图形的全等教案 教案.docx
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图形的全等教案教案
第6课 全等三角形的识别(习题)
学习目标:
能灵活运用全等三角形的识别方法进行全面综合的证明。
重点与难点:
分析题意的能力及解题能力的提高
教学过程:
一、公理及定理回顾:
1、一般三角形全等的判定(如图)
(1)边角边(SSS)A
AB=A′B′BC=B′C′_______=_____
△ABC≌△A′B′C′
(2)边角边(SAS)
AB=A′B′∠B=∠B′_______=_____BC
△ABC≌△A′B′C′
A′
(3)角边角(ASA)
∠B=∠B′____=_____∠C=∠C′
△ABC≌△A′B′C′
B′C′
(4)角角边(AAS)
∠A=∠A′∠C=∠C′_______=_____
△ABC≌△A′B′C′
2、直角三角形全等的判定:
AA′
斜边直角边定理(HL)
AB=AB_____=_____
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
BCB′C′
二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角_____
2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线_______
注意:
1、斜边、直角边公理(HL)只能用于证明直角三角形的全等,对于其它三角形不适用。
2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形,包括直角三角形。
练习:
一、判断下列各组里的两个图形是否全等:
1、三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形 ( )
2、有两边和一角分别对应相等的两个三角形 ( )
3、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形 ( )
4、等腰三角形的顶角的平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形 ( )
5、边长相等的两个等边三角形 ( )
6、两条直角边分别对应相等的两个直角三角形 ( )
二、填空:
1、如图:
OA=OD,OC=OB,_____=______,则△AOC≌△DOB。
2、如图:
CD=BD,若△ACD≌△ABD,则还需有_____
3、如图:
AB=AD,BC=DC,要证∠B=∠D,则需要连结_________,从而可证____≌___
ADCB
OAD1AC
CBBD
第1题 第2题 第3题
4、如图,△ABC≌△DEF,∠B=30°,∠D=70°,则∠ACB=__________
5、如图,OA=OC,OB=OD,则图中有_________≌__________,还有_________≌__________,根据是________
6、如图,△ABC≌△DEF,△ABC的周长为25cm,AB=6cm,CA=8cm,则DE=____,DF=___,EF=____.
AAD
AD
BCEFO
BC
DBECF
第4题第5题 第6题
7、要使下列各对三角形全等,请填写需要增加的条件。
(1)
(2)
1、如图:
AD与BE交于点C,CD=CA,CB=CE,求证:
AB=DE
证明:
CA=CD(已知)AB
∠1=∠2 ( )1
CB=CE(已知)2C
△____≌△____( )
AB=DEED
9、如图:
BC平分∠ABD,AB=DB,P为BC上任意一点,
求证:
△PAC≌△PDC
证明:
BC平分∠ABDA
∠______=∠______
又
AB=DB()
BP=_________() B P C
△ABP≌___________()
___=__,∠APB=∠___,D
即:
___=__,∠APC=∠___,
又___=__()
则△PAC≌△PDC()
三、选择:
1、下列条件中,能判定△ABC≌△DEF的是( )
AAB=DE,BC=EF,∠A=∠DB ∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF
C∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EFDAB=DE,BC=EF,△ABC的周长等于△DEF的周长
2、以下三对元素对应相等的两个三角形,不能判定它们全等是( )
A 一边两角 B 两边和夹角 C 三个角 D 三条边
3、下列命题中,正确的是( )
A三个角对应相等的两个三角形全等 B周长和一边对应相等的两个三角形全等
C三条边对应相等的两个三角形全等 D面积和一边对应相等的两个三角形全等
4、已知四边形ABCD中,AB∥CD,AB=DC,AC与BD交于点O,则全等三角形共有( )
A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
5、能判定两个三角形全等的是( )
A∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′BBC=B′C′,AC=A′C′,∠B=∠B′
CAC=A′C′,∠A=∠A′,∠B=∠B′D∠A=∠A′,∠B=∠C′,AC=A′C′
6、在△ABC中,D是BC边中点,AD
BC于D,则下列结论不正确的是( )
A△ABD≌△ACD B∠B=∠C CAD平分∠BAC DAB=BC=AC
7、已知:
在A、B、C在一条直线上,分别以AB、BC为边,在直线的同侧作等边三角形ABE和BCD,连结AD、CE,分别交BE于M,交BD于N,下列结论错误的是( )
A△ABD≌△EBCB△NBC≌△MBDC∠ABD=∠EBCD△ABE≌△BCD
8、已知△ABC,分别AB、AC以为边,向形外作等边三角形ABD和ACE,连结BE、DC,其中∠DAB=∠EAC=60°,则△ADC≌△ABE的根据是( )
ASSSBSASCASADAAS
9、下列命题正确的是( )
(1)有两边和一角对应相等的两个三角形全等
(2)有两角和一边对应相等的两个三角形全等
(3)两个等边三角形一定全等
(4)全等三角形的对应线段相等。
A
(1)和(3) B
(2)和(3) C
(1)和
(2) D
(2)和(4)
三、证明:
1、如图,已知AB=AC,BD=CE,说明△ABD与△ACE全等的理由.
2、如图:
已知AB与CD相交于O,∠A=∠D,CO=BO,说明△AOC与△DOB全等的理由.
3、如图:
点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,求证:
AB=DE,AC=DF
A
BFCE
D
4、如图:
AB=AC,DB=DC,F是的AD延长线上一点,求证:
BF=CF
A
D
BC
F
5如:
△ABC△ABE和△DBC的顶点A和D在BC的同旁,AB=DC,AC=DB,AC和DB相交于点O,,求证:
OA=OD
AD
O
BC
第7课 命题与证明
(一)
学习目标:
1、了解定义与命题的概念,并能区分定义与命题。
2、掌握命题的构成。
(如果……那么……)
3、了解公理与定理的概念,并能区分公理与定理。
重点与难点:
1、能区分定义与命题。
2、能掌握命题的构成。
3、能区分公理与定理。
教学过程:
一、定义:
试一试
观察图24.3.1中的图形,找出其中的平行四边形.
答:
上图中的平行四边形有______________
你的根据是______________________
一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.
注意:
1、定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,比如“一些”、“大概”、
“差不多”等不能在定义中出现.
2、正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来.
练习:
判断下列各句是否属于定义:
(1)有一个角是直角的三角形,叫做直角三角形.( )
(2)有六条边的多边形,叫做六边形.( )
(3)在同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线.( )
二、命题:
思考
试判断下列句子是否正确.
(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;( )
(2)三角形的内角和是180°;( )
(3)同位角相等;( )
(4)平行四边形的对角线相等;( )
(5)菱形的对角线相互垂直.( )
像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
练习:
1、判断下列语句是命题吗?
(1)画一个角等于两已知角的和;( )
(2)钝角总大于直角;( )
(3)过点A作直线AB∥CD;( )
(4)相等并且互补的两个角是直角.( )
2、指出下列命题中的真命题和假命题.
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)多边形的内角和等于180°;
(3)如果两个三角形有三个角分别相等,那么这两个三角形全等.
答:
真命题有:
有____假命题有:
____
1、在数学中,许多命题是由题设(或条件)和结论两部分组成的.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这种命题常可写成“如果……那么……”的形式.
例如:
“平行四边形的对角线互相平分”可以写作:
“如果一个四边形是______,那么这个平行四边形的_________”。
2、用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论.
例如:
在“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”中,________是题设,“____________是结论.
例1 把命题“在一个三角形中,等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式,并分别指出命题的题设与结论.
解 这个命题可以写成:
_______________________
题设是________________,结论是____________.
练习:
2.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出它的题设和结论.
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)平行四边形的地边相等.
(3)三角形全等,对应边相等;
(4)菱形的对角线相互垂直;
解:
三、公理及定理:
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.(即:
公理是不需要证明的基本事实)
有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理
例2:
请判断下列各命题有哪些是公理,哪些是定理:
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等;
(4)两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等.
(5)全等三角形的对应边、对应角分别相等.
解:
公理有_____________,定理有_________
综合练习:
一、填空:
1、判断一件事情是正确的或是错误的句子叫做_____,正确的命题称为_____,______的称为假命题。
2、有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的依据,这样的命题称为_______
1、有些命题可以从公理或其他真命题出发,用____的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做______
二、判断下列句子是否正确:
(1)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角( )
(2)四边形的内角和是360°( )
(3)内错角相等( )
(4)菱形的对角线相等( )
(5)矩形的对角线相等且互相平分( )
三、选择:
1、下列语句不是命题的是( )
A三角形三条边上的中线的交点在这个三角形的内部
B画线段EF=6cm
C直角总比锐角大
D平行于同一条直线的两条直线互相平行
2、下列命题中真命题是( )
A钝角三角形一定不是等腰三角形,也不是等边三角形
B等腰三角形一定是锐角三角形或直角三角形
C直角三角形一定不是等腰三角形,也不是等边三角形
D等边三角形一定不是钝角三角形也不是直角三角形
3、下列命题中,假命题是( )
A定理都是命题 B命题都是定理 C公理都是命题 D推理过程叫做证明
4、下列命题中,错误的命题是( )
A两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
D两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
5、下列命题中是真命题的是( )
A互补的两个角一定是邻补角 B垂直于同一条直线的两条直线不平行
C两个角互为余角,则这两个角都等于45° D平行于同一条直线的两条直线平
6、如图:
判断BA∥CE理由是()AE
A∠B=∠ACEB∠A=∠ECD
C∠B=∠ACBD∠A=∠ACE
BCD
四、解答题:
1、找出右图中的锐角,并试着对“锐角”写出一个确切的定义.
答:
图中的锐角有____________
锐角的定义为:
2、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出它的题设和结论.
(1)直角都相等
(2)同旁内角互补(3)内错角相等
(4)等角的补角相等(5)三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.
第8课 命题与证明
(二)
学习目标:
1、了解证明的定义
2、会判断真假命题并能对假命题举一个反例加以说明.
3、能根据命题写出“已知”、“求证”
重点与难点:
能根据命题写出“已知”、“求证”
教学过程:
知识回顾:
1、把命题“菱形的对角线平分每一组对角”改写成“如果……那么……”的形式
2、把命题“有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等”改写成“如果……那么……”的形式
四、证明
根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明。
要证明一个命题,首先要根据命题画图,然后写出已知(即题设)、求证(即结论)。
例1 证明:
一条直线截两条平行直线所得的内错角相等.
(析:
该命题用“如果……那么……”表示为:
___________________________________)
已知:
直线l1∥l2,直线l3分别和l1、l2相交于点A、B.
求证:
∠1=∠3.
证明
l1∥l2(已知),
∠1=∠2( ).
又
∠2=∠3( ),
∠1=∠3( ).
练习:
1.根据下列命题,画出图形并写出“已知”、“求证”(不必证明);
(1)两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等;
(2)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
2、如图:
AB∥CD,∠ABC=∠ADC,求证:
AD∥BC
证明:
连结BD
AB∥CD()AD
∠____=∠______( )4
又
∠ABC=∠ADC()2
∠ABC-________=∠ADC-_________( )1
即∠______=∠____3
AD∥BC ( ) BC
如果要证明或判断一个命题是假命题,那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了,这称为“举反例”.
例如:
请证明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题,
解:
________________________________(举任意一个反例从而说明这个命题是假命题即可)
练习
1、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,则举一个反例加以说明.
(1)两个锐角的和等于直角;
(2)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;
(3)有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等.
(4)同位角相等
综合练习:
一、选择:
1、命题“等角的补角相等”的题设是( )
A两个角是等角 B两个角是补角 C两个角是等角的补角 D两个角相等
2、下列命题中,正确的是( )
A三个角对应相等的两个三角形全等 B周长和一边对应相等的两个三角形全等
C三条边对应相等的两个三角形全等 D面积和一边对应相等的两个三角形全等
3、下列命题正确的是( )
A有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B有两角和一边对应相等的两个三角形全等
C两个等边三角形一定全等 D全等三角形的对应线段相等。
二、填空:
1、“如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.”的题设为___________________,结论为_________________
2、“三个角都相等的三角形是等边三角形”的题设为____________________________,结论为_________________
3、把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________________________________。
4、“等腰三角形底边中点到两腰的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________。
5、“同旁内角互补,两直线平行”的题设为__________________。
6、“全等三角形的对应边相等”的结论为__________________。
三、解答题:
1、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指了该命题是真命题还是假命题。
(1)内错角的平分线互相垂直
(2)小于90°的角是锐角(3)互补的两个角都是邻补角
2、根据下列命题,画出图形并写出“已知”、“求证”(不必证明);
(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等。
(2)与两平行线中的一条垂直的直线,也垂直于另一条
(3)直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半
3、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,则举出一个反例说明.
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)相等的角是内错角;
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
四、证明:
1、 请在下面题目证明中的括号内填入适当的理由.
已知:
如图24.3.6,AD=BC,CE∥DF,CE=DF.
求证:
∠E=∠F.
证明:
CE∥DF(),
∠1=∠2().
在△AFD和△BEC中,
DF=CE(),
∠1=∠2(),
AD=BC(),
△AFD≌△BEC(),
∠E=∠F().
2、完成下列推理.
(1)如图,已知∠1=∠A,求证:
∠2=∠3.
证明:
∠1=∠A,
__________∥____________( ),
_________=_____________( ).
(2)如图,∠ADB=∠CBD,∠1=50°,求∠C.
解:
∠ADB=∠CBD( ),
_________∥____________( ),
____________=∠1( ).
∠1=50°( ),
∠C=50°.
3、如图:
直线AB和CD被直线EF所截,∠1+∠2=180°,求证:
AB∥CD
E
3
A1B
2
CD
F
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