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随机过程习题
随机过程复习
、答复:
1、什么是宽平稳随机过程?
2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系?
3、窄带随机过程的相位服从什么分布?
包络服从什么分布?
4、什么是白噪声?
性质?
二、计算:
1、随机过程X(t)二Acost+Bsint,其中•’是常数,A、B是相互独立统计的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[a2]=E[b2]=匚2。
求:
X(t)的数学期望和自相关函数?
2、判断随机过程X(t^Acos(t)是否平稳?
其中•’是常数,A、'分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量,且相互独立。
a
12
f()=02二;fA(a)歹e2二a-0
2兀CT
3、求随机相位正弦函数X(t^Acos(cr)的功率谱密度,其中A>0是常数,'为[0,2二]内均匀分布的随机变量。
4、求用X(t)自相关函数及功率谱表示的Y(t)二X(t)cos(°t)的自相关函数及谱密度。
其中,••为[0,2二]内均匀分布的随机变量,X(t)是与'相互独立的随机过程。
5、设随机过程{X(t)=Acos(ytY)「:
t:
},其中「°是常数,A与Y是相互独立的随机变量,Y服从区间(0,2二)上的均匀分布,A服从瑞利分布,其概率密度为
试证明X(t)为宽平稳过程。
解:
(1)mx⑴二E{Acos(说Y)}二E(A)E{cos(otY)}
:
x22-
2e2crdxTcos@0t+y)dy=0与t无关
(2)'-X(t)二E{X2(t)}二E{Acos(0tY)}2二E(A2)E{cos2(0tY)HE(A2)
E(A2)=,x:
j£dx=1
0a22q
:
—t
亠t2
>C2e^dt,
t
--te_^2|o':
所以'X(t)二E{X2(t)}:
:
:
:
(3)Rx(t「t2)=E{[Acos(°t!
丫)][Acos(°t2丫)]}
=E[A2]E{cos(0匕Y)cos(0t2丫)}
2兀11
=2;「2■-[cosC■ot^ot2-y)-cos,0心-tj]dy
022二
*2cos・o(t2-t1)只与时间间隔有关,所以X(t)为宽平稳过程。
6、设随机过程X(t^RtC,r(0^0,C为常数,R服从[0,1]区间上的均匀分布。
(1)求X(t)的一维概率密度和一维分布函数;
(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论根底】
(1)F(x)二f(t)dt,那么f(t)为密度函数;
a
rib
(2)X(t)为(a,b)上的均匀分布,概率密度函数f(x)=」就,a"
[0,其他
分布函数
(b-a)2.
12;
0,xca
x—a.ab
F(x)
~,a:
^x兰b,E(x)=~~,D(x)—
b-a2
1,xb
(3)
参数为•的指数分布,概率密度函数
f(x)=*
,x-0,分布函
0,x0
F(x)=」
弋J",E(x)」,
0,x:
0
1
D(x—;
(4)E(x)二»D(x)「丁2的
正态分
概率密度函数
1气
f(x):
e2;-,_:
:
:
:
:
x:
:
:
:
CTJ2兀
F(x)=1
2二
(t_J2
其为标准正态分布。
x———
e2;-dt,-:
:
:
:
x:
:
【解答】
(1)因R为[0,1]上的均匀分布,
C为常数,故X(t)亦为均匀分布。
由
0,xvCx-C
CEXECt;
1,xaC+t
R的取值范围可知,X(t)为[C,Ct]上的均匀分布,因此其一维概率密
1
度f(x)二
*2兰X兰C+t,一维分布函数F(x)=
0,其他
(2)根据相关定义,均值函数mx(t)二EX(t)」C;
2
1c
相关函数Rx(s,t)二E[X(s)X(t)]st(st)C2;
32
st
协方差函数Bx(s,t)二E{[X(s)-mx(s)][X(t)-mx(t)]}(当s=t时为方差
12
函数)
7.设随机过程X(t)二Xcos2t,t・(」:
,=),X是标准正态分布的随机变量。
试求数学期望E(XJ,方差D(XJ,相关函数Rx(ti,t2),协方差Cx(ti,t2)。
解:
因为X(t)=Xcos2t庠严O),X~N(0,1)EX=)DX»EX(=),1
(1)
所以E(t=X)-E
(2)
D(Xt)=D(Xcos2t)二cos22tD(X)二cos22t,
(2)
RX(t1,t2^E[X(t1)X(t2)HE[Xcos2tXcos2t]=cos22t,
(2)
2
CX(t1,t2~Rx(t1>t2)-E(t1)E(t2)=Rx(t1,t2)=COS2t
(2)
&有随机过程{(t) t+0),(t)=Bsin(,t+c+J,其中A,B,■,•为实常数,。 均匀分布于[0,2二],试求R(s,t) 1. 1.解: f評戶莎心勿 、0,其它 _2兀1 Ryis,t二Ef・]s门t二Asin•・svBsintdr 12■: —ABj|cosLit—s厂门cosLits'2;•亠门id-4…0_ 1 ABcosFit—si亠"i,-: : : : : s,t厂 2 9、随机过程(t)=Acos「't+“),-: : vt<+: : ,其中A,•■,「是相 互统计独立的随机变量,EA=2,DA=4,是在[-5,5]上均匀分布 的随机变量,门是在[-二,二]上均匀分布的随机变量的平稳性和各态历经性。 2、解: mt=E-il)-EAcosQt丨-EAECos^t: •: 」丨 15二 =2—d■cos,td 20二.二 def =0=m,-: : : : t;: : 试分析(t) Rt,t二E't;itLEAcos,t亠①AcosF: it」 =EA? Ebos■'t亠尬CosF: it---1 8 20二 5-: d■cos: ;;'「fcosiLit亠]亠门d: _5 8 40■: 4sin5 一5 def =R 所以具有平稳性。 1A tlimAcos,t亠处dt_limsin,Tcos〉=0二m T_2T_tTcoT 故均值具有各态历经性。 ■: : 〔t.卜〔t•: =』m.一补Acost亠总AcosF: [t亠]亠尬dt |a =』m.cost亠审Icosi'"it亠"广①dt 2 cos八Rt 2 故相关函数不具有各态历经性。 三、分析求证 1、随机过程X(t)二Acos(t),•为[0,2二]内均匀分布的随机变 量,A可能是常数、时间函数或随机变量。 A满足什么条件时,X(t)是 各态历经过程? 2、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程, 商店9: 00开门,试求: (1)在开门半小时中,无顾客到来的概率; (2)假设开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。 3、解: 设顾客到来过程为{N(t),t>=0},依题意N(t)是参数为■的Poisson过程。 (1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为: 『1、、显 PN—=0=e2=e '、、12丿丿 (2) I⑵J 时仍无顾客到来可表示为N1-N+=0,从而所求概率为: -N0=0 在开门半小时中无顾客到来可表示为N1=0,在未来半小 f 〔1、 N〔1〕—N 丄 =01N— =0 12丿 12丿 〕 P 〔「1〕「1〕 =p]n⑴-N匸=0|N- 〔1〕 I12丿 =0=e12丿=e/ 〔门〕 =PN⑴―N— \\2丿 3、某商场为调查顾客到来的客源情况,考察了男女顾客来商场的人 数。 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程 (1)试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布; (2)在t时刻以有50人到达的条件下,试求其中恰有30位妇女 的概率,平均有多少个女性顾客? 解: 设N〔t〕,口⑴,怡⑴分别为〔0,t〕时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。 〔1〕由,Ni〔t〕为强度-2的泊松过程,N2〔t〕为强度—3的泊松过程; 故,N〔t〕为强度,=,1「2=5的泊松过程;于是, P〔N〔t〕二k〕=竺k=0,1,2,〔5分〕 k! (2) P(N2(t)=30N(t)=50) P(N2(t)=30,N(t)=50) P(N(t)=50) P(N2(t)=30)P(N1(t^20)(3t)30e」/3O! (2t)20e^t/20! —50Z5t P(N(t)=50)(5t)e/50! (3t)30e't/3O! (2t)20e2/2O! (5t)50e』/50! 七0〔3〕30〔|〕20 55 (5分) 般地,P{N2(t)=k|N(t)=50}=c50(3)k(Z)50=k=0,1,2;,50 55 故平均有女性顾客 3 E{N2(t)|N(t)=50}=5030人 5
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