人教版新课标九年级第28章锐角三角函数教案.docx
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人教版新课标九年级第28章锐角三角函数教案
锐角三角函数单元教案
第1课时正弦
教学目标
1、知识目标
经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。
2、能力目标
能根据正弦概念正确进行计算,逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
3、情感目标
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学重点
理解正弦(sinA)概念,知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实.
教学
难点
当直角三角形的锐角固定时,,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学过程
一、知识回顾
1、如图在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=10m,求AB
2、如图在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=20m,求BC
二、 探究活动
问题:
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?
思考1:
如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?
;如果使出水口的高度为am,那么需要准备多长的水管?
;
结论:
直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值
思考2:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗?
如果是,是多少?
结论:
直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值
教师点拨:
从上面这两个问题的结论中可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于
,是一个固定值;当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于
,也是一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问:
当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?
探究:
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′,使得∠C=∠C′=90°,
∠A=∠A′=a,那么
有什么关系.你能解释一下吗?
结论:
这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比
正弦函数概念:
规定:
在Rt△BC中,∠C=90,
∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c.
在Rt△BC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,
记作sinA,即sinA==
.sinA=
例如,当∠A=30°时,我们有sinA=sin30°=;
当∠A=45°时,我们有sinA=sin45°=.
三、课堂小结:
在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是.
在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的,记作,
四、作业设置:
课本第85页习题28.1复习巩固第1题、第2题.(只做与正弦函数有关的部分)
第2课时余弦、正切
教学目标
1、知识目标
感知当直角三角形的锐角固定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
2、能力目标
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
3、情感目标
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学重点
理解余弦、正切的概念。
教学难点
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
教学过程
一、知识回顾
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的?
2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D。
已知AC=
,BC=2,那么sin∠ACD=()
A.
B.
C.
D.
3、如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
且AB=5,BC=3.则sin∠BAC=;sin∠ADC=.
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,
∠A的对边与斜边的比是,
现在我们要问:
∠A的邻边与斜边的比呢?
∠A的对边与邻边的比呢?
为什么?
二、 探究活动
探究:
一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值?
如图:
Rt△ABC与Rt△A`B`C`,∠C=∠C`=90o,∠B=∠B`=α,
那么
与
有什么关系?
教师点拨:
类似于正弦的情况,
如图在Rt△BC中,∠C=90°,当锐角A的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的.我们
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=
=
;
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=
=
.
例如,当∠A=30°时,我们有cosA=cos30°=;
当∠A=45°时,我们有tanA=tan45°=.
(教师讲解并板书):
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是A的函数.同样地,cosA,tanA也是A的函数.
例2:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=
,求cosA、tanB的值.
三、课堂小结:
在Rt△BC中,∠C=90°,我们把
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,
记作sinA,即sinA==
.sinA=
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,
记作,即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,
记作,即
四、作业设置:
课本第85页习题28.1复习巩固第1题、第2题.(只做与余弦、正切有关的部分)
第3课时特殊角三角函数值
教学目标
1、知识目标
能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应锐角度数。
2、能力训练点
能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
3、情感目标
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学重点
熟记30°、45°、60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
教学难点
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
教学过程
一、知识回顾
一个直角三角形中,
一个锐角正弦是怎么定义的?
一个锐角余弦是怎么定义的?
一个锐角正切是怎么定义的?
二、 探究活动
思考:
两块三角尺中有几个不同的锐角?
是多少度?
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码?
.
教师点拨:
归纳结果
30°
45°
60°
siaA
cosA
tanA
例3:
求下列各式的值.
(1)cos260°+sin260°.
(2)
-tan45°.
例4:
(1)如图
(1),在Rt△ABC中,∠C=90,AB=
,BC=
,求∠A的度数.
(2)如图
(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的
倍,求a.
三、课堂小结:
要牢记下表:
30°
45°
60°
siaA
cosA
tanA
四、作业设置:
课本第85页习题28.1复习巩固第3题
第4课时解直角三角形应用
(一)
教学目标
1、知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
2、能力训练点
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3、情感目标
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学重点:
直角三角形的解法.
教学难点:
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
教学过程
一、知识回顾
1.在三角形中共有几个元素?
2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边角之间关系sinA=
cosA=
tanA
(2)三边之间关系
a2+b2=c2(勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°.
以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用.
二、 探究活动
1.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?
激发了学生的学习热情.
2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?
”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?
(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形).
3.例题评析
例1在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=
a=
,解这个三角形.
例2在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=20
=35
,解这个三角形(精确到0.1).
解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题能力,同时渗透数形结合的思想.其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.
完成之后引导学生小结“已知一边一角,如何解直角三角形?
”
答:
先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边.计算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致一错到底.
例3在Rt△ABC中,a=104.0,b=20.49,解这个三角形.
三、总结与扩展
请学生小结:
1在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素(至少有一个是边),就可以求出另三个元素.
2解决问题要结合图形。
四、布置作业
p96第1,2题
第5课时解直三角形应用
(二)
教学目标
1、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念,使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.
2、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力.
3、情感目标
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
教学难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
教学过程
一、回忆知识
1.解直角三角形指什么?
2.解直角三角形主要依据什么?
(1)勾股定理:
a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
tanA=
二、新授概念
1.仰角、俯角
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义.
2.例1
如图(6-16),某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′,求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解:
在Rt△ABC中sinB=
AB=
=
=4221(米)
答:
飞机A到控制点B的距离约为4221米.
例2:
2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后,就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。
如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时,从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置?
这样的最远点与P点的距离是多少?
(地球半径约为6400km,结果精确到0.1km)
分析:
从飞船上能看到的地球上最远的点,应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ中解决。
例1小结:
本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式sinA=
来解决的两个实际问题即已知
和斜边,
求∠α的对边;以及已知∠α和对边,求斜边.
三、巩固练习
1.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为,看这栋楼底部的俯角为60
,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1`m)
2.如图6-17,某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′.已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m,当时水位为+2.63m,求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后,应引导学生分析:
四、布置作业
1.课本p96第3,.4,.6题
第6课时解直三角形应用(三)
教学目标
1、知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决.
2、能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3、情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识.
教学重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
教学难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
教学过程
一、导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形,在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形,从而使问题得到解决.
二、例题分析
例1.如图6-21,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米,∠A-26°,
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米).
分析:
上图是本题的示意图,同学们对照图形,根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边,本题已知什么,求什么?
由题意知,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∠A=26°,AC=5米,可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB.
例2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65
方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南东34
方向上的B处。
这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?
引导学生根据示意图,说明本题已知什么,求什么,利用哪个三角形来求解,用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便?
三、巩固练习
为测量松树AB的高度,一个人站在距松树15米的E处,测得仰角∠ACD=52°,已知人的高度是1.72米,求树高(精确到0.01米).
首先请学生结合题意画几何图形,并把实际问题转化为数学问题.
Rt△ACD中,∠D=Rt∠,∠ACD=52°,CD=BE=15米,CE=DB=1.72米,求AB?
四、总结与扩展
请学生总结:
通过学习两个例题,初步学会把一些实际问题转化为数学问题,通过解直角三角形来解决,具体说,本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题,利用正切或余切解直角三角形,从而把问题解决.
本课涉及到一种重要教学思想:
转化思想.
五、布置作业
1.某一时刻,太阳光线与地平面的夹角为78°,此时测得烟囱的影长为5米,求烟囱的高(精确到0.1米).
2.如图6-24,在高出地平面50米的小山上有一塔AB,在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°,求塔高.
3.在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房,从东楼底望西楼顶仰角为45°,从西楼顶望东楼顶,俯角为10°,求西楼高(精确到0.1米).
第7课时解直三角形应用(四)
教学目标
1、知识目标
使学生懂得什么是横断面图,能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
2、能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3、情感目标
培养学生用数学的意识;渗透转化思想;渗透数学来源于实践又作用于实践的观点
教学重点:
把等腰梯形转化为解直角三角形问题;
教学难点:
如何添作适当的辅助线.
教学过程
一、导入新课
出示已准备的泥燕尾槽,让学生有感视印象,将其横向垂直于燕尾槽的平面切割,得横截面,请学生通过观察,认识到这是一个等腰梯形,并结合图形,向学生介绍一些专用术语,使学生知道,图中燕尾角对应哪一个角,外口、内口和深度对应哪一条线段.这一介绍,使学生对本节课内容很感兴趣,激发了学生的学习热情.
二、讲解例题
例:
燕尾槽的横断面是等腰梯形,图6-26是一燕尾槽的横断面,其中燕尾角B是55°,外口宽AD是180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(精确到1mm).
分析:
(1)引导学生将上述问题转化为数学问题;等腰梯形ABCD中,上底AD=180mm,高AE=70mm,∠B=55°,求下底BC.
(2)让学生展开讨论,因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形,从而利用解直角三角形的知识来求解.学生对这一转化有所了解.因此,学生经互相讨论,完全可以解决这一问题.
例题小结:
遇到有关等腰梯形的问题,应考虑如何添加辅助线,将其转化为直角三角形和矩形的组合图形,从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题.
三、巩固练习
如图6-27,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米).
分析:
(1)请学生审题:
因为电线杆与地面应是垂直的,那么图6-27中△ACD是直角三角形.其中CD=5m,∠CAD=60°,求AD、AC的长.
(2)学生运用已有知识独立解决此题.教师巡视之后讲评.
四、小结
请学生作小结,教师补充.
本节课教学内容仍是解直角三角形,但问题已是处理一些实际应用题,在这些问题中,有较多的专业术语,关键是要分清每一术语是指哪个元素,再看是否放在同一直角三角形中,这时要灵活,必要时还要作辅助线,再把问题放在直角三角形中解决.在用三角函数时,要正确判断边角关系.
五、布置作业
1.如图6-28,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,DE⊥AB于E,
AB=8,DE=4,cosA=
求CD的长.2.教材课本习题P96第6,7,8题
第8课时解直三角形应用(五)
教学目标
1、知识目标
巩固用三角函数有关知识解决问题,学会解决坡度问题.
2、能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;渗透数形结合的数学思想和方法.
3、情感目标
培养学生用数学的意识,渗透理论联系实际的观点.
教学重点:
解决有关坡度的实际问题.
教学难点:
理解坡度的有关术语.
教学过程
一、创设情境,导入新课.
例同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:
如图6-33
水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
通过前面例题的教学,学生已基本了解解实际应用题的方法,会将实际问题抽象为几何问题加以解决.但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏,同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用,因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义.
二、介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34,教师讲述坡度概念,并板书:
坡面的铅直高度h和水
平宽度
的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示。
即i=
,
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
引导学生结合图形思考,坡度i与坡角α之间具有什么关系?
答:
i=
=tan
这一关系在实际问题中经常用到,教师不妨设置练习,加以巩固.
练习
(1)一段坡面的坡角为60°,则坡度i=______;
______,坡角
______度.
为了加深对坡度与坡角的理解,培养学生空间想象力,教师还可以提问:
(1)坡面铅直高度一定,其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系?
举例说明.
(2)坡面水平宽度一定,铅直高度与坡度有何关系,举例说明.
答:
(1)
如图,铅直高度AB一定,水平宽度BC增加,α将变小,坡度减小,
因为tan
=
,AB不变,tan
随BC增大而减小
(2)
与
(1)相反,水平宽度BC不变,α将随铅直高度增大而增大,tanα
也随之增大,因为tan
=
不变时,tan
随AB的增大而增大
三、讲授新课
引导学生分析例题,图中ABCD是梯形,若BE⊥AD,CF⊥AD,梯形就被分割成Rt△ABE,矩形BEFC和Rt△CFD,AD=AE+EF+FD,AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出,EF=BC=6m,从而求出AD.
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成,以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.
坡度问题计算过程很繁琐,因此教师一定要做好示范,并严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,以培养学生运算能力.
解:
作BE⊥AD,CF⊥AD,在Rt△ABE和Rt△CDF中,
∴AE=3BE=3×23=69(m).
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
因为斜坡AB的坡度i=tan
=
≈0.3333,查表得
α≈18°26′
答:
斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.
四、巩固练习
(1)教材P124.2
由于坡度问题计算较为复杂,因此要求全体学生要熟练掌握,可能基础较好的学生会很快做完,教师可再给布置一题.
(2)利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分),已知渠道内坡度为1∶1.5,渠道底面宽BC为0.5米,求:
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积;
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数.
分析:
1.引导学生将实际问题转化为数学问题.
2.要求S等腰梯形ABCD,首先要求出AD,如何利用条件求AD?
3.土方数=S·l
∴AE=1.5×0.6=0.9(米).
∵等腰梯形ABCD,
∴FD=AE=0.9(米).
∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米).
总土方数=截面积×渠长
=0.8×100=80(米3).
答:
横断面ABCD面积为0.8平方米,修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米.
五、总结与扩展
引导学生回忆前述例题,进行总结,以培养学生的概括能力.
1.弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义,明确各术语与示意图中的什么元素对应,只有明确这些概念,才能恰当地把实际问题转化为数学问题
2.认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形,或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题.
3.选择合适的边角关系式,使计算尽可能简单,且不易出错.
4.按照题中的精确度进行计算,并按照题目中要求
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