华科研究生之有限元课件有限元复习宝典很全面.docx

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华科研究生之有限元课件有限元复习宝典很全面

有限元复习宝典

重点掌握一般问题的描述、模型简化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本过程、位移函数构造、单元特性、有限元计算的具体操作（单元刚阵形成、总纲阵组装）、边界条件处理（载荷等效/边界约束施加）、有限元分析的具体操作

一．基本概念

1.平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；板壳问题；杆梁问题；温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性/几何非线性）等

平面应力问题

（1）均匀薄板

（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布

在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即

（

）。

一般

，

并不一定等于零，但可由

及

求得，在分析问题时不必考虑。

于是只需要考虑

三个应变分量即可。

平面应变问题

（1）纵向很长，且横截面沿纵向不变。

（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布

只剩下三个应变分量

。

也只需要考虑

三个应力分量即可

轴对称问题

物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴

轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：

轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；

板壳问题

一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。

如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。

杆梁问题

杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。

在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。

线性问题/非线性问题

线性问题：

基于小变形假设他，应力与应变，应力与位移，平衡方程都是线性的。

非线性问题：

材料非线性（非线性弹性、非线性弹塑性），几何非线性（大变形大应变如金属橡胶，小应变大位移如薄壁结构）

空间问题、温度场问题，略

2.不同类型单元的节点自由度的理解和不同单元连接的处理

不同类型单元的节点自由度：

单元类型

节点数

节点自由度

杆单元

2

1

梁单元

2

3

平面单元

3

2

平面四边形

4

2

轴对称问题

3

2

板壳单元

4

3

四面体单元

4

3

不同单元连接的处理

如果两相邻单元在连接处节点重合且节点自由度相同，可直接连接，则此时不同单元的刚度矩阵可类似单一单元分析一样直接组集。

如果两相邻单元在连接处节点不重合、或节点自由度不同则要特别处理，处理的基本条件是保证相邻单元的连接节点的自由度相容，相邻单元在连接的交界面上的位移协调。

（1）节点不重合的单元连接（单元类型相同节点不重合）略。

（2）节点自由度不同的连接（单元类型不同）

杆-梁连接将杆单元节点自由度扩展，或引入特殊单元

梁-平面单元连接人为将梁单元延伸一段或人为建立平面单元上s、m处的位移与梁单元A节点位移的约束关系

3.有限元法的基本思想（二次近似）与有限元分析的基本步骤（5步）

有限元法的基本思想：

先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替（第一次近似）；

对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数（第二近似）；

基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）；

借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组。

有限元分析的基本步骤：

数学建模（问题分析），结构离散（第一次近似），单元分析（位移函数，单刚方程）（第二次近似），整体分析与求解（总刚方程，引入约束，解方程组求节点位移，根据节点位移求应力），结果分析及后处理。

4.里兹法的基本思想及与有限元法区别

里兹法的基本思想：

先根据描述问题的微分方程和相应定解条件构造等价的泛函变分形式，然后在整个求解区域上假设一个试探函数（或近似函数），通过求解泛函极值来获得原问题的近似解。

与有限元法的区别：

里兹法是整体场函数用近似函数代替，有限元法是离散求解域，分片连续函数来近似整体未知场函数。

5.有限元法的基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷）

•单元：

即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域

•节点：

单元与单元间的连接点。

•节点力：

单元与单元间通过节点的相互作用力

•节点载荷：

作用于节点上的外载（等效）。

6.位移函数的构造方法及基本条件

构造方法：

（1）广义坐标法，按照帕斯卡三角形选择多项式，项数多少由单元的自由度数决定。

（2）插值函数法，表示为形函数和节点位移的乘积表示。

基本条件：

（1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；

（2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。

7.位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性的判断

位移函数的收敛性条件

（1）位移函数应包含刚体位移

（2）位移函数应包含常量应变（反映单元的常应变状态）

（3）位移函数在单元内连续，在单元之间的边界上要协调

满足1和2称为完备单元，满足1，2，3称为协调单元。

单元协调性的判断

以3节点三角形单元为例，位移分量在每个单元中都是坐标的线性函数的话，在公共边界上也会是线性变化的，那么相邻单元在公共边界上的任意一点都具有相同的位移，也就是协调单元。

8.有限元解的性质

有限元解具有下限性质，即有限元的解小于实际的精确解。

这是因为实际结构本来是具有无限自由度的，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合后，便只有有限个自由度了。

由无限自由度变为有限自由度可以认为是对真实位移函数增加了约束，限制了结构的变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减小。

9.弹性力学的几个基本概念（位移、应力、应变等）

位移，变形后位置；应变，变形程度；应力，受力状态。

10.弹性力学的基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）（注意基本假设/与非线性对比），弹性力学基本方程的求解方法

基本假设：

物质是连续，均匀，完全弹性，各向同性，小变形

平衡方程：

几何方程：

物理方程：

11.虚功原理、最小势能原理及变分法（里兹法）

虚功原理：

在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的虚刚体位移时，体系上所有的主动力在虚位移上所作的总功（各力所作的功的代数和）恒等于零。

最小势能原理：

表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。

12.形函数特性

1）形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。

2）形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。

3）单元内任一点的形函数之和恒等于1。

4）形函数的值在0-1间变化。

13.单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义

单元刚度矩阵的性质：

（1）对称性

（2）奇异性，|K|=0（3）主对角线元素恒为正值（4）奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）

物理意义：

单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。

其中分块矩阵[Kij]的物理意义为：

当在j节点处产生单位位移而其他节点位移为零时，在i节点上需要作用力的大小。

其中元素Kij表示在第j号自由度上产生单位位移时，其他自由度位移为零时，在i号自由度上所需要施加的力的大小。

单元刚度矩阵的元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

14.常用单元的特性（如单元内部边界位移/应变/应力分布，相邻单元边界的协调性分析）（常应变单元三角形/四面体；矩形单元；等参四边形单元；矩形板单元）

三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元，位移在单元内和边界上为线性变化，在相邻单元边界处为连续。

常应变三角形单元的应变矩阵[B]为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。

矩形单元：

4节点8自由度矩形单元。

位移函数

满足收敛性条件，单元为协调单元。

应变矩阵[B]是x,y的函数，应力也是随x，y线性变化的，应力和应变在相邻单元边界处为连续。

15.等参单元定义、存在条件及特性

等参单元定义：

即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。

由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。

存在的充要条件：

|J|≠0

附，为了保证能进行等参变换（即总体坐标与局部坐标一一对应），通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。

特性：

等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。

等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。

16.边界条件处理（载荷等效移置集中力/均布力/线性分布力边界位移约束处理固定/指定位移等）

载荷等效移置

连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置（分解），而成为节点载荷。

载荷移置的原则：

能量等效（或静力等效原则），即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。

集中力，移置到两端节点，使得F1L1=F2L2，F1+F2=F

均布力，移置到两端节点，F1=F2=0.5qL

线性分布力，F1=1/30.5qL，F2=2/30.5qL

边界位移约束

一．绝对位移约束

刚性支座（活动铰支，固定铰支，固接支座）——固定位移

弹性支座（线弹性制作，非线性支座）——可变位移

强迫约束——指定位移用载荷等效，装配应力+整体应力

二．相对位移约束（如两接触面）

1.约束等式

2.耦合约束（连接重合节点，模拟滑动边界连接，施加周期对称边界条件）

常见的位移约束问题处理

约束不足的处理

（1）利用对称性引进约束（取1/n后，在对称面上施加位移约束）

（2）转换载荷为位移约束（受平衡载荷作用，将一部分载荷用位移约束代替）

（3）人为增加约束（约束点应尽量远离重要部位，约束点变形要相对小）

其他，杆离散为多个杆单元时，须在连接节点增加约束，只允许产生轴向位移。

轴对称结构，施加轴向约束。

过约束的处理

有时需要施加过约束，有时需要释放过约束。

17.总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点

总体刚度矩阵组装原则：

1.在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移。

2.整体离散结构各节点应满足平衡条件。

即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri。

总刚阵特点：

除了具有单元刚阵的特点外，还有

1.稀疏性，是指总刚矩阵的绝大多数元素都是零，非零子块只占一小部分。

2.带状性，是指总刚矩阵中非零子块集中在主对角线两侧，呈带状分布。

（附，半带宽B=（相关节点号最大差值+1）*节点自由度数）

18.固有频率与特征向量（振型）定义及理解、振型特性

动力方程广义特征值问题（

特征方程

的n个根称为特征值，它们的平方根成为系统的固有频率。

由每个固有频率

求得的一组节点振幅不全为0的向量

称为特征向量，也称为振型或模态向量。

振型的形状是唯一的，但其振幅不是唯一的；一个特征值可对应有多个特征向量，但一个特征向量只对应一个特征值。

振型的正交性，任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩阵或刚度矩阵正交。

二．计算与证明

1、等效载荷计算

2、单元刚阵计算

三节点等厚三角形单元，节点坐标分别为（xi,yi）,（xj,yj）,（xm,ym）

求出

求得应变矩阵

对于平面应力问题有，弹性矩阵

则单元刚度矩阵

对于下图所示的直角等边三角形单元，

3、总体刚度矩阵及载荷向量组装，约束条件的引入、整体方程的求解（包括约束反力计算）

1）结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方向编为i,j,m,称为节点的局部码。

在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。

得到扩大的单元刚度方程

2）据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加=节点载荷：

3）整理可得整体平衡方程：

，其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵

约束反力计算约束反力只有在由引入约束的整体方程求出所有节点位移分量以后，然后回代到没有引入约束条件的整体方程的相应方程中才能求出。

4、单元形函数特性及单元协调性证明

5、振型正交性证明略

三．建模与结果分析

1.影响有限元分析精度和成本的因素

影响有限元解的误差：

1）离散误差2）位移函数误差

分析精度：

A、单元阶次B、单元数量C、划分形状规则的单元

D、建立与实际相符的边界条件E、减小模型规模F、避免出现“病态”方程组，当总刚矩阵元素中各行或各列的值相差较大时，则总刚近似奇异。

2.有限元模型的基本构成（节点数据、单元数据、边界条件等）

节点数据：

节点编号、坐标值、坐标参考系代码、位移参考系代码、节点数量、单元编号

单元数据：

单元节点、编号单元、材料特性码、单元物理特性值码、单元截面特性、相关几何数据

边界条件数据：

位移约束数据、载荷条件数据、热边界条件数据、其他边界条件数据

3.有限元建模的常用方法理解及应用（如细节处理、分步计算、局部计算、子结构法、对称性简化等）

细节处理也称为小特征处理，即删除或抑制对结构力学性能影响不大的细小结构。

分步计算，如果结构的局部存在相对尺寸非常小的细节，且又不能进行细节处理，可采用分步计算来控制有限元模型的规模。

局部处理就是从所建立的力学模型中抽取一部分出来进行分析，该部分通常是研究者最关心的的危险区域。

子结构法是先将大型结构分解为若干个结构区域，每个区域作为一个子结构。

子结构被进一步细分为单元，并人为地将子结构上的节点划分为边界节点和内部节点两类.

对称性简化，对称性分为反射对称和周期对称

（1）反射对称，受对称载荷作用则对称面上的位移条件为

①垂直于对称面的移动位移分量为零。

②绕平行于对称面的两相互垂直的轴的转动位移分量均为零。

（2）反射对称，受反对称载荷作用则对称面上的位移条件为

①平行于对称面的移动位移分量为零；②绕方向矢量垂直于对称面的轴的转动位移分量为零。

（3）对称结构受任意载荷作用（迭加原理）

（4）周期对称的位移条件，周期对称边界上的对应点有相同的位移状态

4.边界约束条件的处理（见前）。

5.不同求解方案正确性或优劣的判断略

6.单元类型选择的一般原则

选择原则：

同一问题所选单元应使计算精度高、收敛速度快、计算量小。

1、杆系结构：

a、铰接连接时，选杆单元b、刚性连接时，选刚架单元2、平面结构：

a、外载平行于平面内，选平面单元b、外载不在平面内，选弯曲板壳单元3、空间结构：

a、结构和受力具有轴对称性，选轴对称单元b、一般实体，选三维实体单元。

7.网格划分的基本原则及网格划分方案分析、网格形态基本要求（如不同划分方案优劣比较）

网格划分的基本原则：

拓扑正确性原则（两单元的交为空或单元顶点，边或面），几何保形原则（所有单元的集合为原结构的近似），特性一致性原则（一个单元内额材料特性、物理特性和截面特性必须相同），单元形状优良原则（纵横比和夹角要适中），密度可控原则。

划分网格要兼顾精度和经济性，合理的网格划分应同应力梯度（应力变化率）相一致,在应力梯度大（应力急剧变化）的区域，单元小些，网格密些，而且网格划分应由密到疏逐渐过度。

8.不同单元连接自由度的处理（杆-梁-板、平面-梁等）略

9.有限元结果的分析效验及解释略

四．其他

1.模型简化

力学模型简化就是借助对称原理、圣维南原理、叠加原理、等效准则等，在保证考察问题的精度不受影响或具有足够近似精度的要求下，对所研究问题的力学模型进行简化，从而达到减小计算时间和存储空间的目的。

常用方法有降维处理、等效变换、对称性利用、组合分析、场耦合分析。

2.对称性利用注意事项

（1）不仅结构的形状、载荷要对称，还要求位移约束也对称

（2）若对称面上作用有载荷，则应取载荷的1/2进行分析（3）若对称面上存在板或梁，这时板或梁单元的刚度应取整个单元刚度的1/2（4）用对称面剖分结构时，应尽量使剖分面不在结构的最大应力位置。

其他略。

3.整体刚度方程中的约束条件引入

引入约束的方法常有：

1）降阶法（打乱[K]{R}的储存顺序）2）对角元素置1法3）对角元素乘大数法