数还可以再增多些。
如果从全班的统计数据来看,我们可以看到全班合计出黄球有55次,红球有25次,这样的数据已经能说明袋里黄球的个数多,摸到黄球的可能性也就大。
在概率教学中,数学老师要帮助学生能充分运用收集到的数据,从统计的角度整理、分析和判断,并作出合理的决策,提升数学思考的能力。
二、采取怎样的积极应对策略?
1、赋予理性的数学思考。
学生的已有学习与生活经验中确定性思维方式与概率教学中的不确定性思维方式存在差异。
如果缺乏对不确定现象的丰富体验和深入思考,学生往往较难建立随机观念。
实际教学时,一方面要注意培养正确的概率直觉。
建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标,耍实现这一目标,必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程,即引导学生经历“猜测结果――进行实验――收集实验数据――分析实验结果――得出结论”。
另一方面要注意引导学生对实验统计数据作出合理的分析和判断,启迪学生深入思考数据背后说明的本质与内涵。
例如,在三年级教学“可能性”时有这样几组实验数据:
其中,针对中年级学生做摸牌游戏(每组学生的袋子里有四色扑克牌各一张)的实验数据,教师可以启迪学生思考以下几个问题:
(1)统计的结果和你估计的差不多吗?
你发现了什么?
(2)为什么实际上小组摸到每张牌次数相等的情况很少(只有2组),会有一定偏差?
(3)根据全班统计的结果,如果再摸一次,你的估计是什么?
(4)如果继续摸下去,摸到四色牌的次数会怎样?
这样的教学突出学生的自主探索和合作交流,学生能自主选择运用实验、模拟、推理等方法体验事件发生的可能性大小,强调了产生和发展概率思想的全过程,使学生真正体会了概率的基本思想。
2、揭示概率的科学本真。
随机现象表面看似乎无规律可循,出现哪一个结果事先无法预料,但当我们大量重复实验时,实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。
即某次实验结果的不确定性和大量重复实验结果的规律性是相对辩证的。
实际教学时要引导学生主动参与对事件发生概率的感受和探索,通过现实世界中熟悉和感兴趣的问题,丰富对概率背景的认识,积累大量的活动经验,例如,可以引导学生讨论“中奖率是1%,你买100张奖券一定会中奖吗”,使学生具有一些基本的概率统计观念,学会从随机的角度来观察世界,具有处理和分析信息的初步能力,在面对不确定情景或大量数据时能作出更合理的决策。
3、凸显概率的实际应用。
概率思想作为基础教育数学课程的主线之一,在小学阶段应突出概率思想的实际意义和应用,培养学生的统计观念。
概率统计的教学内容应着重于对现实问题的探索,挖掘适合学生学习的材料,通过选择非常丰富的实际背景,呈现现实情景中的数据,帮助学生进一步理解概念的实际意义,凸显其在现实世界中的应用价值。
如,当你打开电视机时,碰到广告的可能性是多少?
要估算这个概率,学生可以收集在一小时内播放广告的分钟数。
再如,一商场要搞一场摸奖游戏,如果中奖的概率是20%,可以怎样设计摸奖用的转盘?
教学时还可以通过安排实践活动、社会调查、查阅资料等使学生体会概率在现实生活中的广泛应用。
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