历年高考数学真题全国卷版.docx
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历年高考数学真题全国卷版
(大纲全国卷)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M{x[x=a+b,aSA,b£B},则M中元素的个数为().
A.3B.4C.5D.6
2.(2013大纲全国,理2)(1+T3i)3=().
A.—8B.8C.—8iD.8i
3.(2013大纲全国,理3)已知向量m^(入+1,1),n=(入+2,2),若(m^
n)±(nn-n),则入=().
A.-4B.—3C.—2D1
4.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(一1,0),则函数f(2x+1)的定义域为().
A.(-1,1)B
1,:
C.(-1,0)D
:
1
5.(2013大纲全国,理5)函数f(x)=iog21-(x>0)的反函数fT(x)=x
().
11
xx__
A.21(x>0)B,21(x^0)C.2x—1(x6R)D.2x
-1(x>0)
6.(2013大纲全国,理6)已知数列{an}满足3an+ian=0,a2=4则{an}
3的前10项和等于().
1
A.—6(1—3—10)B.9(1—310)C.3(1-3-10)
D.3(1+3—10)
7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是().
A.56B.84C.112D.168
22
8.(2013大纲全国,理8)椭圆C:
-工=1的左、右顶点分别为A,A,点
43
P在C上且直线PA斜率的取值范围是[—2,—1],那么直线PA斜率的取值范围是().
13331d31
,,,1
A.24B.84C.2D,4
9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+在1,是增函数,则ax2
的取值范围是().
A.[-1,0]B.[T,+•C.[0,3]D.[3,+8)
10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCDABCD中,AA=2AB则
CD与平面BDO成角的正弦值等于().
23.21
A.3B.3C,3D,3
11.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C:
y2=8x与点M—2,2),过C的uuuruuur一.
焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MAMB0,则k=().
C.f(x)的最大值为2D.f(x)既是奇函数,又是
周期函数
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013大纲全国,理13)已知a是第三象限角,sina=1,则
3
cota=.
14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)
x0,
15.(2013大纲全国,理15)记不等式组x3y4,所表示的平面区域为
3xy4
D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.
16.(2013大纲全国,理16)已知圆。
和圆K是球。
的大圆和小圆,其公共弦长等于球。
的半径,OK=3,且圆。
与圆K所在的平面所成的一个二面
2
角为60°,则球O的表面积等于.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为
8.已知S=a22,且S,4,0成等比数列,求{an}的通项公式.
18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设4ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a—b+c)=ac.
⑴求B;
⑵若sinAsinC=避」,求C4
19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCDK/ABC=ZBAD=90,BG=2AD△PABffiAPAD都是等边三角形.
(1)证明:
PBilCD
(2)求二面角A—PD-C的大小.
20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为
2,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.22
21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:
与与=1(aab
>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为,6.
(1)求a,b;
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF|=|BF|,证明:
|AF|,|AB,|BE|成等比数列.
22.(2013大纲全国,理
22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=
ln(1+x)
(1)若xno时,f(x)<0,求入的最小值;
⑵设数列{时的通项…23L
11
一,证明:
a2n—an+—>ln2.
n4n
(大纲全国卷)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:
B
解析:
由题意知x=a+b,a6A,b€B,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.
2.
答案:
A
解析:
(1+73i)3=13万+3(Qi)2+(Qi)3=8.故选A.
3.
答案:
B
解析:
由(m^n)Lgn)|nf—|n|2=0(入+1)2+1—[(入+2)2+4]=0入=—3.故选B.
4.
答案:
B
解析:
由题意知—1<2x+1<0,则—1 2 5. 答案: A 解析: 由题意知1+1=2yx=—1—(y>0), x2y1 因此fT(x)=4(x>0).故选A. 2x1 6. 答案: C 解析: -,3an+1+an=0,-*-an+1=-an..二数歹! J{an}是以-为公比的等比数 33 4. 列.•a2=-/.a〔=4. 3 10 S10= =3(1-310).故选C. 7. 答案: D解析: 因为(1+x)8的展开式中x2的系数为c8,(1+y)4的展开式中y2的系数为C2,所以X2y2的系数为C8c4168.故选D. 8. 答案: B 解析: 设P点坐标为(x°,y°),则亡日=1, 43 032 23—x0° ।y。 ।y。 不旱।।y。 403 kpA,kpA,丁kpAkpA222. X02X02,色X0222X0244 故: kpA—— 31 4kPA2 ・•.kpA26[—2,—1], kpA3,3.故选B. PA84 解析: 由条件知f'(x)=2x+a—4Ao在-1,上恒成立,即a」2x在 x2x 1,上恒成立.二•函数y」2X在L上为减函数, 2X22 11 九<二匕3.-3.故选D. 2 10. 答案: A 解析: 如下图,连结AC交BH点Q连结CO,过C作CKC1O于点H BDAC 「BDAAi ACIAAi 〉BD平面ACCiA二 CH平面ACCiA CHBD CHCiOnCHL平面CBD BDIGO=O ・・•/HD®CDW面BDO成的角. 设AA=2AB=2, CiO=,OC2CCi2 AC2 贝1OC=——=——,22 JV222279=372 : 2.22 由等面积法,得CO・CH=OGCC,即W2ch=及2,22 •CH=2 •・CH— 3 2 •.sinZHDC=9=三=2.故选A. DCi3 解析: 由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x—2),将其代入y2=8x,得k2x2—4(k2+2)x+4k2=0. 设A(xi,yi),B(x2,y2),则xi+x2=4k22,x〔x2=4.①k y1kx12 y2k“2 uuruuir MAMB0, ・•.(xi+2,yi—2)•(X2+2,y2—2)=0. ..(Xi+2)(X2+2)+(y1一2)(y—2)=0, 即X1X2+2(Xi+X2)+4+y1y2—2(y〔+y2)+4=0.④ 由①②③④解得k=2.故选D. 12. 答案: C 解析: 由题意知f(x)=2cos2x•sinx=2(i—sin2x)sinx. 令t=sinx,t6[—i,i], 则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3. 令g'(t)=2—6t2=0,得1=G3 当t=±1时,函数值为0; 当t小寸,函数值为普; 当t事寸,函数值为w. ■g(t)max=4 9 即f(x)的最大值为£3.故选C. 9 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分. 13.答案: 2版 解析: 由题意知COSa=4sin2 故COta=c0s-=2及.sin 14.答案: 480 解析: 先排除甲、乙外的4人,方法有a4种,再将甲、乙插入这4人形成的 5个间隔中,有a2种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有A4A2480(种). 15.答案: -,4 2 解析: 作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. •.•直线y=a(x+1)过定点q—1,0),由图并结合题意可知kBc」,kAc=4,2 •..要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点, 1 贝U1c 2 16.答案: 16兀 解析: 如下图,设M时两圆的公共弦,E为MN勺中点, 则OELMNKE! MN结合题意可知/OE£60 又MN=R..△OMNI正三角形.「.OE=-yr. 又OKLEK•-3=OE-sin60=—r—. 222 .・R=2. •・S=4兀R=16兀. 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: 设{a}的公差为d. 由$=a22得3a2=a22,故a2=0或32=3. 由S,S2,S成等比数列得S22=S0. 又Si=32—d,s=2sh—d,S4=4a+2d, 故(2a2—d)=(a—d)(432-p2d). 若a2=0,则d2=—2d2,所以d=0,止匕时S=0,不合题意; 若a2=3,则(6—d)2=(3—d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{an}的通项公式为an=3或an=2n—1. 18. 解: (1)因为(a+b+c)(a—b+c)=ac,所以a2+c2—b2=—ac. 22.2 由余弦定理得cosB=a一c——2ac 因此B=120. ⑵由 (1)知A+O60, 所以cos(A—C=cosAcosC+sin AsinOcosAcosC—sinAsinC+2sin AsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=-+2"1叵,242 故A—C=30或A—C=-30 因此C=15或C=45°. 19. ⑴证明: 取BC的中点E,连结DE则ABED;正方形. 过P作POL平面ABCD垂足为O 连名OAOBODOE 由^PAB和△PADtB是等边三角形知PA=PB =PD 所以OAOB=OD即点。 为正方形ABED寸角线的交点, 故OELBD从而PBLOE 因为。 是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE/CD因止匕PBLCD (2)解法一: 由 (1)知CDLPBCDLPOPBHPO=P, 故CDL平面PBD 又PD平面PBD所以CDLPD 取PD的中点F,PC的中点G,连结FG 则FG//CDFG! PD 连2^AF,由△APM等边三角形可得AF±PD 所以/AFG^二面角A-PD-C的平面角. 连名AGEG则EG/PB 又PB1AE,所以EGLAE 设AB=2,则AE=2艮EG=-pb=1, 2 故AG=.AE2EG2=3. 在△AFM,FG=-CD6,af石,AG=3, 2 所以cos/AFG=FG2AF2AG2显 2FGAF3 因此二面角A—pA加勺大小为兀arccos"解法二: 由⑴知,OEOBOPW两垂直. 以O为坐标原点,Ouu的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. uuir 艮0),P(0,0, 设|AB|=2,则A(e,0,0),R0,应,0),q2点,4). uuu___uur__ PC=(2",小,72),PD=(0,衣,尿). uuuuu ap=(尤,0,72),ad=(T2,短,0). 设平面PCD勺法向量为m=(x,y,z),则ni•Puu= (x,y,z)•(2无,短,我)=0, uur,、,———、一 ni,pd=(x,y,z)•(0,v2,v2)=0, 可得2x—y—z=0,y+z=0. 取y=—1,得x=0,z=1,故n1=(0,—1,1). 设平面PAD勺法向量为n2=(mr(p,q),则n2•AP=(m,p,q)•(72,0,72) uuur =0,n2・ad=(mr(p,q)•(无,72,0)=0,可得q=0,m-p=0. 取m=1,得p=1,q=—1,故作=(1,1,—1). 于是cos〈n1,n2>=n1n2—. m/ni3 由于〈m,n2>等于二面角A—PdC的平面角,所以二面角A-PAC的大 小为冗arccos手. 20. 解: (1)记A表示事件“第2局结果为甲胜”, A表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”. 则A=Ai,A. P(A)=P(A•A)=RA)RA)=L4 (2)X的可能取值为0,1,2. 记A表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”. 则P(X=0)=P(B,B2,A)=P(Bi)P(B2),P(A)=-,P(X=2)=P(B1,B3)=8 P(B|)P(B3)=i,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=111^,EX=0-P(X 4848 =0)+1•RX=1)+2•RX=2)=9. 8 21. 22 (1)解: 由题设知&=3,即J^=9,故b2=8a2. aa 所以C的方程为8x2-y2=8a2. 将y=2代入上式,求得x小2 由题设知,2,a21,.6,解得a2=1. 所以a=1,b=272. ⑵证明: 由 (1)知,R(—3,0),F2(3,0),C的方程为8x2—y2=8.① 由题意可设l的方程为y=k(x—3),|k<2>/2,代入①并化简得(k2—8)x2— 6k2x+9k2+8=0. 22c 设A(x1,y1),B(x2y2)则x〔w—1,x2>1x〔+x2=——x1,x2=--— 2222 k8k8 于是|AF|=,xx3^y12 ={x328x128=—(3X1+1), |BF|=7x232~y22 =J~X2~3-^~8x22~8=3x2+1. 由|AF|=|BF|得一(3X1+1)=3X2+1,即Xi+X2=-. 3 2 故i-—,解得k=-,从而Xi,X2=一. k28359 由于|AE|=/X―3"2一齐 =Jx1328K28=1-3X1, IBE|=;X232y22 即x2——ln(1x). 22x 取x』,贝u3■工>lnk2kk1 1 2(k1) 2n1 于是a2nan 4nkn2k =2n1^X2n'U kn2kk1knk =ln2n—lnn=In2. 1 所以a2nanIn2. 4n 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷I) 第I卷 一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国I,理1)已知集合A={x|x2—2x>0},B={x|-V5 A.AnB=I0B.AUB=RC.BAD.AB 2.(2013课标全国I,理2)若复数z满足(3—4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(). 44 A.-4B.5C.4D.5 3.(2013课标全国I,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(). A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.系统抽样 22 4.(2013课标全国I,理4)已知双曲线C: 与与=i(a>0,bab >0)的离心率为与,则C的渐近线方程为(). A.y= 11 .y=3xC.y=2x 5.(2013课标全国I,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t6[—1,3],则输出的s属于(). ・y A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 6.(2013课标全国I,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容 器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(). A.5T揄b 866北 3cm3 1372冗 2048% C.3cm3D 3cm3 7.(2013课标全国I,理 7)设等差数列{an}的前n项和为若31=—2, Sm=0,Sm^1=3,则m=(). A.3B.4C.5D.6 8.(2013课标全国I,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(). A. 16+8兀 B. 8+8兀 C. 16+16兀 D. 8+16兀 9.(2013课标全国I,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2"展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()• A.5B.6C.7D.8 2 3=1(a>b>0)的右焦点为 2 10.(2013课标全国I,理10)已知椭圆E: 斗a F(3,0),过点F的直线交 E的方程为(). E于AB两点. 若AB的中点坐标为(1,—1),则 22 土上=1 A.4536B 2x 36 2 E=1 27 2x 27 2 X=1 18 22 上X=1 189 11.(2013课标全国I,理11)已知函数f(x)= x22x,xln(x1),x : ,若1f"ax, 则a的取值范围是( )• A.(…,0]B .(—8,1]C.[-2,1] D.[-2,0] 12.(2013课标全国I, 理12)设的三边长分别为an,E,cn,△ARG 的面积为Sn,n=1,2,3,•••.若b1>C1,b〔+C1=2a1, an+1=an,bn+1=———,2 Cn+1= bn—an,则(). 2 A. {Sn}为递减数列 .{Sn}为递增数列 C. 数列, D.{S2n—1}为递减 {S2n—1}为递增数列,{S2n}为递减数列 {S2n}为递增数列 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题〜第(21)题为必考题,每个试题 考生都必须做答.第(22)题〜第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分. 13.(2013课标全国I,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1—t)b.若b•c=0,则t=. 21 Sn-anJ 14.(2013课标全国I,理14)若数列{an}的前n项和33,则{an} 的通项公式是an. 15.(2013课标全国I,理15)设当 x取得最大值,则cos0= x=0时,函数f(x)=sinx—2cos 16.(2013课标全国I,理16)若函数f(x)=(1—x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=—2对称,则f(x)的最大值为. 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013课标全国I,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC\/ABC 90,AB=&BC=1,P为△ABC内一点,/ (1)若PB=1,求PA 2 90. ⑵若/APB=150,求tan/PBA 18.(2013课标全国I,理
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