初中数学压轴题汇总与解答方法.docx
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初中数学压轴题汇总与解答方法
初中数学压轴题汇总与解答
一、函数与几何综合的压轴题
1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足
分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:
A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证:
E点在y轴上;
(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.
(3)如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
图①
[解]
(1)(本小题介绍二种方法,供参考)方法一:
过E作EO′⊥x轴,垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴EODO,EOBO
ABDBCDDB
又∵DO′B+O′D=B
EOEO
∴1
ABDC
∵AB=6,DC=3,∴EO′=2
∴DO′D=O,即O′与O重合,E在y轴上
方法二:
由D(1,0),A(-2,-6),得DA直线方程:
y=2x-2①再由B(-2,0),C(1,-3),得BC直线方程:
y=-x-2②联立①②得x0
y2
∴E点坐标(0,-2),即E点在y轴上
(2)设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0过)A(-2,-6),C(1,-3)
4a2bc6
E(0,-2)三点,得方程组abc3
c2
解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2
(3)(本小题给出三种方法,供参考)
由
(1)当DC水平向右平移k后,过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
EFEF
同
(1)可得:
1得:
E′F=2
ABDC
方法一:
又∵E′F∥ABEFDF,∴DF1DB
ABDB3
1112
S△AE′C=S△ADC-S△E′DC=DCDBDCDFDCDB
2223
1
=DCDB=DB=3+k
3
S=3+k为所求函数解析式方法二:
∵BA∥DC,∴S△BCA=S△BDA11
∴S△AE′C=S△BDE′BDEF3k23k22
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三:
S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′D=C∶AB=1∶2同理:
S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC∶AB=1∶4
221
∴SAEC9S梯形ABCD92ABCDBD3k
∴S=3+k为所求函数解析式.
2.(2004广东茂名)已知:
如图,在直线坐标系中,以点M(1,0)为圆心、直
径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.
(1)求点A的坐标;
(2)设过点A的直线y=x+b与x轴交于点B.探究:
直线AB是否⊙M的切线?
并对你的结论加以证明;
Sh(3)连接BC,记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2,若1,抛物线12S24
y=ax2+bx+c经过B、M两点,且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.
[解]
(1)解:
由已知AM=2,OM=1,在Rt△AOM中,AO=AM2OM21,
∴点A的坐标为A(0,1)
(2)证:
∵直线y=x+b过点A(0,1)∴1=0+b即b=1∴y=x+1
令y=0则x=-1∴B(—1,0),
AB=BO2AO212122
在△ABM中,AB=2,AM=2,BM=2
AB2AM2
(2)2
(2)24BM2
∴△ABM是直角三角形,∠BAM=90°
∴直线AB是⊙M的切线
(3)解法一:
由⑵得∠BAC=90°,AB=2,AC=22,
∴BC=AB2AC2
(2)2(22)210
BC,
∵∠BAC=90°∴△ABC的外接圆的直径为
设经过点B(—1,0)、M(1,0)的抛物线的解析式为:
2y=a(+1)(x-1),(a≠0)即y=ax2-a,∴-a=±5,∴a=±5∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5
解法二:
(接上)求得∴h=5由已知所求抛物线经过点B(—1,0)、M(1、0),则抛物
线的对称轴是y轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,±5)
∴抛物线的解析式为y=a(x-0)2±5
又B(-1,0)、M(1,0)在抛物线上,∴a±5=0,a=±5∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5
解法三:
(接上)求得∴h=5
因为抛物线的方程为y=ax2+bx+c(a≠0)
abc0a=-5a5
由已知得abc0 解得b0 或 b0
4acb2c5c5
5
4a
∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5.
3.(2004湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P(1,-1)为圆心,2为半径作圆,交
2
x轴于A、B两点,抛物线
yaxbxc(a0)过点A、B,且顶点C在⊙P上.
(1)求⊙P上劣弧AB的长;
(2)求抛物线的解析式;
y
A
B
O
P(1,-
1)x
D,使线段OC与PD互相平分?
若存在,求出点D的坐标;
(3)在抛物线上是否存在一点
若不存在,请说明理由.
[解]
(1)如图,连结PB,过P作PM⊥x轴,垂足为M.
在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,∴∠MPB=60°,∴∠APB=120
⌒120
AB的长=
180
(2)在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,则MB=MA=3.
又OM=1,∴A(1-3,0),B(1+3,0),由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上,
则C(1,-3).
点A、B、C在抛物线上,则
0a(13)2b(13)c
0a(13)2b(13)c
3abc
a1
解之得b2c2
2
抛物线解析式为yx22x2
(3)假设存在点D,使OC与PD互相平分,则四边形OPCD为平行四边形,且PC∥OD.
又PC∥y轴,∴点D在y轴上,∴OD=2,即D(0,-2).
又点D(0,-2)在抛物线yx22x2上,故存在点D(0,-2),使线段OC与PD互相平分.
4.(2004湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,Rt△ABC的直角顶点C(0,3)在y轴的正半轴上,A、B是x轴上是两点,且OA∶OB=3∶1,以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E,交BC于点F.直线EF交OC于点Q.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)请猜想:
直线EF与两圆有怎样的位置关系?
并证明你的猜想.
(3)在△AOC中,设点M是AC边上的一个动点,过M作MN∥AB交OC于点N.试问:
在x轴上是否存在点P,使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角
三角形?
若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.y
[解]
(1)在Rt△ABC中,OC⊥AB,∴△AOC≌△COB.
∴OC2=OA·OB.∵OA∶OB=3∶1,C(0,3),
∴(3)23OBOB.
∴OB=1.∴OA=3.
∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为yax2bxc.
9a3bc0,则abc0,解之,得
c3.
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y3x223x3
33
(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明:
连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°,∴四边形EOFC为矩形.
∴QE=QO.
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°,
∴EF与⊙O1相切.
同理:
EF理⊙O2相切.
(3)作MP⊥OA于P,设MN=a,由题意可得MP=MN=a.∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
MN
AO
CN
CO
∴a3a
33
解之,得此时,四边形OPMN是正方形
∴MNOP333.
2
0).
∴P(
考虑到四边形PMNO此时为正方形,
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形
故x轴上存在点P使得△PMN是一个以
MN为一直角边的等腰直角三角形且
P(
0)或P(0,0).
5.(2004湖北宜昌)如图,已知点
1523
A(0,1)、C(4,3)、E(,),P是以AC为
48
对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点,点D在y轴,抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点.
(1)说明点A、C、E在一条条直线上;
(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?
请说明理由;
(3)设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),△GAO与△FAO的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点.这时能确定a、b的值
吗?
若能,请求出a、b的值;若不能,请确定a、b的取值范围.
(本题图形仅供分析参考用)
[解]
(1)由题意,A(0,1)、C(4,3)确定的解析式为:
y=
将点E的坐标E(15,23)代入y=1x+1中,左边=
482
右边=1×15+1=23,
248
C、
E
1
∵左边=右边,∴点E在直线y=21x+1上,即点A、
在一条直线上.
(2)解法一:
由于动点P在矩形ABCD内部,∴点
而点A与点P都在抛物线上,且P为顶点,∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下
P的纵坐标大于点A的纵坐标,
解法二:
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为
4a—b,且P在矩形ABCD内
4a
22
部,∴1<4a—b<3,由1<1—b得4a
4a
b>0,
4a
∴a<0,∴抛物线的开口向下
3)连接GA、FA,∵S△GAO—S△FAO=3
∴1GO
2
AO—1FO·AO=3∵OA=1,
2
∴抛物线解析式为:
y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为(3,1—9a),∵顶点P在矩形ABCD内部,
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