利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真.docx
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利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真
利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真
储林华(安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011)
指导教师:
张杰
摘要:
光的衍射是光的波动性的一种重要表现,因此对光的衍射现象的研究,不仅具有重要的理论意
义,而且在光学仪器研制和成像分析等诸多实际应用方面均有重要价值,但是其衍射光强的计算非常复
杂,对实验条件的要求非常高,通常情况下很难得到满意的效果,严重影响了光学的教学。
本文从衍射
的相关理论知识出发,首先介绍了惠更斯--菲涅耳原理及其数学表示形式,然后重点讨论了单色光经各
种对称光学衍射元件(单缝,双缝,光栅,圆孔)的夫琅和费衍射情况,并分别给出了它们在焦平面上的衍射光强计算公式,最后利用科学计算软件MATLAB对光的衍射现象进行了仿真,所得到的图样细
致逼真,使整个物理过程变得直观形象,且与实验所得到的衍射图样进行了比较,两者吻合得很好,从
而为光学的理论分析和实验教学提供了一种新的途径。
关键词:
光的衍射,光栅衍射,圆孔衍射,Matlab,计算机仿真
0引言
光的衍射现象是光具有波动性的重要特征,因此对衍射现象的研究无论在理论上还是在实践中都
有很重要的意义。
对光的衍射现象的研究,始于17世纪,当时著名的荷兰科学家惠更斯提出了光是一
种波的假说,并根据波动理论提出了光的传播理论一一即惠更斯原理⑴,根据这一原理,他解释了光的
反射定律和折射定律,给出了折射率的意义,光在两种介质中的速度比。
到了19世纪,法国年轻的科
学家菲涅耳,根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化,给出了光在传播过程中光强学计算公式,这就
是著名的惠更斯-菲涅耳原理[2]。
但由于在实际应用过程中,障碍物形状的不规则性,导致光强的计算公式几乎无解析解,只能进行一些数值计算。
针对衍射计算中出现的困难,近代的研究人员想到运用科学的计算软件MATLAB,利用其较强的
绘图和图象功能,编写计算程序,使得多种衍射元件(单缝,双缝,光栅,矩孔,圆孔)下的衍射现象
得以在计算机中形象地被模拟仿真。
这种做法,条件限制较少,对于衍射的实验教学是一种的补充,起
到了很不错的效果;但值得指出的是,许多前人撰写的论文,总是在系统化,可视化,条理化方面不够理想,本文将在他们工作的基础上,将此课题进一步做得完美。
1.惠更斯一菲涅耳原理
早在十七世纪后期,荷兰科学家惠更斯就提出了光是一种波动的假说,并阐述了关于波面传播的
一种理论,既惠更斯原理。
该原理认为,传播中的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源,由于
这些次波源发出的次波是球面波,这些次波的公共包络面就是下一时刻的波面,根据这一原理,他解释
了光的反射定律和折射定律,并给出了折射率的意义,光在两种介质中的速度比。
菲涅耳根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化了,他假设各次波是球面波,但这些球面只是等相面而不是等幅面,球面上各点振幅与传播方向有关,这就避免了次波的后向的传
播;同时,他认为,下一时刻空间任一点的振动由各次波到达该点的振动叠加所决定,此定理称为惠更斯一菲涅耳定理。
如右图
(1)所示。
菲涅耳假设:
Q点所发的次波对P点贡献dU(p)正比于Q点附近一个小面元的面积ds,正比于Q点的复振
幅U(Q),正比于ejkr/r(假定次波是球面波),以及正比于一个与传播方向有关的函数f(Q)是r与小面元
法线即波在Q点的传播方向上的夹角),即:
其中C是一个与r,Q,二无关的比例系数,f(r)叫倾斜因子,它随r增加而缓慢减少于是,按照叠加原理,有:
这就是惠更斯一菲涅耳原理的数学表达式,积分表示整个波面S上各点所发的次波传播到p点的作用
的叠加。
从上面的表述,我们可以看到菲涅耳的思想比惠更斯有了更大的进步,他着眼于下一时刻空间各
点的振动情况,而惠更斯只着眼于下一时刻波面的形状与位置,因此惠更斯只能定性地描述光的传播方
向,而菲涅耳却能定量地描述衍射后的光强分布。
2.夫朗禾费衍射现象研究
光的衍射现象根据光源到衍射屏以及观察屏的距离远近,可以分为近场衍射和远场衍射。
如果光源
到衍射屏以及观察屏的距离为有限值,则称为近场衍射(菲涅耳衍射);如果光源到衍射屏以及观察屏
的距离为无穷远,则称远场衍射,由于这种衍射最先由夫朗禾费在探索天体成像时作了系统的研究,故
亦称为夫朗禾费衍射。
一般情况下,利用
(1)式进行光强计算时,菲涅耳衍射情况比较复杂,而夫朗
禾费衍射情况比较简单,本文仅讨论后者。
2.1圆孔的夫朗禾费衍射
在Oxy平面上,有一以0为圆心、R为半径的圆孔,如图2所示。
现用一束平行于Z轴的光线照射,经圆孔衍射后到达焦平面上,于是按照
(1)式,P点的光强为:
cU(Q)f(RejkrQ
u(p)-cedsQ
圆孔rQ
=][cu(Q)f®ejkrQPdPd屮
迪rQ
设从圆心O到P点的距离为ro,则从圆孔中任一点Q到P点的距离rQ为:
I
rQ=r0+00sin日=r0+Pcos申sin日
于是,由于程差尺二3-r。
比ro小得多,而与波长■可以比拟,因此,可以把振幅中的rQ以r。
代替而只
考虑相位因子的变化,即:
R2二
u(p)=cIIejk(rQ』)8"d-
00
其中:
c二cU(Q)f()ej"0为常数,将rQ代入
(2)式中得:
r°
R2二、..
u(p)=c』皿5九dV
00
(2)
2J1(x)
x
其中:
J1称为一阶贝塞尔函数,x=2二Rsin)•,由此,可知P点的光强可表达为:
根据⑶式可以画出焦平面的光强分布图样,如下图⑶所示:
(a)(b)
图3圆孔衍射图样
其中,图(b)是夫朗禾费衍射图样的照片。
显然,这是一个圆对称图形,中心为主极大,在F处,
R=0,v-0,x=0,l=I0,其他各点的光强可通过R'来表示,由图
(2)可知:
R=0.818f'R时,
x=1.635二,11。
=0.0175,
为第一亮环;
R'=1.116fR时,
x=2.233叮,1「10=0,
为第二暗环;
R'=1.619fR时,
x=3.238二,1「10=0,
为第二暗环。
这就是夫朗禾费圆孔衍射的光强分布,它的中心永远是亮的,并且在中心亮斑处的光能占总光能
的约84%,中心亮斑的半径也是确定的,为0.61,f]R,或角半径为0.61{R。
2.2单缝的夫朗禾费衍射
图4单缝夫朗禾费衍射示意图
设波长为■的平面波射向缝宽AB=b的狭缝,衍射经透镜L会聚在焦平面F上,取XZ坐标如图
(4)所示,根据惠一菲原理,在焦平面上任一点P的复振幅为:
把狭缝细分为垂直于X轴的许多小面元,面积为ds=Ldx,L是缝的长度,由于是平面波入射,
故U(Q)为常数,在角度不大的情况下,f(v):
1,r=r0-xsin^,由于x「:
:
r0,故在振幅中的r可
视为r°,只有相位因子中的二二r-r°=xsin二不可略去,故:
u(pHcLu(Q)—.ejkxsi^dx
r0-b2
把积分求出,得:
I=u(p)u(p)=c2b2sin2IJ'2=I0sin2I,,I'2
其中,I。
为]=0时的光强,即:
衍射斑中心点的光强,1的物理意义是狭缝的边缘与中心的光
线在P点产生的相位差,以[或sinr作横坐标,以|.,|0作纵坐标,对(4)式作图可得夫朗禾费单缝衍射的光强分布,如下图所示:
(b)单缝衍射图样
图5单缝衍射光强分布及图样
计算表明,在-二:
:
:
-:
:
:
二之间的主极大集中了90%的能量,主极大的半角宽为v:
sin^-,b,
把狭缝改为矩孔,即在x,y两个方向上考虑衍射效应,则光强表达式为:
I=I0sin2「■:
2sin'a/L其中,a是在y方向上与P对应的量,矩孔衍射图样如图⑹所示,
图6矩孔衍射图样
2.3双缝的夫朗禾费衍射
以上考虑的是一个缝的衍射,如果有两个相邻的缝,由于衍射,通过两个缝的光在观察屏上会相
遇。
试验结果告诉我们,在两条缝的衍射光相互交叠的区域,不是简单的呈现光强的叠加,而是出现了
由光强重新分布而产生的明暗相间的条纹,称为光的干涉。
显然,光的干涉与光的衍射一样,都是波的叠加原理所必然导致的结果。
现在,我们仍然用惠一菲原理来分析两条缝所产生的夫朗禾费衍射的结果,如图(7)所示:
图7双缝衍射示意图
如图(7),衍射屏上A,B处各有一条宽为b的缝,缝间距为d,由于透镜的作用,这两条缝的衍
射光在焦平面F上的光强分布是完全一样的,但它们的相位分布不同,把坐标原点分别放在A与B的
b2
中心,由式:
u(p)二C.e'gn^dx可得:
七2
b''2jk(XA屉)sin日'b2jgxB-^sin日
Ua(p)=ce2dxAUb(P)=ce2dxB
-b2-b2
令:
-J
r=kdsinr为单缝中心与双缝中心的光在P点产生的相位差,则:
2
b2u(p)=uA(p)+uB(P)=C‘『ejkxsin^dx(ejr+e」r)
_b2
=_cbsinB/0(ejr+e」r)
于是,总光强为:
I=u(p)u(p)=10sin2卩2(ejre』)(e』ejr)
=4l0sin2『‘『2co€r(5)
这就是夫朗禾费双缝衍射的光强分布的表达式,设d=5b,即:
r=5一:
,将式⑸作图,可得下图
所示的光强分布图样:
图8双缝衍射光强分布图样
显然,这是由sin2I厂:
2与4cos2r相乘而得的图样,在有双缝时,原来的单缝衍射图形不是平均
地增加到原来的两倍,而是在sinv-kd时,增加到原来的四倍,在sinv-(2k1)'/2d处,降为
零。
2.4多缝夫朗禾费衍射
上面关于双缝衍射的讨论,可以进一步推广到更多的缝,如图(9),有N条等间距的缝,缝宽均为
d,则相邻缝的对应程差为dsinv,相位差为:
:
-2-dsin'/',由⑷式知:
u(p)=u°(p)(ejr/)=u°(p)ejr(1e引)讥(p)(1/「)
图9多缝夫朗禾费衍射示意图
如果把坐标原点放在第一个缝的中心,则uo(p)ejr就是它的单缝衍射振幅,而uo(p)ej(rv)则是
另一个缝的衍射振幅,根据这个思想,立即可以把上式推广到多缝:
Un(P)7(P)U2(p)川Un(p)
于是,光强分布为:
图10多缝衍射光强分布图进而若N=100,则可得到的衍射图样为:
图11光栅衍射图样
分析:
多缝衍射与双缝衍射都是单缝衍射的结果。
它们的区别在于多缝是干涉的结果,使极大值变细,峰值变高;而在两个极大值之间出现(N—1)个光强为零的B值和(N—2)个次峰。
当N很大时,各主极大变得十分尖锐,可以用来计量和分光,这种N很大的能产生多缝衍射的光学元件称为光栅,d
叫做光栅常数。
3.利用Matlab软件进行衍射现象的仿真
3.1Matlab的简介
这里使用的软件MATLAB6.5,它是一个功能十分强大的应用软件,可以在很多学科中得到应用,
它集数值计算,符号计算,数据可视化,系统动态仿真于一体,与其他计算机语言相比它更加灵活,更加接近科技人员的思维方式,因而编程效率更高。
3.2仿真方法
下面我们应用Matlab强大的图像处理与数值计算功能,仿真模拟光的夫朗禾费衍射(各种衍射屏)
图样和强度分布曲线。
仿真模拟首先是根据光的衍射光强分布的理论公式l(x,y)及实验参数建立光强
数据矩阵B(x,y),然后运用Matlab的Image命令绘制衍射图像,运用Plot命令绘制光强分布曲线。
3.3圆孔衍射的程序
%圆孔衍射
%functionykys(r,f,lambda)
r=0.03;
f=600;
lambda=600;
x=-20:
0.05:
20;
y=-20:
0.05:
20;
[x1,y1]=meshgrid(x,y);
theta=atan(sqrt(x1.A2+y1.A2)./f);
x=1000000*(2*pi*r/lambda).*sin(theta+(theta==O)*eps);l=(2*bessel(1,x)./x)42;
subplot(2,1,1);
mesh(x1,y1,I);
axis([-2020-202001])
subplot(2,1,2);
subimage(I*255)
axisoff
圆孔衍射图样照片见图3(b)所示。
3.4光栅衍射程序
%光栅衍射
%functiongsys(b,d,f,lambda,N)
b=0.05;
d=0.1;
f=600;
lambda=600;
N=1/2/100;
x=-20:
0.1:
20;
theta=atan(x./f);
beta=1000000*(pi*b/lambda).*sin(theta+(theta==0)*eps);delta=beta.*(d/b);
l=((sin(beta)./beta).A2).*((sin(N.*delta)./sin(delta)).A2);subplot(2,1,1);
plot(x,l);
subplot(2,1,2);
colormap(gray(10))
image(l*255);
axisoff
运行后得到的图样分别见图5(b),图8,图11所示。
3.5矩孔衍射的程序
%矩孔衍射
%functionjkys(a,b,f,lambda)
a=0.05;
b=0.05;
f=600;
lambda=600;
x=-20:
0.05:
20;
y=-20:
0.05:
20;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
theta1=atan(X./f);
theta2=atan(Y./f);
beta=1000000*(pi*b/lambda).*sin(theta1+(theta1==0)*eps);
alpha=1000000*(pi*a/lambda).*sin(theta2+(theta2==0)*eps);l=((sin(beta)./beta).A2).*((sin(alpha)./alpha).A2);
subplot(2,1,1);mesh(X,Y,l);
axis([-2020-202001])subplot(2,1,2);
subimage(l*255);
运行后得到矩孔衍射图样见图6所示。
4•结束语:
经过Matlab软件的仿真,得到各种形状孔屏的夫朗禾费衍射图样,这与实验室做实验得到的结果符合得很好;而且通过仿真,也更进一步使夫朗禾费衍射的相关知识形象化,可视化,加深了对这些内容的理解。
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SimulationofLightDiffractionbyMATLAB
LinhuaChu
(SchoolofPhysicsandElectricalEngineeringofAnqingNormalCollegeAnqing246011)
Abstact:
Thelight'sdiffractionisaveryimportantbehaviorofthelightluctuationcharacter.So'thsfetudyofthelight'sdiffractionphenomenonhasnotonlytheimportaebryvaluebutalsotheimportantvalueonmanypracticalusing,suchasopticsinstrument'sdevelopmentandimageryanalysisandsoon.,HdW®ver
calculationofthediffractionlightintensityisverycomplicatedandhasaveryhighstandardontheexperimentcondition.Usually,it'noteasytogetthepleasedresults,whichaffectstheopticsteachingseriously.Thisthesisisbasedontherelatedreasonknowledgeofdiffraction.Firstly,itintroducesHuygens-Fresnelprincipleandthemathexpressionform.ThenitemphaticallydiscussesthesinglefrequencylightofFraunhoferdiffractioncasesthroughmanykindsofthesymmetricelementofthelight'sdiffraction(singlecrack,doublecrack,grating,rectangularhole,roundhole),furthermore,thethesisgivesobtainthediffractionlightintensitycalculationonthefocalplane.Finally,itusesthescientificcalculationsoftwareMATLABtosimulatethelight'sdiffractionphenomenon.Thepatternwegotisdelicateandrealisticwhichmakesthewholephysicalprocessintuitionalandvisual.Andcompareditwiththediffractionpatternwhichisbegottenfromexperiment,theycoincidewitheachotherwell,whichsupplyanewwayfortheopticstheoryanalysisandexperimentteaching.
Keywords:
light'sdiffractjoigratingdiffraction,roundholediffraction,Matlab,computersimulation
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