长方体和正方体统一的体积公式.docx
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长方体和正方体统一的体积公式
长方体和正方体统一的体积公式
[教学目标]
1.使学生理解和掌握长方体和正方体体积的统一计算公式。
2.培养学生的观察能力、类推能力和应用所学知识解决简单实际问题的能力,发展空间观念。
3.培养学生认真审题、认真计算的良好学习习惯。
[教学过程]
本节课共分四个环节进行。
1.复习旧知。
教师谈话:
我们学习了长方体和正方体体积的计算公式,谁能说一说。
学生回答后,教师继续说:
下面做几个练习。
(1)一个长方体长6分米、宽5分米、高3分米。
求它的体积。
(2)一个正方体棱长是3分米,求它的表面积和体积。
[订正:
(1)6x5x3=90(立方分米)
(2)3x3x6=54(平方厘米)33=3x3x3=27(立方分米)]
(3)判断。
(用手势表示)
123和2x3相等。
()1订正:
x)
243=4+4+4()[订正:
x]
353=125()[订正:
V]
4一个正方体的棱长是6厘米,它的表面积和体积一样大。
[订正:
□
5一个长方体的长是3厘米,宽是2厘米,高是5厘米,体积是
30平方厘米。
[订正:
X]
(4)看图列式计算。
(口答)
(单位:
分米)
底面面积是()底面面积是()
体积是()体积是()
[订正:
5x4=20(平方分米)5x4x3=60(立方分米);
5x5=25(平方分米)5x5x5=125(立方分米)]
2.观察探索。
教师谈话:
刚才我们复习了长方体和正方体体积的计算。
计算长方体和正方体的体积,还有没有其它的方法呢?
现在我们一起研究好吗?
教师引导学生观察第(4)题每道题的两个算式,问:
发现了什么?
(求长方体体积时是5x4x3,5x4等于底面面积;求正方体体积时是5x5x5,5x5等于正方体的底面的面积。
)
教师继续说:
长方体和正方体底面的面积也叫他们的底面积,那么,长方体和正方体的体积还可以怎样计算呢?
让学生讨论,引导学生说出:
长方体的体积二底面积x高,正方体体积=底面积X棱长。
这时,教师可拿出长方体框架让学生指出底面积在什么位置;再拿出正方体框架让学生指出底面积的位置,并告诉学生任一条棱都可以看作是正方体的高。
教师提问:
谁能说说长方体和正方体体积的计算公式,统一成一个可以怎样表示。
学生回答后,教师板书:
长方体(或正方体)的体积=底面积X高
如果用S表示底面积,上面的公式可以写成
V=Sh
3.反馈练习。
(1)基本练习。
(全班动笔练习)
1一个长方体的底面积是56平方厘米,高是8厘米。
求它的体积。
[订正:
56x8=448(立方厘米)]
2一根长方体木料,长5米,横截面的面积是0.06平方米。
这根木料的体积是多少立方米?
先让学生看图,明确横截面指的就是它的底面,再计算。
[订正:
0・06x5=0・3(立方米)]
3一个正方体的底面积是16平方分米,高4分米,求它的体积。
[订正:
16x4=64(立方分米)]
(2)综合练习。
(全班动笔)
1一根长方体木料,它的横截面的面积是0.15平方米,长7米。
7根这样的木料体积一共是多少?
[订正:
0,15x7x7=7.35(立方米)]
2红旗小学修一个长60米、宽40米的长方形操场。
先铺10厘米厚的三合土,再铺4厘米厚的煤渣,需要三合土、煤渣各多少立方米?
解题前先引导学生弄清需要三合土、煤渣各多少立方米,就是分别求长60米、宽40米、高10厘米和长60米、宽40米、高4厘米的两个长方体的体积。
操场的浙积就是底面积,铺土的厚度就是高。
注意先统一单位。
[订正:
10厘米=0.1米,4厘米=0.04米,60x40x0.1=240
(立方米),60x40x0.04=96(立方米)]
3一个放有水的长方体水缸,底面积是6平方分米。
放入一个铁块后水面上升了1分米,这个铁块的体积是多少立方分米?
[订正:
6x1=6(立方分米)]
(3)灵活练习。
1学校运来7.6立方米的沙土,把这些沙土铺在一个长5米、宽3.8米的沙坑里,可以铺多厚?
(用方程解)
解答前可先让学生互相说说怎样理解题意(这道题是已知长方体的体积和长、宽,求高是多少。
用方程解时,可用长方体体积公式作为关系式列方程。
[订正:
解:
设可以铺x米厚。
(5x3.8)x=7.6x=0.4o]
2把一块棱长为4分米的正方体钢坯铸造成一个长4分米,宽2分米的长方体钢材。
求这个长方体钢材的高是多少分米?
(损耗不计)
(用方程解)
[订正:
解:
设长方体的高是X分米。
(4x2)x=43x=8]
完成以上练习时,教师要注意对学习有困难的学生的辅导,订正时,根据学生的问题及时解决。
(4)思考题。
(供学有余力的学生练习)
下面的长方体都是由棱长1厘米的小正方体摆成的。
算出它们的体积。
[订正:
3x4x3=36(立方厘米)4x3x4=48(立方厘米)]
4.课堂小结。
(1)先指导学生看书,质疑,解疑。
(2)师生共同总结本节课的学习内容及学习的收获。
1.让学生经历长方体和正方体的统一体积计算公式的推导过程,进一步认识两种几何体的基本特征及它们之间的关系.
2.使学生会应用长方体、正方休体积的统一计算公式解决一些简廉的实际问题.
3.让学生知道我国古代数学家在两千多年的就掌握了长方体体积的计算方法,增强学生的民據自豪感和勇超先贤的信心和决心.
教只准备
教师自制课件若干个.
教学过程
一、以史料引入新课
1.古代数学家求长方体体积的方法.
课件展示:
西汉末年我国古代数学家编撰了一本不朽的传世名苦《九章算术》.这本书共九章,其中一章叫商功章,它收集的都是一些有关休积计算的问题.书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的:
“方自乘,以高乘之即积尺.”就是说,先用边长乘边长得底面积,再乘高就得到长方体的体积.
2.提出探宪性问题.
(1)看完这段叙述,你想到什么?
(2)这段文字中描述的长方体有什么特征?
底面积指的是哪一个面的面积?
(3)古代数学家是怎样计算长方体体积的?
它与我们今天掌握的计算方法相同吗?
为什么?
(4)怎样将这个长方体变成一个最大的正方体?
它的体积怎样计算?
二、推导长方体和正方体统一的体积公式
1.长方体休积的另一种计算方法
让每个学生先独立思考上面4个问题,然后讨论(或同桌或小组)最后全班讨论、交流、总结出长方体体积的另一种计算方法.
(1)第
(1)个问题是开放的,学生的回答会是多角度的.如,有的会从数学本身的角度出发,想到长方体的体积计算方法;有的会感受到数学是一种悠久的文化;有的会仰慕祖先的睿智,从而激发自己努力寻探数学宝库的信心等等.
(2)弄清“底面”、“底面积”的含义.
当学生知道图中长方体的特征之一是有两个相对的面是正方形后,让他们指出图中哪一个面是底面,说说这个底面积怎样求.学生回答后,课件将这个底面涂上颜色.并标上底面积的计算方法:
底面积=长乂宽=边长X边长.
告诉学生,一个长方体的6个面中,任何一个面都可以做底面,不一定要以水平放置的面做底面.应根据问题中的需要来决定,哪一个面利于问题的解决,就确定那个面为底面.
(3)推出长方体体积的另一种计算方法.
提问:
“你们掌握的长方体体积计算公式是什么?
”学生回答后板书:
长方体体积=长><宽X髙
再问:
“古代数学家是怎样计算长方体体积的?
”学生回答后在上面计算公式的下方对着写:
长方
体体积=底面积X高.
引导学生对照两个公式,找出它们的异同点及之间的联系.让学生认识到古人和今人计算长方体体积的方法是一致的,两个公式可以写成如下形式,
长方体体积=长X宽X高
4
=底面积x高
2.推出正方体体积的另一种计算方法.
(1)课件展示学生讨论前面第(4)个探究性问题的答案:
将长方体的高减少到和底面边长相等时,这个长方体就变成了一个最大的正方体.
(2)让学生说出这个正方体的底面(课件随即涂上颜色),然后推出这个正方体体积的另一种计算方法:
正方体体积=棱长X棱长X竝
4I
=底面积x高
3.归纳出长方体和正方体统一的体积公式,并用字母表示出来.
教师指着长方体、正方体体积计算公式提问:
“这两个公式能统一起来吗?
”学生回答后,教师写上长方体、正方体体积计算的统一公式,并用字母表示出来.
长方体(或正方体)的体积=底面积X高
V=Sh
三、应用统一的体积计算公式解决实际问题
1.基本练习
(1)做书上“做一做”第1题.学生独立作业,对正时用课件显示答案.提醒学生正确书写体积单位“立方厘米”•
(2)“做一做”笫2题.
C1)课件展示:
什么叫“横截面”?
用一个平行于底面的平面去截一个长方体,所得的截面叫横截面,这个横截面的形状大小与底面是相同的.
(2)学生在理解了什么是“横截面”后,让其独立完成第2题.
2・综合练习
(1)做练习七的第10题.这題要求学生综合应用长方体体积的计算方法和乘法的意义来解答.作业时,提醒学生先认真审题,明白已知和要求的问题之间的关系后再解答.对正时,让学生说一说分析的过程.
(2)做练习七的第11题.
课件展示题意:
一个长方形的操场一在上面铺上10厘米厚的三合土形成一个扁扁的长方体情境—再铺上4血米厚的煤渣形成一个更薄一些的长方体的情境.
课件展示后让学生独立作业.对于学有困难的学生,应引导他们思考:
“10厘米”就是三合土形成的长方体中的哪一条棱长?
“4厘米”呢?
计算时,注意将题中的长度单位统一后再计算.
3.提高练习:
做练习七的第13题.
让学有余力的学生完成.启示学生应从图中设法找出长、宽、高的厘米数.培养学生的空间观念.
4.布贸作业:
练习七的第8.9、12题.
板书设计
长方休体积=长><宽X商
正方休体积=棱长X棱长X棱长
=底面积X商
1
fW]
1
I
=底面枳X
长方体(或正方体)的体枳=底面积X高
V=Sh
★教学设计说明*
本节课教学之前,学生已经掌握了长方体体积的计算公式V=abh和正方体体积的计算公式V=a3,为了沟通这两个公式之间的联系,减轻学生记忆的负担,培养学生的抽彖概括能力,为以后学习柱体体积计算公式打下基础,本节课学习长方体和正方体统一的体积公式.
本节课的设计突出以下几个特点:
(1)以中华民族的灿烂数学成果引入新课.本节课根据所学知识内容将教材中的“你知道吗”制成课件,略拓宽一些知识面,使学生知道两千多年加,我国古代数学家就明白怎么计算长方体体积了.激发学生学好数学知识的情感.
(2)组织学生围绕本节裸内容积极开展探究活动.本节课在引入新课阶段根据史料提供的史实和学生的知识基础提出了4个开放型.探究型的问题.让学生的活动围绕着这4个问题逐一展开.这4个问题为学生思考、交流并推出长方体、正方体的体积计算统一公式起了一个导航的作用.它加深了学生对长方体、正方体特征及之间的关系的认识(如第2、4个问题),滲透了几何变换的思想方法(如第4个问题)、让学生感受我国数学的源远流长(如第1、3个问題).
(3)应用对比的方法引导学生推出长方体和正方体统一的体积公式.本节课的对比活动主要有两次:
一次是让学生将自己所掌握的知识V=abh与古代数学家总结出来的知识V=Sh进行对比.在对比中得出长方体体积的另一种算法.二次是将已掌握的正方体体积的计算公式V=a3与长方体体积的计算公式》=5山进行对比,让学生在调猿中概括出长方体和正方体统一的体积公式.这两次对比,使学生对原有的计算长方体和正方体体积的知识进行了重组,使他们对柱体体积计算方法有了一个基本的认识,为日后学习各种柱体体积计算奠定了基础.
(4)应用现代信息技术手段突破教学中的难点.立体几何知识一直足学生学习的一个难点,从小学到高中都是如此.学习立体几何知识难就难在空间观念的建立.本节课中充分应用所制的课件,使学生在动态中宜观认识什么是“底面”.“横截面”.“一个长方体如何变成一个正方体”・因此,本课中的难点在现代信息手段中也就变得通俗易僮了・
课题:
长方体和正方体的体积
前门小学王福军
教学内容:
人教版小学数学第十册“长方体和正方体的体积”O
教学目标:
1.使学生初步理解长方体、正方体的体积公式推导的过程;
2.掌握长方体、正方体的体积公式,能够正确计算长方体、正方体的体积,并解决实际问题;
3.通过引导学生操作、观察、分析,使学生在主动参与学习活动的过程中发现数学规律,掌握数学知识,使思维能力和空间观念都得到发展。
教学重点:
使学生初步理解长方体、正方体的体积公式推导的过程;
掌握长方体、正方体的体积公式,能够正确计算长方体、正方体的体积,并解决实际问题。
教学难点:
长方体体积计算公式推导的理解。
教学准备:
教师准备:
多媒体演示课件;正方体包装盒;尺子。
学生准备:
2人一组,每组准备30个小立方厘米的小正方体、长方体、正方体实物各一个;尺子。
教学过程:
环节教师活动学生活动设计
意图
-)以旧引新,创设情境。
二)探索新知:
三)课堂
小结。
四)反馈练习
作业建议:
1-引导学生复习:
这两天你们都学了什么知识?
(同时演示课件)
垫伏:
使学生认
识底面。
2。
岀示联系题目:
课本第36页
第3题。
下面的图形都是用棱长一厘米的小正方体拼成的,说出它们的体积各是多少立方厘米。
引导学生观察思考,每一个物体的体积,并说说是怎样想的。
3.以故事引趣:
小明有一块新橡皮,不知道它的体积,学习了这种方法后,于是拿着小刀切,切成棱长1厘米的正方体的小方块设疑:
这种方法可行吗?
教师继续引欲:
从探索科学的角度,这种方法可以求出橡皮的体积,可是橡皮就不能用了。
而且生活中有许多物体,如电冰箱、书本等都是切不开或不能切的,那么怎样才能知道他们的体积?
老师设疑:
长、宽、高,表示线段长度,为什么乘起来就是体积,到底体积与长、宽、高有什么关系?
这就是我们研究的课题。
出示课题:
长方体和正方体的体积
1.长方体的体积。
1)我们一起通过实验研究。
岀示小组活动方案:
(教师给每个组准备30个1立方厘米的体积单位)
每2人一组,从事先准备好的小正方体中取出任意块,拼摆成一个长方体,并记录下数据,填入表格内
每排的个数每层的排数层数所含体积单位的数量
2)结合课件来演示汇报。
适时提问:
你们怎么知道它所含体积单位的数量?
问:
它所含体积单位的个数是多少?
你是怎么得出来的?
问:
这个长方体的长、宽、高各是多少?
体积是多少?
4)设疑:
在计算所含体积单位的数量时,提到两种方法,你发现长方体所含体积单位的数量与长、宽、高有什么关系?
看最后一个图。
观察:
这个长方体的长是多少?
为什么?
摆2排,宽是儿厘米?
高呢?
观察表格:
每排的个数每层的排数层数所含体积单位的数量
32212
43224
52330
52220
问:
每排的个数跟什么有关?
每层的排数?
层数?
继续引导:
每排的个数跟长有什么关系?
每层的排数跟宽有什么关系?
层数?
明确;知道这个
长方体所含体积单位的个数就知道了体积。
5)归纳公式:
问:
长方体的体积怎样计算?
板书公式,并叙述字母公式。
长方体的体积=长乂宽X高
V=abh
6)学习例1
出示例1。
一个长方体,长7厘米,宽4厘米,它的体积是多少?
(随着学生说同时课件演示。
)
板书;7X4X3=84(立方厘米)
7)练习:
一个长方体学生奶外包装盒长6厘米,宽4厘米,高8
厘米,它的体积是多少?
2.正方体的体积。
1)引入:
还有一道题,
你来观察图形,计算体积。
演示课件,长方
体长5厘米,宽3厘米,高3厘米。
2)图形变化:
长4厘米。
3)再变化,长3厘米,现在呢?
4)继续变化成一个棱长是2厘米的正方形。
5)归纳公式。
板书;
正方体的体积=棱长X棱长X棱长
V=a3
学习a的立方的含义和读法。
&3读作冷的立方”,表示三个a相乘。
口答:
43=
33二
6)练习:
第34页“做一做”2。
7)学习例2光明纸盒厂生产一种正方体纸板箱,棱长是5分米。
体积是多少立方分米?
汇报:
5X5X5=125(立方分米)
3.学习长方体和正方体的体积计算统一公式。
1)认识:
计算长方体体积,需要什么条件?
正方体体积,需要什么条件?
2)引导:
长乘宽计算的是什么?
长方体的体积还可以怎样计算?
正方体呢?
总结公式。
E方体或正方体的体积=底面积X高
V=Sh
3)练习:
第35页"做一做”。
1.一个长方体的底面积是56平方厘米,高是8厘米,求它的体积。
2.一根长方体木料,长5米,横截面的面积是0。
06平方米。
这根木料的体积是多少?
1.解决实际问题:
计算你所带来的长方体或正方体的体积。
2.应用公式解答:
把两个棱长3厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的体积是多少。
3.思考题:
课本第37页13题。
完成第36--37贝4--6题
学生交流。
复习已经学习的长方体、正方体的特征,体积和体积单位等知识。
学生的反映:
从不同角度数体积单位个数。
说明:
计量长、正方体的体积,要看它所含体积单位的数量。
学生发表各自的意见。
学生交流,有的同学会说岀长方体体积讣算公式的,给于表扬、鼓励,
学生分组活动:
。
选3—4组汇报。
一个学生说清怎样摆的,另一个学生操作电脑演示。
各组可能有不同的排法,学生可能出现以下悄况:
学生可以说出:
每排个数乘排数等于总个数。
1)
生可能提到:
每排的个数乘以每层的排数乘以层数就等于体积单位个数。
2)
生可以想到:
每排的个数就是长方体的长,每层的排数是长方体的宽,层数是长方体的高,相乘,就是所含体积单位的数量。
学生思考,回答。
要让学生知道:
每排的个数相当于长的厘米数
学生总结。
闭着眼睛想一想:
这个长方体是什么样的?
如果用体积单位来摆,怎么摆?
体积怎样算?
学生笔答。
学生笔答。
指出它的长、宽、高各是多少。
口算出它的体积。
口答变化情况。
观察这个图形,这时
变成了什么图形?
长宽、高怎么样了?
叫做什么?
正方体
体积怎样计算?
观察:
这是什么图形?
棱长是多少?
体积怎样计算?
学生总结。
口答。
全体学生自己解答,计算它的体积,写在本上。
要知道长、宽、高
要知道棱长
学生可以通过课询的垫伏认识到长乘宽计算的是底面积,长方体和正方体的体积,还可以用底面积乘高讣算。
只列式,不计算。
交流:
这节课学习了什么内容?
质疑。
测量计算所需要的数据,计算体积。
交流算法。
通过复习长方体、正方体的认识,体积单位以及山物体所含体积单位的数量得岀它的体积,为学习新课做好铺垫。
讲小明的故事,引发学生讨论,激发学生学习新知识的主观能动性。
先利用学具,让学生去操作摆长方体,然后逐步脱离操作直观,引导学生分析长方体所含体积单位数量与长、宽、高的关系,找到规律,推导出长方体体积的计算公式。
山长方体逐步演变为正方体,从正方体与长方体的联系中,自己找到正方体体积计算方法。
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