概率论与数理统计试题及答案.docx
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概率论与数理统计试题及答案
2009概率论与数理统计试题及答案1
考研数学冲刺·概率论与数理统计
一、基本概念总结
1、概念网络图
ü
ï®八大分布(0-1、二项、泊松、超几何、几何、均匀、指数、正态)ï
ï®数字特征(期望、方差)ïý
数字化随机事件P(AB)¾¾¾®二维随机变量(X,Y)®F(x,y)=P(X£x,Y£y)ï
ï
ï®两大分布(均匀、正态)
ï®数字特征(期望、方差、协方差、相关系数)þ随机事件P(A)¾¾¾®一维随机变量X(w)®F(x)=P(X£x)
ì
ï
ï
ï大数定律和中心极限定理ï®í
2ïì四大统计分布(正态,c,t,F)(多维随机变量的函ïï参数估计ï数理统计í
ï假设检验îî数字化数分布)
2、最重要的5个概念
(1)古典概型(由比例引入概率)
例1:
3男生,3女生,从中挑出4个,问男女相等的概率?
例2:
有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有1个是黑色的概率?
(2)随机变量与随机事件的等价(将事件数字化)
P(X=x)=P(A)
P(X=x,Y=y)=P(AB)
例3:
已知甲、乙两箱中装有两种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数X的数学期望。
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4:
将一枚均匀硬币连掷三次,以X表示三次试验中出现正面的次数,Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值,求(X,Y)的联合分布律。
(3)分布函数(将概率与函数联系起来)F(x)=P(X£x)
(4)离散与连续的关系
P(X=x)=f(x)dx
P(X=x,Y=y)=f(x,y)dxdy
例5:
见“数字特征”的公式。
(5)简单随机样本(将概率和统计联系在一起)
样本是由n个同总体分布的个体组成的,相当于n个同分布的随机变量的组合(n维随机变量)。
例6:
样本的X=
1nåni=1Xi是已知的,个体(总体)的m=E(Xi)未知,矩估计:
X=m,完成了一个从样本到1
总体的推断过程。
二、做题的18个口诀(概率15个,统计3个)1、概率
(1)题干中出现“如果”、“当”、“已知”的,是条件概率。
例7:
5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问第二次打开的概率?
(2)时间上分两个阶段的,用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例8:
玻璃杯成箱出售,每箱20只,设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。
一顾客欲购买一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,而顾客开箱随机地察看4只;若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。
试求:
(1)顾客买此箱玻璃杯的概率;
(2)在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有残次品的概率。
(3)“只知次数,不知位置”是“二项分布”。
例9:
抛5次硬币,其中有3次正面朝上的概率?
C53()3()2
2
21
1
例10:
1对夫妇生4个孩子,2男2女的概率?
(4)“先后不放回取”≡“任取”,是“超几何分布”。
例11:
5个球,3红2白,先后不放回取2个,2红的概率?
2
22
P3P5
例12:
5个球,3红2白,任取2个,2红的概率?
C3C
2
5
(5)“先后放回取”是“二项分布”。
例13:
5个球,3红2白,先后放回取5个,2红的概率?
23223C5()()
55
(6)求随机变量函数的分布密度,从分布函数的定义入手。
例14:
设X的分布函数F(x)是连续函数,证明随机变量Y=F(X)在区间(0,1)上服从均匀分布。
(7)二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
ìfX(x)f(y/x)ìP(A)P(B/A)
P(AB)=í,f(x,y)=í。
P(A)P(B)f(x)f(y)îYîX
(8)二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例15:
设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中
D={(x,y):
|x+y|£1,|x-y|£1},求X的边缘密度fX(x)。
(9)求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率,由画图计算相交部分(正概率区间和所求区域的交集)
的积分。
ì3xï
例16:
设随机变量(X,Y)的分布密度为j(x,y)=í
ï0,î
0 试求U=X-Y的分布密度。 其他. (10)均匀分布用“几何概型”计算。 ì2ï 例17: 设随机变量(X,Y)的分布密度为: j(x,y)=í ï0,î 0 ,试求P(X+Y>1)。 其他. (11)关于独立性: 对于离散型随机变量,有零不独立;对于连续型随机变量,密度函数可分离变量并且正概率密度 区间为矩形。 2 (12)二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y),由边缘分布来求。 例19: 设A,B为两个随机事件,且P(A)=1 4,P(B|A)=1 3,P(A|B)=1 2,令 A发生,B发生,ì1,ì1,Y=íX=íî0,A不发生,î0,B不发生. 求(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ)X与Y的相关系数ρXY; (Ⅲ)Z=X22+Y的概率分布. (13)相关系数中的E(XY),对于离散型随机变量,根据XY的一维分布来求;对于连续型随机变量,按照函数的期 望来求。 +¥ 例20: 连续型随机变量: E(XY)=òxyf -¥(x,y)dxdy (14)应用题: 设Y为题干中要求期望的随机变量,a为最后题目所求,然后找Y与X的函数关系,再求E(Y)。 例21: 市场上对商品需求量为X~U(2000,4000),每售出1吨可得3万元,若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元,问需要组织多少货源,才能使收益的期望最大? (15)切比雪夫大数定律要求“方差有界”,辛钦大数定律要求“同分布”。 2、统计 (1)似然函数是联合密度或者联合分布律。 n 连续型: L(q1,q,L,qm)=2Õ i=1 nf(xi;q1,q2,L,qm) 离散型: L(q1,q,L,qm)=2Õ i=1p(xi;q1,q2,L,qm) 例22: 设总体X的概率分别为X p012q(1-q)231-2qq2q2其中θ(0<θ<1 2)是未知参数,利用总体X的如下样本值: 3,1,3,0,3,1,2,3 求θ的矩估计值和最大似然估计值。 (2)“无偏”求期望,“有效”求方差,“一致”不管它。 例23: 设x1,x2,L,xn是总体的一个样本,试证 Ù (1)m1= Ù151 3 1 3x1+x1+x1+3101434x2+x2+x2-12512112x3;x3;x3. (2)m2=Ù(3)m3= 都是总体均值u的无偏估计,并比较有效性。 (3)标准正态、t分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数, c 2、F分布取面积对称的分位数。 3 三、选择题常考的5个混淆概念 1、乘法公式和条件概率 例24: 100个学生,60个男生,40个女生,棕色头发30个,棕色头发的男生10个,任取一个学生,是棕色头发的男生的概率? 已知取了一个男生,是棕色头发的概率? P(AB)=P(A)P(B/A) 2、独立和互斥 设A≠ø,B≠ø,则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。 例25: 对于任意二事件A和B, (A)若AB=Φ,则A,B一定不独立。 (B)若AB=Φ,则A,B一定独立。 (C)若AB≠Φ,则A,B一定独立。 (D)若AB≠Φ,则A,B有可能独立。 3、独立和不相关 独立是不相关的充分条件。 (X,Y)为二维正态分布时,独立和不相关互为充分必要条件。 4、X,Y分别为正态分布,不能推出(X,Y)为二维正态分布;也不能推出X+Y为一维正态分布。 例26: 已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,3)和N(0,4),且X与Y的相关系数rXY=- (1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z); (2)求X与Z的相关系数rXZ; (3)问X与Z是否相互独立? 为什么? 例27: 设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则 (A)X与Y一定独立。 (B)(X,Y)服从二维正态分布。 (C)X与Y未必独立。 (D)X+Y服从一维正态分布。 2212,设Z=X3+Y2. 5、几个大数定律的区别 切比雪夫大数定律要求“方差有界”,辛钦大数定律要求“同分布”。 例28: 设{X1,X2,„„Xn,„“}是相互独立的随机变量序列,Xn服从参数为n的指数分布(n=1,2,„„),则随机变量序列{X1,22X2,„„n2Xn,„„}: (A)服从切比雪夫大数定律。 (B)服从辛钦大数定律。 (C)同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。 (D)既不服从切比雪夫大数定律,也不服从辛钦大数定律。 四、解答题常考的6个题型 1、全概和贝叶斯公式 例29: 在电源电压不超过200V、在200~240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2,设电源电压X~N(220,252),试求 (1)该电子元件损坏的概率α; (2)该电子元件损坏时,电源电压在200~240V的概率β。 x F(x)0.100.5300.200.5790.400.6550.600.7260.800.7881.000.8411.200.8851.400.919表中Φ(x)是标准正态分布函数。 2、二项分布 例30: 设测量误差X~N(0,102)。 试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。 [附表]: 4 l e-l1234567L0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001L 3 例31: 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 Y 1 若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立,则 A、a=0.2,b=0.3B、a=0.1,b=C、a=0.3,b=0.2D、a=0.4,b=0.1a0.10.4b 例32: 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在X=x(0 从均匀分布,求 (Ⅰ)随机变量X和Y的联合概率密度; (Ⅱ)Y的概率密度; (Ⅲ)概率P{X+Y>1}. 4、数字特征 例33: 一辆送客汽车,载有m位乘客从起点站开出,沿途有n个车站可以下车,若到达一个车站,没有乘客下车就不停车。 设每位乘客在每一个车站下车是等可能的,试求汽车平均停车次数。 例34: 今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒,设X,Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目,试求 (1)(X,Y)的联合分布; (2)X与Y是否独立;(3)令U=max(X,Y),V=min(X,Y),求E(U)和E(V)。 例35: 设X1,X2,L,Xn(n>2)为独立同分布的随机变量,且均服从 1 nnN(0,1)。 记X=å i=1Xi,Yi=Xi-X,i=1,2,L,n. 求: (I)Yi的方差DYi,i=1,2,L,n;(II)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).(III)P{Y1+Yn£0}. 5、应用题 例36: 设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ,1),内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品。 销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损。 已知销售利润T(单元: 元)与销售零件的内径X有如 ì-1, ï下关系。 T=í20, ï-5,î若X<10若10£X£12,问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大? 若X>12 6、最大似然估计 5 ìï 例37: 设随机变量X的分布函数为,F(x,α,β)=í1- ïî æαöç÷,èxø0, β x>α,x£α, 其中参数α>0,β>1.设X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单随机样本,(Ⅰ)当α=1时,求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ)当α=1时,求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ)当β=2时,求未知参数α的最大似然估计量。 五、考试的2个技巧 1、填空题和选择题的答题技巧 例38: 设随机变量Xij(i,j=1,2,L,n;n³2)独立同分布,EX X11XY= M M M X12X L X1nX ij =2,则行列式 2122 L 2n ,的数学期望EY= X n1 X n2 LX nn 例39: 将一枚硬币独立地掷两次,引进事件: A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次出现正面},A3={正、反 面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件(A)A1,A2,A3相互独立。 (C)A1,A2,A3两两独立。 自测题(第一章) 一、选择题(毎小题3分,共15分): 1.在某学校学生中任选一名学生,设事件A表示“选出的学生是男生”,B表示“选出的学生是三年级学生”,C表示“选出的学生是篮球运动员”,则ABC的含义是(). (A)选出的学生是三年级男生; (B)选出的学生是三年级男子篮球运动员; (C)选出的学生是男子篮球运动员;(D)选出的学生是三年级篮球运动员; 2.在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为().(A)ACUBC (B)ABC(D)AUBUC (B)A2,A3,A4相互独立。 (D)A2,A3,A4两两独立。 (C)ABCUABCUABC 3.甲乙两人下棋,甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,设A为甲胜,B为乙胜,则甲胜乙输的概率为(). 6 (A)0.6´0.6 4.下列正确的是((B)0.6-0.6´0.4(C)0.6-0.4(D)0.6). (A)若P(A)³P(B),则BÍA(B)若AÌB,则P(A)³P(B) (C)若P(A)=P(AB),则AÍB(D)若10次试验中A发生了2次,则P(A)=0.2 5.设A、B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是( (A)P(B|A)=0(B)P(A|B)=0(C)P(AB)=0 解: 1.由交集的定义可知,应选(B) 2.由事件间的关系及运算知,可选(A) 13.基本事件总数为C84,设A表示“恰有3个白球”的事件,A所包含的基本事件数为C5=5,故P(A)=).(D)P(AUB)=15C84,故 应选(D)。 4.由题可知A1、A2互斥,又0<P(B)<1,0<P(A1)<1,0<P(A2)<1,所以 P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故应选(C)。 5.因为A、B互为对立事件,所以P(A+B)=1,P(AB)=0,又P(A)>0,P(B)>0, 所以B=A,因而P(B|A)=P(A|A)=1,故选(A) 二、填空题(毎小题3分,共15分): 1.A、B、C代表三件事,事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 2.已知P(AB)=1 16,P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(AB),则P(A)=. 3.A、B二个事件互不相容,P(A)=0.8,P(B)=0.1,则P(A-B)=. 4.对同一目标进行三次独立地射击,第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为. 5.设A、B、C两两相互独立,满足ABC=F,P(A)=P(B)=P(C)< P(A)=.12,且已知P(A+B+C)=916,则 解: 1.AB+BC+AC 2.∵A、B相互独立,∴P(AB)=P(A)P(B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6 3.A、B互不相容,则P(AB)=0,P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8 4.设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”,则三次射击中恰有一次击中目标可表示为ABC+ABC+ABC,即有 P(ABC+ABC+ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.36 5.甲产品滞销或乙产品畅销。 三、判断题(正确的打“√”,错误的打“´”,毎小题2分,共10分): 7 1.设A、B为任意两个互不相容事件,则对任何事件C,AC和BC也互不相容.[]2.概率为零的事件是不可能事件. [] 3.设A、B为任意两个事件,则P(A-AB)=P(A)-P(AB).[]4.设A表示事件“男足球运动员”,则对立事件A表示“女足球运动员”.[]5.设P(A)=0,且B为任一事件,则A与B互不相容,且相互独立.[] 解: 1.正确2.不正确3.正确4.不正确5.不正确 四、(6分)从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数,求取到的最大数是4的概率. 解: 设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”,每个人的属相有12种可能,把观察每个人的属相看作一次试验,由 乘法原理,这12个属相的所有可能排列数为12,而事件A所包含的形式有P 五、(6分)3人独立地去破译一个密码,他们能破译的概率分别为, 12 12 12 种,则P(A)= P1212 1212 =0.000054。 111 若让他们共同破译的概率是多少? 534 解: 设Ai表示“第i人能译出密码”,i=1,2,3,A1,A2,A3相互独立,A表示“密码译出”,则A=A1×A2×A3∴P(A)=1–P(A)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-(1- 15)(1- 13)(1- 14)= 35 六、(10分)已知一批产品的次品率为4%,今有一种简化的检验方法,检验时正品被误认为是次品的概率为0.02,而次品被误认为是正品的概率为0.05,求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率.解: 设A表示通过检验认为该产品为正品,B表示该产品确为正品 依题意有 P(B|A)= P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B) = 0.96´0.98 0.96´0.98+0.04´0.05 =99.8% 七、(10分)假设有3箱同种型号零件,里面分别装有50件,30件和40件,而一等品分别有20件,12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回),试求先取出的零件是一等品的概率;并计算两次都取出一等品的概率. 解: 设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20,12,24件的箱子,A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等 品,依题意,有 P(A1)=P(B1)P(A1|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)=× 120350 3 + 1121247×+×==0.46733034015 P(A1A2)=åP(Bi)P(A1A2|Bi)= i=1 13 ´ 2050 ´ 1949 + 13 ´ 1230 ´ 1129 + 13 ´ 2440 ´ 2339 =0.220 八、(10分)设P(A)= 13 P(B)= 12 . 1812 1.若AB=F,求P(BA);2.若AÌB,求P(BA);3.若P(AB)=解: 1.P(BA)=P(B)–P(AB)因为A,B互斥,故P(AB)=0,而由已知P(B)= ,求P(BA). 8 ∴P(BA)=P(B)= 2.∵P(A)=1 31213,由AÌB知: P(AB)=P(A)= 12∴P(BA)=P(B)–P(AB)= 3.QP(AB)=1 8–1312=1618=3 8∴P(BA)=P(B)–P(AB)=– 九、(10分)一批产品10件,出厂时经两道检验,第一道检验质量,随机取2件进行测试,若合格,则进入第二道检验,否则认为这批产品不合格,不准出厂;第二道检验包装,随机取1件,若合格,则认为包装合格,准予出厂.两道检验中,1件合格品被认为不合格的概率为0.05,一件不合格品被认为合格的概率为0.01,已知这批产品中质量和包装均有2件不合格,求这批产品能出厂的概率. 解: 设Hi表示报名表是第i个地区考生的(i=1,2,3),Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1,2),则 P(H1)=P(H2)=P(H3)= P(A1|H1)=71013815;P(A1|H2)= 3;P(A1|H3)=1320255 252990 (1)p=P(A1)=åP(Hi)P(A1|Hi)= i=1310(+7 15 8 15+)=1025 (2)由全概率公式得P(A2|H1)= P(A1A2|H1)= 3710,P(A2|H2)=830,P(A2|H3)=530730,P(A1A|H2)=,P(A1A2|H3)=78 15 720258 30P(A2)=åP(Hi)P(A2|Hi)=i=131310(++)=619050P(A1A2)=åP(Hi)P(A1A2|Hi)= i=11330(++)=2 92 因此,q=P(A1|A2)=P(A1A2)P(A2)=209=6161 90 十、(8分)设0 证明: ∵0<P(A)<1,0<P(B)<1 ∴P(A|B)=P(AB) P(B),P(A|B)=P(AB) P(B)=1-P(A+B) 1-P(B) =1-P(A)-P(B)+P(AB) 1-P(B) 又∵P(A|B)+P(A|B)=1 1-P(A)-P(B)+P(AB) 1-P(B)P(B)-P(AB)P(B)∴ =9 化简,得: P(AB)=P(A)P(B) ∴事件A、B相互独立 自测题(第二章) 一、选择题(每小题3分,共15分): 1.设随机变量X的分布律为P{X=k}=blk(k=1,2,L),则( (A)0 (C)0 2).2.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-x (A)e+2x,则().2 ep(B)1 ep(C)1 ep(D) 3.设随机变量X的概率密度和分布函数分别是f(x)和F(x),且f(x)=f(-x),则对任意实数a,有F(-a)=(). 1 2-F(a)(B)1 2+F(a)(C)2F(a)-1(A)(D)1-F(a) 4.设相互独立的随机变量X,Y具有同一分布,且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是( (A)(X,Y)).(B)X+Y(C)X-Y(D)X2 5.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( (A)
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