北师大版高中数学必修五解三角形教案.docx
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北师大版高中数学必修五解三角形教案
北师大版高中数学必修五解三角形教案
北师大版高中数学必修五解三角形教案篇一:
高中数学必修五第一章解三角形教案
科组长签字:
数学必修5知识点
第一章解三角形
1、正弦定理:
在?
?
?
C中,a、b、c分别为角?
、?
、C的对边,R为?
?
?
C的外接圆的半径,则有
abc
?
?
?
2R.sin?
sin?
sinC
2、正弦定理的变形公式
(1)a?
2Rsin?
,b?
2Rsin?
,c?
2RsinC;
(2)sin?
?
abc,sin?
?
,sinC?
;2R2R2R
(3)a:
b:
c?
sin?
:
sin?
:
sinC;
a?
b?
cabc
?
?
?
.
sin?
?
sin?
?
sinCsin?
sin?
sinC
111
3、三角形面积公式:
S?
?
?
C?
bcsin?
?
absinC?
acsin?
.
222
(4)
4、余弦定理:
在?
?
?
C中,有a?
b?
c?
2bccos?
,b?
a?
c?
2accos?
,
2
2
2
2
2
2
c2?
a2?
b2?
2abcosC.
b2?
c2?
a2a2?
c2?
b2a2?
b2?
c2
5、余弦定理的推论:
cos?
?
,cos?
?
,cosC?
.
2bc2ab2ac
6、设a、b、c是?
?
?
C的角?
、?
、C的对边,则:
(1)①若a?
b?
c,则C?
90;
?
2
2
2
(2)若a?
b?
c,则C?
90;
?
222
(3)若a?
b?
c,则C?
90.
?
222
解三角形
测试题
(满分100分90分钟)
姓名_______________
一、选择题:
(每题5分,共40分)
1、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°,则∠B等于A.60°
B.60°或120°
C.30°或150°D.120°
()
B.a=1,b=2,∠A=30°D.b=c=1,∠B=45°
()
B.cosAsinB且cosBsinA
()
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是A.a=1,b=2,c=3C.a=1,b=2,∠A=100°3、在锐角三角形ABC中,有
A.cosAsinB且cosBsinA
C.cosAsinB且cosBsinAD.cosAsinB且cosBsinA4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是A.直角三角形C.等腰三角形
B.等边三角形D.等腰直角三角形
()
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有等根,那么角BA.B60°
B.B≥60°C.B60°
D.B≤60°
()
D.不定
()
6、满足A=45,c=,a=2的△ABC的个数记为m,则am的值为
A.4
B.2
C.1
7、如图:
D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(αβ),则A点离地面的高度AB等于
A.
()
asin?
sin?
asin?
?
sin?
B.
sin(?
?
?
)cos(?
?
?
)
asin?
cos?
acos?
sin?
C.D.
sin(?
?
?
)cos(?
?
?
)
8、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km),灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距A.a(km)
B.3a(km)C.2a(km)D.2a(km)
()
二、填空题:
(每题5分,共20分)9、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=
7
则ΔABC是______三角形.12
10、在ΔABC中,A=60°,c:
b=8:
5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
1222
(a+b-c),那么角∠C=______.4
31
12、在ΔABC中,a=5,b=4,cos(A-B)=,则cosC=_______.
32
11、在ΔABC中,若SΔABC=
三、解答题:
(共4题,每题10分,共40分)
13、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状:
①B=60°,b2=ac;②b2tanA=a2tanB;③sinC=
sinA?
sinB
④(a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B).
cosA?
cosB
14、已知ΔABC三个内角A、B、C满足A+C=2B,
112
+=-,求cosAcosCcosB
cos
A?
C
的值.2
15、二次方程ax2-2bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长.①证明方程有两个不等实根;②证明两个实根α,β都是正数;③若a=c,试求|α-β|的变化范围.
北师大版高中数学必修五解三角形教案篇二:
北师大版高中数学《必修5》全部教案
北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案
第一课时1.1.1数列的概念
一、教学目标
1、知识与技能:
(1)理解数列及其有关概念;
(2)了解数列的通项公式,并会用通项公式写出
数列的任意一项;(3)对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式。
2、过程与方法:
(1)采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行
启发式教学;
(2)发挥学生的主体作用,作好探究性学习;(3)理论联系实际,激发学生的学习
积极性。
3、情感态度与价值观:
(1).通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验.理论联系实际,
激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点;
(2).通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣
二、教学重点:
数列及其有关概念,通项公式及其应用
教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
三、教学方法:
探究、交流、实验、观察、分析
四、教学过程
(一)、揭示课题:
今天开始我们研究一个新课题.
先举一个生活中的例子:
场地上堆放了一些圆钢,最底下的一层有100根,在其上一层(称
作第二层)码放了99根,第三层码放了98根,依此类推,问:
最多可放多少层?
第57层有多少
根?
从第1层到第57层一共有多少根?
我们不能满足于一层层的去数,而是要但求如何去研究,
找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数
象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列.
(二)、推进新课[合作探究]折纸问题
师请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次?
请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓
生一般折5、6次就不能折下去了,厚度太高了
师你知道这是为什么吗?
我们设纸原来的厚度为1长度单位,面积为1面积单位,随依次折的
次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样?
生随着对折数厚度依次为:
2,4,8,16,?
,256
,?
;
随着对折数面积依次为11111
,,,?
24816256
生对折8次以后,纸的厚度为原来的256倍,其面积为原来的分1[]256式,再折下去太困难了
师说得很好,随数学水平的提高,我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数,看它们有何共同特点?
生均是一列数
生
还有一定次序
师它们的共同特点:
都是有一定次序的一列数
[教师精讲]
1.数列的定义:
按一定顺序排列着的一列数叫做数列
注意:
(1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,
那么它们就是不同的数列;
(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复
出现
2.数列的项:
数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),
第2项,?
,第n
项,?
.同学们能举例说明吗?
生例如,上述例子均是数列,其中①中,“2”是这个数列的第1项(或首项),“16”是这个数
列中的第4项
为表述方便给出几个名称:
项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.
首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项.
以上述两个数列为例,让学生练习指出某一个数列的首项是多少,第二项是多少,指出某一个数
列的一些项的项数.由此可以看出,给定一个数列,应能够指明第一项是多少,第二项是多少,?
?
,
每一项都是确定的,即指明项数,对应的项就确定.所以数列中的每一项与其项数有着对应关系,
这与我们学过的函数有密切关系.
3.数列的分类:
1)
根据数列项数的多少分:
有穷数列:
项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6
是有穷数列
无穷数列:
项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6?
是无穷数列
2)根据数列项的大小分:
递增数列:
从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列:
从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列:
各项相等的数列.摆动数列:
从第2
项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
请同学们观察:
课本的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列?
生这六组数列分别是
(1)递增数列,
(2)递增数列,(3)常数数列,(4)递减数列,(5)摆动数列,
(6)1.递增数列,2.递减数列.
4、通项公式法:
如数列
的通项公式为
的通项公式为
;;
的通项公式为
;
数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的一般表
示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,
代入项数就可求出数列的每一项.
例如,数列
的通项公式
,则
.
值得注意的是,正如一个函数未必能用解析式表示一样,不是所有的数列都有通项公式,即
便有通项公式,通项公式也未必唯一.[知识拓展]
师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项?
能否写出它的第n项?
生256是这数列的第8项,我能写出它的第n项,应为an=2
[例题剖析]
例1.根据下面数列{an}的通项公式,写出前5项:
(1)an=nnn;
(2)an=(-1)·nn?
1
师由通项公式定义可知,只要将通项公式中n依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项
生解:
(1)n=1,2,3,4,5.a1=12345;a2=;a3=;a4=;a5=23456
(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5
=-
师好!
就这样解
例2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)3,5,7,9,11,?
;
(2)246810,,,,,?
;315356399
(3)0,1,0,1,0,1,?
;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,?
;
(5)2,-6,12,-20,30,-42,
师这里只给出数列的前几项的值,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式?
(给学生一定的思考时间
生老师,我写好了!
2n1?
(?
1)n
解:
(1)an=2n+1;
(2)an=;(3)an=;(2n?
1)(2n?
1)2
(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,?
,
(5)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,?
,1?
(?
1)nan=n+;2an=(-1)n+1n(n
+
师完全正确!
这是由“数”给出数列的“式”的例子,解决的关键是要找出这列数呈现出的规
律性的东西,然后再通过归纳写出这个数列的通项公式
(三)、学生课堂练习:
课本本节练习1、2、3、4
补充题:
已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,那么(
A.30是数列{an}的一项
C.66是数列{an}的一项B.44是数列{an}
的一项D.90是数列{an}
的一项
分析:
注意到30,44,66,90均比较小,可以写出这个数列的前几项,如果这前几项中出现了这
四个数中的某一个,则问题就可以解决了.若出现的数比较大,还可以用解方程求正整数解的方法加以解决
答案:
点评:
看一个数A是不是数列{an}中的某一项,实质上就是看能不能找出一个非零自然数n,使
得an=
A
(四)、课堂小结:
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,
并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
(五)、布置作业课本习题1-1A组1、2、3、4。
五、教后反思:
第二课时1.1.2数列的函数特性
一、教学目标
1、知识与技能:
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);理解数列是
一种特殊的函数;2、过程与方法:
通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法(列表、
图象、通项公式);3、情态与价值:
体会数列是一种特殊的函数;借助函数的背景和研究方法来
研究有关数列的问题,可以进一步让学生体会数学知识间的联系,培养用已知去研究未知的能力。
二、教学重点:
理解数列的概念,探索并掌握数列的几种间单的表示法(列表、图象、通项公式)。
难点:
了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式。
三、教学方法:
讲授法为主
四、教学过程
(一)、导入新课
师同学们,昨天我们学习了数列的定义,数列的通项公式的意义等内容,哪位同学能谈一谈什
么叫数列的通项公式?
生如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式
师
你能举例说明吗?
生如数列0,1,2,3,…的通项公式为an=n-1(n∈N*
1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤
n
1,1111,,,…的通项公式为an=(n∈N*234n
11教师进一步启发上面数列an=n-1、an=与函数f(x)?
x?
1,f(x)?
有什么关系?
你能用图象nx
直观表示这个数列吗?
由此展开本节新课。
(二)新知探究
1、数列与函数的关系:
数列可以看作特殊的函数,项数是其自变量,项是项数所对应的函数值,
数列的定义域是正整数集
,或是正整数集
的有限子集
.
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法,用函数的观点看待数列.[合作探究]同学们看数列2,4,8,16,?
,256,?
①中项与项之间的对应关系,
序号你能从中得到什么启示?
*项24816
生数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,?
,n})的函数an=f(n),
北师大版高中数学必修五解三角形教案篇三:
北师大版高中数学(必修5)单元测试-第二章解三角形
单元综合测试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于()3
B.D.232
12
csinB6
解析:
∵A=180°-B-C=75°,∴B最小,∴边b最短.由正弦定理得b=,
sinC3故选A.
答案:
A
2.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()A.90°C.135°
B.120°D.150°
52+82-721
解析:
只要求出边长为7的边所对的角α,由余弦定理,cosα==∴α=
2×5×8260°,∴最大角与最小角之和为120°,故选B.
答案:
B
abc
3.在△ABC中,=,则△ABC一定是()
cosAcosBcosCA.直角三角形C.等腰三角形
B.钝角三角形D.等边三角形
abc
解析:
由正弦定理==,
sinAsinBsinC∴
sinAsinBsinC
=cosAcosBcosC
∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C,∴△ABC是等边三角形,故选D.答案:
D
4.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是()A.锐角三角形C.等腰三角形
B.钝角三角形D.等边三角形
解析:
由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=ac,∴(a-c)2=0,即a=c,又B=60°,∴△ABC是等边三角形,故选D.
1
答案:
D
5.在△ABC中,A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解
D.不能确定
解析:
∵3
2,∴无解,故选C.
答案:
C
6.在△ABC中,b=8,c=83,S△ABC=163,则A等于()A.30°
B.60°C.30°或150°
D.60°或120°
解析:
∵S=1
2S△ABC1△ABC2bcsinA,∴sinA=bc2
∴∠A=30°或150°,经检验均满足已知条件,故选C.答案:
C
7.在△ABC中,若A=60°,a=3,则a+b-c
sinA+sinB-sinC()
A.2B.123
D.32
解析:
由正弦定理bsinB=csinCa3
sinA=sin60°
=2,
∴b=2sinB,c=2sinC,a=2sinA,∴a+b-c
sinA+sinB-sinC=2,故选A.
答案:
A
8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为(A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形
D.由增加的长度决定
解析:
设两直角边分别为a,b,斜边为c,增加的长度为d(d0),则a2+b2=c2.新三角形的三边分别为a+d,b+d,c+d.设它们所对的角分别为A、B、C,则?
a+d?
2+?
b+d?
2-?
c+d?
2
cosC=2?
a+d?
?
b+d?
.
∵(a+d)2+(b+d)2-(c+d)2=d2+2(a+b-c)d0,∴cosC0,∴C为锐角.
2
)
?
b+d?
2+?
c+d?
2-?
a+d?
2
cosA=,
2?
b+d?
?
c+d?
∵(b+d)2+(c+d)2-(a+d)2=2b2+d2+2(b+c-a)d0,∴cosA0,∴A为锐角.
同理,B为锐角,∴新三角形为锐角三角形,故选A.答案:
A
9.在△ABC中,若sinAsinB,则A与B的大小关系为()A.AB
B.ABD.不能确定
C.A≥B
ab
解析:
由正弦定理=,∵sinAsinB0,∴ab,∴AB,故选A.
sinAsinB答案:
A
10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=()
14
2
3B.4D.23
2
4
a2+c2-b2a2+4a2-2a2
解析:
由a、b、c成等比数列,得b=ac,又c=2a,所以cosB2ac4a3
=B.4
答案:
B
11.为了测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是()
A.20(1+
3
3
B.20(1D.30m
3)m2
C.20(1+3)m
解析:
如图所示:
由已知,四边形
CBMD为正方形,
而CB=20m,∴BM=20m.
又在Rt△AMD中,DM=20m,∠ADM=30°,
3
20
∴AM=DMtan30°=3m,
3
203
∴AB=AM+MB=3+20=20(1+)m,故选A.
33答案:
A
12.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m=(b+a,c),n=(b-a,c-b),若m⊥n,则sinB+sinC的取值范围为()
1
A.1]
21
C.1)
2
B.(D.[
3
3]23
1)2
解析:
由m⊥n可得(b+a)(b-a)+c(c-b)=0,即b2+c2-a2=bc,利用余弦定理可得2cosA=1,1π
即cosA=?
A=
23
2
sinB+sinC=sinB+sin(π-B)
333π=sinBcosB=3sin(B+,2262ππ5因为0Bπ,所以B+π,
36661π
B≤1,
263π
3sin(B≤3,故选B.26答案:
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)13.(2010·北京卷)在△ABC中,若b=1,c3,∠C=分析:
本题主要考查三角形知识.
bc1π解析:
由正弦定理可得=,∴sinB=∵bc,∴BC,∴∠B=∴∠A=π
sinBsinC262πππ
-=,∴∠A=∠B.∴a=b=1.366
答案:
1
ab
14.在△ABC中,C=60°,a、b、c分别为A、B、C的对边,则+=________.
b+ca+ca2+b2-c21
解析:
由余弦定理,cosC=,
2ab2∴a2+b2=c2+ab,
4
2π
a=________.3
a2+ac+b2+bcc2+ab+ac+bcab
∴===1.b+ca+c?
b+c?
?
a+c?
ab+bc+ac+c答案:
1
15.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另两边之比为形的面积为________.
解析:
设另两边分别为8t,5t(t0),则由余弦定理得142=(8t)2+(5t)2-2·8t·5t·cos60°,∴t2
13
=4,∴t=2,∴S△ABC=×16×10=3.
22
答案:
403
16.(2009·全国卷Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A-C)+3
cosB=b2=ac,则角B等于________.
2
3
解析:
由cos(A-C)+cosB及B=π-(A+C)得
23
cos(A-C)-cos(A+C)
2
3
cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,
23
sinAsinC=.
4
又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,333
故sin2B=,sinB=sinB(舍去),
422π2π
于是B=或B=.
33
π
又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以B=3π答案:
3
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a=3,c=2,B=150°,求边b的长及S△ABC.解析:
b2=a2+c2-2accosB=(33)2+22-2·33·2·(-
3
=49.2
,则这个三角
1113∴b=7,S△ABC=acsinB=33×2222218.(12分)在△ABC中,设
tanA2c-b
=A的值.tanBb
tanA2c-b
解析:
∵
tanBb
5
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