大学物理第七章习题与答案.docx

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大学物理第七章习题与答案

自治区精品课程—大学物理学题库

第七章振动学基础

一、填空

1．简谐振动的运动学方程是。

简谐振动系统的机械能

是。

2．简谐振动的角频率由决定，而振幅和初相位由决定。

3.达到稳定时，受迫振动的频率等于，发生共振的条

件。

-2㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按0.1cos（82）

4．质量为10xt的规律

3

做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，则振动周期为初相位速

度最大值。

5．物体的简谐运动的方程为xAsin（t），则其周期为，初相位

6．一质点同时参与同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为

x10.1cos（t），x20.1cos（t），其合振动的振幅为，初相位

44

为。

7．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为

5

x10.06cos（t），x20.05cos（t），其合振动的振幅为，初相

44

位为。

8．相互垂直的同频率简谐振动，当两分振动相位差为0或时，质点的轨迹是

当相位差为或

2

3

2

时，质点轨迹是。

二、简答

1．简述弹簧振子模型的理想化条件。

2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。

3．用矢量图示法表示振动x0.02cos（10t）,（各量均采用国际单位）.

6

-1-

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三、计算题

-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按X=0.1cos（8t+2/3）

4.质量为10×10

的规律做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，试求：

（1）振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值；

（2）最大恢复力，振动能量；

（3）t=1s，2s，5s，10s等时刻的相位是多少？

（4）画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s，2s，5s，10s等时刻矢量的位

置。

5.一个沿着X轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用

余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为：

（1）X0=-A；

（2）过平衡位置向正向运动；

（3）过X=A/2处向负向运动；

（4）过X=

A

2

处向正向运动。

试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。

-1，振幅为0.02m，若令速度具7.3做简谐振动的小球速度的最大值为0.03m·s

有正最大值的时刻为t=0，试求：

（1）振动周期；

（2）加速度的最大值；

（3）振动的表达式。

-2-

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6.有一系统做简谐振动，周期为T，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能

和势能相等？

7.一轻弹簧下挂一质量为0.1㎏的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m，如果

把砝码向下拉0.02m释放，求其振动频率，振幅和能量。

8.如图所示，两轻弹簧与物体m串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。

试

证，在这种情况下，振动频率为

f

1

2

KK

12

m

，式中k1，k2为两弹簧的劲

度

系数，m为物体的质量。

9.已知两个同方向简谐振动：

X1=0.05cos（10t+3/5），X2=0.06cos（10t+1/5），

式中x以m计，t以s计。

求合振动的振动和初相位；

另有一同方向简谐振动x3=0.07co（s10t+），问为何值时，x1+x3的振幅最小？

为何值时，x2+x3的振幅最小？

用旋转矢量法表示

（1）和

（2）的结果。

-3-

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第七章振动学基础答案

一、填空

1．xAcost，

11

222

EkA或mA2．系统自身的性质，初始条件

22

23．强迫力的频率，强迫力的频率等于系统的固有频率4．0.25s,,0.8（m/s）

32

5．,6．0.14，07．0.01，8．直线，正椭圆

24

二、简答

1．简述弹簧振子模型的理想化条件。

弹簧为轻弹簧，其质量可忽略。

物体可视为质点，所受阻力忽略不计。

2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。

振动系统在线性回复力作用下，在平衡位置附近做的周期性的振动，称为简谐振

动。

系统在阻力作用下作振幅不断减小的振动叫阻尼振动。

系统在周期性外力作用下

所做的振动叫受迫振动。

3．用矢量图示法表示振动x0.02cos（10t）,（各量均采用国际单位）.

6

三、计算

-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按7.1质量为10×10

X=0.1cos（8t+2/3）的规律做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，试求：

（1）振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值；

（2）最大恢复力，振动能量；

（3）T=1s，2s，5s，10s等时刻的相位是多少？

（4）画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s，2s，5s，10s等时刻矢量的位置。

解：

（1）将小球的振动方向与简谐振动的方程比较：

-4-

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X=Acos（t+）x=0.1cos（8t+

圆周率：

8；

2

3

）

周期：

T=

2

=

1

4

s；

2

初相位：

=

3

速度：

v=

dx

dt

=-Asin（t+）=-0.1×8sin（8t+

2

3

）

Vmax=0.1×8=2.5m/s

加速度：

a=

dv

dt

=-

2Acos（t+）=—（8）2×0.1cos（8t+

2

3

）

amax=0.1（8）

2=6.42=63.1m/s2

（2）最大恢复力：

-3×63.1N=0.631N

F=mamax=10×10

振动能量：

E=EK+EP=

1

2

KA

2=0.032J

（3）t=1s8

2

3

=t+=8×1+

2

3

=8

2

3

t=2s时16

2

3

=8×2+

2

3

=16

2

3

t=3s时40

2=8×5+

3

2=40

3

2

3

t=3s时80

2

3

=8×10+

2

3

=80

2

3

（4）当t=1s时=8

2

3

，矢量的位置和t=0时重合。

当t=2s时=16

2

3

，矢量的位置和t=0时重合。

当t=5s时=40

2

3

，矢量的位置和t=0时重合。

当t=10s时=80

2

3

，矢量的位置和t=0时重合。

10.一个沿着X轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用

余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为：

（1）X0=-A；

（2）过平衡位置向正向运动；

（3）过X=A/2处向负向运动；

-5-

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（4）过X=

A

2

处向正向运动。

试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。

解：

x=Acos（t+）=

2

T

X==Acos（

2

T

t+）

（1）当x0=-A时，t=0时，cos=-1=

振动方程x=Acos（

2

T

t+）

（2）过平衡位置正向运动

已知：

t=0，x=0，v>0

X=Acos（

2

T

t+）=0t=0=

2

V=-A

2

T

sin（

2

T

t+）>0=-

2

振动方程：

x=Acos（

2

T

t-

2

）

（3）过x=

A

2

处向负向运动

已知t=0，x=

A

2

，v<0

由X=Acos（

2

T

t+）=0当t=0，x=

A

2

=

3

V=-A

2

T

sin（

2

T

t+）<0=

3

振动方程：

x=Acos（

2

T

t+

3

）

（4）过x=

A

2

处向正向运动

x=Acos（

2

T

t+）

当t=时，x=

A

2

且v>0

振动方程：

x=Acos（

2

T

t-

4

）

-1，振幅为0.02m，若令速度具7.3做简谐振动的小球速度的最大值为0.03m·s

-6-

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有正最大值的时刻为t=0，试求：

（1）振动周期；

4

3

-2

（2）加速度的最大值；0.045m·s

（3）振动的表达式。

3

2

rad/s

解：

Vmax=A=0.03m/s

-1，A=0.02m

=

3

2

rad/s

（1）T=

2

=

4

3

（2）amax=A

2=0.02×（

3

2

2=0.045m·s-2

）

（3）x=Acos（t+）

T=0时。

X=0，v>0

当t=0时，x=0则=，v=-Asin（t+）>0

2

则=-

2

振动表达式为：

x=0.02cos（

3

2

t-

2

）

11.有一系统做简谐振动，周期为T，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能

和势能相等？

解：

初相位为0，其振动表达式可以表示为：

X=Acost=Acos（

2

T

t）

动能等于势能，即

X=Acost

V=-A

2

T

sin（

2

T

t）

1

2

mA

22cos2t=

1

2

2

mA（

2

T

2cos（

）

2

T

t）

1

2

2（

mA

2

T

2cos2（

）

2

T

t）=

1

2

2（

mA

2

T

）sin2（

2（

2

T

）

2

cos（

2

T

2

t）=sin

（

2

T

）

又cos2（

2（

2

T

2（

t）+sin

2

T

）=1

-7-

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2

cos

（

2

T

t）=

1

2

2

t（k）（k0,1,2）

T4

k1

t（）T（k0,1,2）

28

12.一轻弹簧下挂一质量为0.1㎏的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m，如果

把砝码向下拉0.02m释放，求其振动频率，振幅和能量。

解：

mg=kx0.1×9.8=0.05kk=19.6N/m

2=

m

k

=14rad/s

振动频率：

f==2.2（Hz）

2

振幅：

A=0.02m

能量：

以平衡位置为零势面，系统总能量在砝码处于位移最大处的弹性势能

E=

1

2

kA

2=0.0392J

13.如图所示，两轻弹簧与物体m串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。

试

证，在这种情况下，振动频率为

f=

1

2

K1K2

m

，式中k1，k2为两弹簧的劲度

系数，m为物体的质量。

证明：

以物体m为隔离体,水平方向受

k,k的弹性力F1,F2,以平衡位置为原点建

12

立坐标系Ox，水平向右为x轴正方向。

设m处于O点对两弹簧的伸长量为0，

即两个弹簧都处于原长状态。

m发生一小位移x之后，弹簧

k的伸长量为x，弹

1

簧k2被压缩长也为x。

故物体受力为：

Fkxkx=（kk）x（线性恢复力）

x1212

m相当于受到刚度系数为k=k1k2的单一弹簧的作用

由牛顿第二定律：

2

dx

m（kk）x

212

dt

2

dx

m（kk）x=0

212

dt

-8-

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kk2120

m

f==

2

1

2

k1k2

m

14.已知两个同方向简谐振动：

X1=0.05cos（10t+3/5），X2=0.06cos（10t+1/5），

式中x以m计，t以s计。

求合振动的振动和初相位；

另有一同方向简谐振动x3=0.07co（s10t+），问为何值时，x1+x3的振幅最小？

为何值时，x2+x3的振幅最小？

用旋转矢量法表示

（1）和

（2）的结果。

解：

（1）合振动振幅：

22

A=A1A2A1A2cos（21）

2

代入数据得：

A=8.92×10

-2m

初相位

Tan=

A

1

A

1

sin

cos

1

1

A

2

A

2

sin

cos

2

2

代入数据得：

Tan=2.5

=1.19rad=68.2o

（2）-

5

3

=2k时，即

=2k+

5

3

时，x1+x3的振幅最大。

-1

5

=（2k+1）时，即

=2k+

6

5

时，x1+x3的振幅最小。

-9-