高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1.docx

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高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1

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第十二编概率与统计

§12.1随机事件的概率

1.下列说法不正确的有.

①某事件发生的频率为P（A）=1.1

②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件

④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

答案①③④

2.给出下列三个命题，其中正确命题有个.

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.

答案0

3.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为，.

答案0.970.03

4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是,乙获胜的概率是，则乙不输的概率是.

答案

5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率之和为.

答案

例1盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球.

（1）“取出的球是黄球”是什么事件？

它的概率是多少？

（2）“取出的球是白球”是什么事件？

它的概率是多少？

（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？

它的概率是多少？

解

（1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0.

（2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是.

（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：

射击次数n

10

20

50

100

200

500

击中10环次数m

8

19

44

93

178

453

击中10环频率

（1）计算表中击中10环的各个频率；

（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？

解

（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.

（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.

例3（14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：

命中环数

10环

9环

8环

7环

概率

0.32

0.28

0.18

0.12

求该射击队员射击一次

（1）射中9环或10环的概率；

（2）至少命中8环的概率；

（3）命中不足8环的概率.

解记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥.2分

（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得

P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.5分

（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得

P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）

=0.18+0.28+0.32=0.78.10分

（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：

“射击一次，至少命中8环”的对立事件：

即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得

P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22.14分

1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.

（1）“3件都是二级品”是什么事件？

（2）“3件都是一级品”是什么事件？

（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？

解

（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.

（2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.

（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.

2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：

抽取球数n

50

100

200

500

1000

2000

优等品数m

45

92

194

470

954

1902

优等品频率

（1）计算表中乒乓球优等品的频率；

（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？

（结果保留到小数点后三位）

解

（1）依据公式p=，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.

（2）由

（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.

3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：

（1）红或黑的概率；

（2）红或黑或白的概率.

解方法一记事件A1：

从12只球中任取1球得红球；

A2：

从12只球中任取1球得黑球；

A3：

从12只球中任取1球得白球；

A4：

从12只球中任取1球得绿球，则

P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.

根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，

由互斥事件概率加法公式得

（1）取出红球或黑球的概率为

P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=.

（2）取出红或黑或白球的概率为

P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）

=++=.

方法二

（1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4，

∴取出红球或黑球的概率为

P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）

=1--==.

（2）A1+A2+A3的对立事件为A4.

P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-=.

一、填空题

1.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是.

答案

2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（写出一个即可）.

答案2次都不中靶

3.甲:

A1、A2是互斥事件；乙：

A1、A2是对立事件，那么甲是乙的条件.

答案必要不充分

4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是.

答案

5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是.

 答案 0.2

6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为.

答案0.80

7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.

答案

8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为.

答案50%

二、解答题

9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）不够7环的概率.

解

（1）设“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，由于A，B互斥，则

P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.

（2）设“少于7环”为事件C，则

P（C）=1-P（）

=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.

10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：

医生人数

0

1

2

3

4

5人及以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.2

0.2

0.04

求：

（1）派出医生至多2人的概率；

（2）派出医生至少2人的概率.

解记事件A：

“不派出医生”，

事件B：

“派出1名医生”，

事件C：

“派出2名医生”，

事件D：

“派出3名医生”，

事件E：

“派出4名医生”，

事件F：

“派出不少于5名医生”.

∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，

且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，

P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.

（1）“派出医生至多2人”的概率为

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）

=0.1+0.16+0.3=0.56.

（2）“派出医生至少2人”的概率为

P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）

=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.

11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）.

解方法一因为A+B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P（A+B）==.

方法二记事件C为“朝上一面的数为2”，

则A+B=A+C，且A与C互斥.

又因为P（C）=，P（A）=，

所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）

=+=.

方法三记事件D为“朝上一面的数为4或6”，则事件D发生时，事件A和事件B都不发生，即事件A+B不发生.又事件A+B发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件A+B与事件D为对立事件.

因为P（D）==，

所以P（A+B）=1-P（D）=1-=.

12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，根据已知得到

解得.

∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.

§12.2古典概型

1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为.

答案

2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为.

答案

3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是.

答案

4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为.

答案

5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：

“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：

“至少一次正面朝上”.则P（M）=,P（N）=.

答案

例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩

具的试验：

用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“出现点数之和大于3”；

（3）事件“出现点数相等”.

解

（1）这个试验的基本事件为：

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），

（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），

（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.

（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），

（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.

（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.

例2甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙

两人依次各抽一题.

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9=90种，即基本事件总数是90.

（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：

甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4=24.

∴P（A）===.

（2）先考虑问题的对立面：

“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.

记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为4×3=12.

∴由古典概型概率公式，得P（B）==,

由对立事件的性质可得

P（C）=1-P（B）=1-=.

例3（14分）同时抛掷两枚骰子.

（1）求“点数之和为6”的概率；

（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.

解同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：

共有36个不同的结果.7分

（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P=.10分

（2）方法一从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率

P==.14分

方法二至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P==，

所以至少有一个5点或6点的概率为1-=.14分

1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.

（1）共有多少个基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解

（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,

（2,3）,（2,4）,（2,5），（3,4）,

（3,5）,（4,5）.

因此，共有10个基本事件.

（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），

即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.

故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.

2.（2008·山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.

（1）求A1被选中的概率；

（2）求B1和C1不全被选中的概率.

解

（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

={（A1,B1,C1）,（A1,B1,C2）,（A1,B2,C1）,（A1,B2,C2）,（A1,B3,C1）,（A1,B3,C2）,（A2,B1,C1）,（A2,B1,C2）,（A2,

B2,C1）,（A2,B2,C2）,（A2,B3,C1）,（A2,B3,C2）,（A3,B1,C1）,（A3,B1,C2）,（A3,B2,C1）,（A3,B2,C2）,（A3,B3,C1）,

（A3,B3,C2）}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等

可能的.

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

M={（A1,B1,C1）,（A1,B1,C2）,（A1,B2,C1）,（A1,B2,C2）,（A1,B3,C1）,（A1,B3,C2）}

事件M由6个基本事件组成，因而P（M）==.

（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于={（A1,B1,C1）,（A2,B1,C1）,（A3,B1,C1）}，事件有3个基本事件组成，

所以P（）==，由对立事件的概率公式得

P（N）=1-P（）=1-=.

3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率:

（1）A:

取出的两球都是白球；

（2）B：

取出的两球1个是白球，另1个是红球.

解设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.

从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.

（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.

∴取出的两个球全是白球的概率为P（A）==.

（2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），

（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个.

∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率

P（B）=.

一、填空题

1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则P10P1（填“＞”“＜”或“=”）.

答案=

2.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为.

答案

3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为.

答案

4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为.

答案

5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点

P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为.

答案3和4

6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率是.

答案

7.（2008·江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为.

答案

8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：

A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、

E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.

答案

二、解答题

9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：

（1）甲中奖的概率P（A）；

（2）甲、乙都中奖的概率；

（3）只有乙中奖的概率；

（4）乙中奖的概率.

解

（1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P1=.

（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2==.

（3）由

（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2=6种基本事件，∴P3==.

（4）由

（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4=.

10.箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：

（1）每次抽样后不放回；

（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.

解

（1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有A种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有A种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次

共有C种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有C种方法，可以取出3个正品的概率P=.两种方法结果一致.

（2）从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的

抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率

P=.

11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求取球2次终止的概率；

（3）求甲取到白球的概率.

解

（1）设袋中有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是.

从袋中任取2个球的所有可能的结果数为=21.

由题意知==，

∴n（n-1）=6，解得n=3（舍去n=-2）.

故袋中原有3个白球.

（2）记“取球2次终止”为事件A，则P（A）==.

（3）记“甲取到白球”的事件为B，

“第i次取到白球”为Ai，i=1，2，3，4，5，

因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.

所以P（B）=P（A1+A3+A5）.

因此A1，A3，A5两两互斥，

∴P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）

=++

=++=.

12.（2008·海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:

.

把这6名学生的得分看成一个总体.

（1）求该总体的平均数;

（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解

（1）总体平均数为（5+6+7+8+9+10）=7.5.

（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：

（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.

事件A包括的基本结果有：

（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.

所以所求的概率为P（A）=.

§12.3几何概型

1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间

［0，1］上的概率为.

答案

2.某人向圆内投镖，如