①函数y=f(x)的定义域为R,值域为;②函数y=f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称;③函数y=f(x)是周期函数,且最小正周期为1;④函数y=f(x)在上是增函数.其中正确的命题是 .
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.
(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.
17.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求实数m的取值范围.
18.(12分)定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).
(1)求证:
f(0)=1;
(2)求证:
对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:
f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
19.(12分)图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)的示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CMD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y.
(1)写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围;
(2)当x取何值时,凹槽的强度最大?
20.(13分)已知函数y=x+有如下性质:
如果常数a>0,那么该函数在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.
(1)如果函数y=x+在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求实常数b的值;
(2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)=x+(1≤x≤2)的最大值和最小值.
21.(14分)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设m·n<0,m+n>0,a>0,且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零?
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参考答案
一、选择题
1.B 解析:
由对数的定义知x3-x2>0,故x>1.
2.C 解析:
当a=1时,y=x2-1是偶函数,故选C.
3.C 解析:
f
(1)=0,∴f(a)=2.
∴log2a=2(a>0)或2α=2(a≤0),
解得a=4或a=1(舍).
4.A 解析:
y=-x3在其定义域内为奇函数且单调递减.
y=sinx在其定义域内为奇函数但不单调.
y=x在其定义域内为奇函数且单调递增.
y=在其定义域内为单调减函数,但不具备奇偶性.
5.D 解析:
y=为奇函数,其图象关于(0,0)对称,排除A,B;当x=2时,y=>0,排除C,故选D.
6.B 解析:
由题意,知kx2+kx+1≠0对任意实数x恒成立,
当k=0时,1≠0恒成立,
∴k=0符合题意.
当k≠0时,Δ=k2-4k<0,
解得0综上,知0≤k<4.
7.C 解析:
因为f(x)在定义域内为单调递增函数,而在4个选项中,只有f·f<0,
所以零点所在区间为.
8.B 解析:
ax与logax具有相同的单调性,最大值与最小值在区间的端点处取得,f
(1)+f
(2)=-,f
(1)·f
(2)=-,解得f
(1)=a=.
9.A 解析:
∵f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x).
又∵f(x)在(-∞,0]上递增,且关于y轴对称,
∴在(0,+∞)上递减.
∵log47=log2>1,
而f(lo3)=f(-log23)=f(log23)且log23>1,
又∵<3,∴1而f(x)在(0,+∞)上递减,
∴f(log2)>f(log23),即a>b.
又∵0.2-0.6=
==>2,
∴1∴f(log23)>f(0.2-0.6),故b>c.
∴a>b>c.
10.B 解析:
利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,
当x=18时,L(x)有最大值.
二、填空题
11.(0,) 解析:
由题意知,f(|2x-|)∴-<2x-<,
解得012.2≤m<3 解析:
由题知,只需1∈(m-2,2m),且m-2≥0即可.
于是0≤m-2<1,且2m>1,
于是2≤m<3.
13.[1,+∞) 解析:
要使f(x)的值域为R,必有a=0,于是g(x)=x2+1,值域为[1,+∞).
14. 解析:
设f
(1)=m,令x=1,
得f
(1)·f=1,
∴f(f
(1)+1)=,
即f(m+1)=.
令x=m+1,
则有f(m+1)·f=1,
即·f=1,
∴f=m=f
(1).
又∵f(x)在(0,+∞)上是单调函数,
∴+=1,即m2-m-1=0,
解得m=.
15.①②③ 解析:
由条件知-三、解答题
16.解:
(1)g(x)=+2=+2,
因为|x|≥0,所以0<≤1,
即2(2)由f(x)-g(x)=0得2x--2=0,
当x≤0时,显然不满足方程,
当x>0时,由2x--2=0,
整理得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,故2x=1±,
因为2x>0,所以2x=1+,
即x=log2(1+).
17.解:
(1)设P点坐标为(x,y),则Q点坐标为(-x,-y).
∵Q(-x,-y)在函数y=loga(x+1)的图象上,
∴-y=loga(-x+1),
即y=-loga(1-x).
这就是说,g(x)=-loga(1-x).
(2)当x∈[0,1)时,
令F(x)=f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)=loga(a>1).
由题意知,只要m≤即可,∵F(x)=loga
=loga在[0,1)上是增函数,
∴F(x)min=F(0)=0.
故m∈(-∞,0]即为所求.
18.
(1)证明:
令a=b=0,
则f(0)=f2(0).
又f(0)≠0,∴f(0)=1.
(2)证明:
当x<0时,-x>0,
∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.
∴f(-x)=>0.
又x≥0时f(x)≥1>0,
∴x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)证明:
设x1则x2-x1>0.
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)
=f(x2-x1)·f(x1).
∵x2-x1>0,
∴f(x2-x1)>1.
又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)是R上的增函数.
(4)解:
由f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1得f(3x-x2)>f(0).
又f(x)是R上的增函数,
∴3x-x2>0.∴019.解:
(1)易知半圆CMD的半径为x,故半圆CMD的弧长为πx,2x+2y+πx=4,解得y=,
依题意知0(2)设凹槽的强度为T,
则有T=
=-+,
∵0<<,
∴当x=时,凹槽的强度最大.
20.解:
(1)由函数y=x+的性质知:
y=x+在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,
∴=4,∴2b=16=24,∴b=4.
(2)∵c∈[1,4],∴∈[1,2].
又∵f(x)=x+在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,
∴在x∈[1,2]上,当x=时,函数取得最小值2.
又f
(1)=1+c,f
(2)=2+,
f
(2)-f
(1)=1-.
当c∈[1,2)时,f
(2)-f
(1)>0,f
(2)>f
(1),
此时f(x)的最大值为f
(2)=2+.
当c=2时,f
(2)-f
(1)=0,f
(2)=f
(1),
此时f(x)的最大值为f
(2)=f
(1)=3.
当c∈(2,4]时,f
(2)-f
(1)<0,f
(2)(1),
此时f(x)的最大值为f
(1)=1+c.
综上所述,函数f(x)的最小值为2;
当c∈[1,2)时,函数f(x)的最大值为2+;
当c=2时,函数f(x)的最大值为3;
当c∈(2,4]时,函数f(x)的最大值为1+c.
21.解:
(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0.
又x∈R,f(x)值域为[0,+∞),
∴
∴b2-4(b-1)=0,b=2,a=1.
∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
∴F(x)=
(2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx
=x2+(2-k)x+1
=+1-,
当≥2或≤-2,
即k≥6或k≤-2时,g(x)是单调函数.
(3)∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=ax2+1,
F(x)=
∵m·n<0,
设m>n,则n<0.
又m+n>0,则m>-n>0.
∴|m|>|n|.
F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1
=a(m2-n2)>0,
∴F(m)+F(n)能大于零.