高中数学第一章三角函数2角的概念的推广274.docx
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高中数学第一章三角函数2角的概念的推广274
§2 角的概念的推广
内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点).
知识点1 角的概念
(1)角的概念:
角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向,分为如下三类:
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,称这样的角为零角
【预习评价】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)
(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)
(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)
(4)终边和始边重合的角是零角(×)
(5)经过1小时时针转过30°(×)
知识点2 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
【预习评价】
1.锐角属于第几象限角?
钝角又属于第几象限角?
提示 锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角.
2.第二象限的角比第一象限的角大吗?
提示 不一定.如120°是第二象限的角,390°是第一象限的角,但120°<390°.
知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
【预习评价】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)终边相同的角一定相等(×)
(2)相等的角终边一定相同(√)
(3)终边相同的角有无数多个(√)
(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)
题型一 角的概念的推广
【例1】 写出下图中的角α,β,γ的度数.
解 要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小,由角的概念可知α=330°,β=-150°,γ=570°.
规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”
2.表示角时的两个注意点
(1)字母表示时:
可以用希腊字母α,β等表示,“角α”或“∠α”可以简化为“α”.
(2)用图示表示角时:
箭头不可以丢掉,因为箭头代表了旋转的方向,也即箭头代表着角的正负.
【训练1】
(1)图中角α=________,β=________;
(2)经过10min,分针转了________.
解析
(1)α=-(180°-30°)=-150°
β=30°+180°=210°.
(2)分针按顺时针转过了周角的
,即-60°.
答案
(1)-150° 210°
(2)-60°
题型二 终边相同的角
【例2】 已知α=-1910°.
(1)把α写成β+k×360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解
(1)-1910°=250°-6×360°,其中β=250°,从而α=250°+(-6)×360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),
取k=-1,-2就得到满足-720°≤θ<0°的角,
即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
所以θ为-110°,-470°.
规律方法 将任意角化为α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用),也可用除以360°的方法.要注意:
正角除以360°,按通常的除法进行,负角除以360°,商是负数,且余数为正值.
【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合.
解 终边在直线OM上的角的集合为M={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α=60°+n·180°,n∈Z},
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
【探究1】 在四个角-20°,-400°,-2000°,1600°中,第四象限角的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析 -20°是第四象限角,-400°=-360°-40°与-40°终边相同,是第四象限角,-2000°=-6×360°+160°与160°终边相同,是第二象限角,1600°=4×360°+160°与160°终边相同,是第二象限角,故第四象限角有2个.
答案 C
【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合.
解 根据终边相同的角一定是同一象限的角,又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围,再加上360°的整数倍即可.
所以表示为:
第一象限角的集合:
S={β|β=k·360°+α,0°<α<90°,k∈Z},或S={β|k·360°<β<k·360°+90°,k∈Z}.
第二象限角的集合:
S={β|β=k·360°+α,90°<α<180°,k∈Z},或S={β|k·360°+90°<β<k·360°+180°,k∈Z}.
【探究3】 已知α为第二象限角,那么2α,
分别是第几象限角?
解 ∵α是第二象限角,
∴90+k×360°<α<180°+k×360°,
180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°,k∈Z.
∴2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角.
同理45°+
×360°<
<90°+
×360°,k∈Z.
当k为偶数时,不妨令k=2n,n∈Z,则45°+n×360°<
<90°+n×360°,此时,
为第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,则225°+n×360°<
<270°+n×360°,此时,
为第三象限角.
∴
为第一或第三象限角.
【探究4】 已知α为第一象限角,求180°-
是第几象限角.
解 ∵α为第一象限角,
∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,
∴k·180°<
<k·180°+45°,k∈Z,
∴-45°-k·180°<-
<-k·180°,k∈Z,
∴135°-k·180°<180°-
<180°-k·180°,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,135°-n·360°<180°-
<180°-n·360°,为第二象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,-45°-n·360°<180°-
<-n·360°,为第四象限角.
∴180°-
是第二或第四象限角.
规律方法 1.象限角的判定方法
(1)根据图像判定.利用图像实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°~360°范围内,在直角坐标平面内,0°~360°范围内没有两个角终边是相同的.
2.α,2α,
等角的终边位置的确定方法
不等式法:
(1)利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围.
(2)利用不等式的性质,求出2α,
等角的范围.
(3)利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k×120°<
<k×120°+30°,k∈Z,可画出0°<
<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).
易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.
课堂达标
1.-361°的终边落在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为-361°的终边和-1°的终边相同,所以它的终边落在第四象限,故选D.
答案 D
2.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是( )
A.A=BB.B=C
C.A=CD.A=D
解析 直接根据角的分类进行求解,容易得到答案.
答案 D
3.将-885°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是________________.
答案 195°+(-3)×360°
4.与-1692°终边相同的最大负角是________.
解析 ∵-1692°=-5×360°+108°,
∴与108°终边相同的最大负角为-252°.
答案 -252°
5.如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.
解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°+30°≤α ②{α|k·360°+210°≤α ∴角α的集合应当是集合①与②的并集: {α|k·360°+30°≤α ∪{α|k·360°+210°≤α ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z} ∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|n·180°+30°≤α 课堂小结 1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”. 2.区域角的表示形式并不唯一,如第二象限角的集合,可以表示为{α|90°+k×360°<α<180°+k×360°,k∈Z},也可以表示为{α|-270°+k×360°<α< -180°+k×360°,k∈Z}. 基础过关 1.下列各组角中,终边相同的是( ) A.495°和-495°B.1350°和90° C.-220°和140°D.540°和-810° 解析 -220°=-360°+140°,∴-220°与140°终边相同. 答案 C 2.设A={小于90°的角},B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有( ) A.BCAB.BAC C.D(A∩C)D.C∩D=B 解析 锐角、0°~90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围,如下表所示. 角 集合表示 锐角 B={α|0°<α<90°} 0°~90°的角 D={α|0°≤α<90°} 小于90°的角 A={α|α<90°} 第一象限角 C={α|k·360°<α 答案 D 3.若α是第四象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析 可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 答案 C 4.已知角α=-3000°,则与角α终边相同的最小正角是______. 解析 ∵-3000°=-9×360°+240°, ∴与-3000°角终边相同的最小正角为240°. 答案 240° 5.在-180°~360°范围内,与2000°角终边相同的角是______. 解析 因为2000°=200°+5×360°,2000°=-160°+6×360°,所以在-180°~360°范围内与2000°角终边相同的角有-160°,200°两个. 答案 -160°,200° 6.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)-150°; (2)650°;(3)-950°15′. 解 (1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与 -950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角. 7.写出与25°角终边相同的角的集合,并求出该集合中满足不等式-1080°≤β<-360°的角β. 解 与25°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}. 令k=-3,则有β=-3×360°+25°=-1055°,符合条件; 令k=-2,则有β=-2×360°+25°=-695°,符合条件; 令k=-1,则有β=-1×360°+25°=-335°,不符合条件. 故符合条件的角有-1055°,-695°. 能力提升 8.以下命题正确的是( ) A.第二象限角比第一象限角大 B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则AB C.若k·360°<α D.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z) 解析 A不正确,如-210°<30°. 在B中,当k=2n,k∈Z时,β=n·180°,n∈Z. ∴AB,∴B正确. 又C中,α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上, ∴C不正确.显然D不正确. 答案 B 9.集合M= ,P= ,则M、P之间的关系为( ) A.M=PB.MP C.MPD.M∩P=∅ 解析 对集合M来说,x=(2k±1)·45°,即45°的奇数倍;对集合P来说,x=(k±2)·45°,即45°的倍数. 答案 B 10.已知角α、β的终边相同,那么α-β的终边在________. 解析 ∵α、β终边相同, ∴α=k·360°+β(k∈Z). ∴α-β=k·360°,故α-β终边会落在x轴非负半轴上. 答案 x轴的非负半轴上 11.若α为第一象限角,则k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限. 解析 ∵α是第一象限角,∴k为偶数时,k·180°+α终边在第一象限;k为奇数时,k·180°+α终边在第三象限. 答案 一或三 12.求终边在直线y=x上的角的集合S. 解 因为直线y=x是第一、三象限的角平分线,在0°~360°之间所对应的两个角分别是45°和225°,所以S={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}={α|α=2k·180°+45°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+45°,k∈Z}={α|α=n·180°+45°,n∈Z}. 13.(选做题)已知角α、β的终边有下列关系,分别求α、β间的关系式: (1)α、β的终边关于原点对称; (2)α、β的终边关于y轴对称. 解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线,故α、β相差180°的奇数倍(如图1),于是α-β=(2k-1)·180°(k∈Z). (2)在0°~360°内,设α的终边所表示的角为90°-θ,由于α、β关于y轴对称(如图2),则β的终边所表示的角为90°+θ.于是α=90°-θ+k1·360°(k1∈Z),β=90°+θ+k2·360°(k2∈Z). 两式相加得α+β=(2k+1)·180°(k∈Z).
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