黑龙江单招理科数学模拟试题一含答案.docx
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黑龙江单招理科数学模拟试题一含答案
2019年黑龙江单招理科数学模拟试题
(一)【含答案】
一.选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为()
A.1B.﹣1C.D.﹣2
2.集合A={0,1,2,3,4},B={x|(x+2)(x﹣1)≤0},则A∩B=()
A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,1}
3.已知向量=(1,2),=(﹣2,m),若∥,则|2+3|等于()
A.B.C.D.
4.设a1=2,数列{1+an}是以3为公比的等比数列,则a4=()
A.80B.81C.54D.53
5.若某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,
则这个几何体的体积是()
A.2cm2B.cm3C.3cm3D.3cm3
6.执行如图所示的程序框图,若输出i的值是9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数是()
A.4B.8C.12D.16
7.直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于()
A.B.C.2D.
8.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是()
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α∩β=,lm∥α,m∥β,则m∥l
D.若α∩β=m,α∩γ=,nl⊥m,l⊥n,则l⊥α9.高考将至,凭借在五大学科竞赛的卓越表现,我校共有25人获得北大、清华保送及降分
录取优惠政策,具体人数如右下表.若随机从这25人中任选2人做经验交流,在已知恰有
1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下,至少有1人是参加数学竞赛的概率为()
学科
数学
信息
物理
化学
生物
北大
4
2
5
4
1
清华
2
1
0
4
2
A.B.C.D.
10.设F是双曲线﹣=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
的最小值为()
A.5B.5+4C.7D.9
11.已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是()
A.[,]B.[0,]C.[,]D.[1,]
12.设函数f是定义在正整数有序对的集合上,并满足:
1f(x,x)=x;
2f(x,y)=f(y,x);
3(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y);
则f(12,16)+f(16,12)的值是()
A.24B.48C.64D.96
二.填空题:
本大题共4小题;每小题5分,共20分.
13.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣,则实数a的值为.
14.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤)的部分图象如示,则φ的值为.
15.已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角形最小值的正弦值是.
16.若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB(其中A(1,0),B(2,1))只有一个
公共点,且不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)成立,则正实
数p的取值范围为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)求an及Sn;
(Ⅱ)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
18.已知函数
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若,求f(x)的最大值和最小值.
19.国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛.每3人组成一队,每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面,且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”(靶面正方形ABCD如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象).每队有3人“成功”获一等奖,2人“成功”获二等奖,1人“成功”获三等奖,其他情况为鼓励奖(即四等奖)(其中任何两位队员“成功”与否互不影响).(Ⅰ)求某队员投掷一次“成功”的概率;
(Ⅱ)设X为某队获奖等次,求随机变量X的分布列及其期望.
20.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为正方形,延长AB到D,使得AB=BD,平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,A1C1=AA1,∠C1A1A=.
Ⅰ)若E,F分别为C1B1,AC的中点,求证:
EF∥平面ABB1A1;Ⅱ)求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值.
圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于
Ⅰ)若a=,求曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;Ⅱ)若对任意x∈[1,e],f(x)<1恒成立,求实数a的取值范围.
2019年黑龙江单招理科数学模拟试题
(一)
一.选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为()
A.1B.﹣1C.D.﹣2
【考点】A5:
复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求得a值.
【解答】解:
∵=为纯虚数,
∴,解得:
a=1.
故选:
A.
2.集合A={0,1,2,3,4},B={x|(x+2)(x﹣1)≤0},则A∩B=()
A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,1}
【考点】1E:
交集及其运算.
【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:
由B中不等式解得:
﹣2≤x≤1,即B=[﹣2,1],∵A={0,1,2,3,4},
∴A∩B={0,1},
故选:
D.
A.B.C.D.
考点】9R:
平面向量数量积的运算.
分析】根据∥,算出=(﹣2,﹣4),从而得出=(﹣4,﹣8),最后根据向量模的计算公式,可算出的值.
【解答】解:
∵且∥,
∴1×m=2×(﹣2),可得m=﹣4
由此可得,
∴2+3=(﹣4,﹣8),得==4
故选:
B
4.设a1=2,数列{1+an}是以3为公比的等比数列,则a4=()
A.80B.81C.54D.53
【考点】8G:
等比数列的性质;8H:
数列递推式.
【分析】先利用数列{1+an}是以3为公比的等比数列以及a1=2,求出数列{1+an}的通项,再把n=4代入即可求出结论.
【解答】解:
因为数列{1+an}是以3为公比的等比数列,且a1=2所以其首项为1+a1=3.
其通项为:
1+an=(1+a1)×3n﹣1=3n.
当n=4时,1+a4=34=81.
∴a4=80.
故选A.
5.若某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,
则这个几何体的体积是()
A.2cm2B.cm3C.3cm3D.3cm3
【考点】L!
:
由三视图求面积、体积.
【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高,进而得到该几何体的体积.
的四棱锥,
解答】解:
由几何体的三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,高为
故这个几何体的体积是×[(1+2)×2]×=(cm3).故选:
B.
6.执行如图所示的程序框图,若输出i的值是9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数是()
A.4B.8C.12D.16
【考点】EF:
程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,i的值,当S=16,i=9时,不满足
条件,退出循环,输出i的值为9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为:
16
【解答】解:
模拟执行程序框图,可得
i=1
S=0
满足条件,
S=1,
i=3
满足条件,
S=4,
i=5
满足条件,
S=9,
i=7
满足条件,
S=16,
i=9
由题意,此时,不满足条件,退出循环,输出i的值为9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为:
16,
故选:
D.
7.直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于()
A.B.C.2D.
【考点】JE:
直线和圆的方程的应用.
【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD,然后根据垂径定理
得到垂足为弦长的中点D,根据勾股定理求出弦长的一半BD,乘以2即可求出弦长AB.【解答】解:
连接OB,过O作OD⊥AB,根据垂径定理得:
D为AB的中点,
根据(x+2)2+(y﹣2)2=2得到圆心坐标为(﹣2,2),半径为.
圆心O到直线AB的距离OD==,而半径OB=,
则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==,所以AB=2BD=故选D.
8.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是()
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α∩β=,lm∥α,m∥β,则m∥l
D.若α∩β=m,α∩γ=,nl⊥m,l⊥n,则l⊥α
【考点】LP:
空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】根据常见几何体模型举出反例,或者证明结论.
【解答】解:
(A)若m∥α,n∥α,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;
(B)在正方体ABCD﹣A′B′C中′,D′设平面ABCD为平面α,平面CDD′C为′平面β,直线BB′为直线m,直线A′B为直线n,
则m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线A′B与BB′不垂直,故B错误.
(C)设过m的平面γ与α交于a,过m的平面θ与β交于b,
∵m∥α,
m?
γ,
α∩γ=,a
∴m∥a,
同理可得:
m∥
b.
∴a∥b,∵
b?
β,
a?
β,
∴a∥β,
∵α∩β=,l
a?
α,
∴a∥l,
∴l∥m.
故C正确.
(D)在正方体ABCD﹣A′B′C中′,D′设平面ABCD为平面α,平面ABB′A为′平面β,平面CDD′C′为平面γ,
则α∩β=AB,α∩γ=C,DBC⊥AB,BC⊥CD,但BC?
平面ABCD,故D错误.故选:
C.
9.高考将至,凭借在五大学科竞赛的卓越表现,我校共有25人获得北大、清华保送及降分
录取优惠政策,具体人数如右下表.若随机从这25人中任选2人做经验交流,在已知恰有
1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下,至少有1人是参加数学竞赛的概率为()
学科
数学
信息
物理
化学
生物
北大
4
2
5
4
1
清华
2
1
0
4
2
A.B.C.D.
【考点】CB:
古典概型及其概率计算公式.
【分析】先求出恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的种数,再分类求出至少有1人是参加数学竞赛种数,根据概率公式计算即可得到.
【解答】解:
其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人,清华保送生有2+1+0+4+2=9人,
故至少有1人是参加数学竞赛种数为
恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的有C161C91=144种,C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60种,
故至少有1人是参加数学竞赛的概率故选:
A.
P==.
10.设F是双曲线﹣=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
的最小值为()
A.5B.5+4C.7D.9
【考点】KC:
双曲线的简单性质.
【分析】根据A点在双曲线的两支之间,根据双曲线的定义求得,|PF|﹣|PF′|=2a=4,进而
根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5,两式相加求得答案.
【解答】解:
∵A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),
∴由双曲线定义可得,|PF|﹣|PF′|=2a=4,
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5,两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立.
则|PF|+|PA|的最小值为9.故选:
D.
11.已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是()
A.[,]B.[0,]C.[,]D.[1,]
【考点】3N:
奇偶性与单调性的综合.
【分析】判断函数f(x)的奇偶性和单调性,将不等式进行转化,利用直线和圆的位置关系,结合数形结合和的几何意义即可得到结论.
【解答】解:
∵f(x)=x+sinx(x∈R),
∴f(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣(x+sinx)=﹣f(x),
即f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函数.
∵f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,∴f(y2﹣2y+3)≤﹣f(x2﹣4x+1)=f[﹣(x2﹣4x+1)],
由f′(x)=1+cosx≥0,∴函数单调递增.
∴(y2﹣2y+3)≤﹣(x2﹣4x+1),
即(y2﹣2y+3)+(x2﹣4x+1)≤0,
∴(y﹣1)2+(x﹣2)2≤1,∵当y≥1时,=1+,∴不等式对应的平面区域为圆心为(2,1),半径为1的圆的上半部分.
而的几何意义为动点P(x,y)到定点A(﹣1,0)的斜率的取值范围.
设k=,(k>0),则y=kx+k,即kx﹣y+k=0.
当直线和圆相切时,圆心到直线的距离d===1
即8k2﹣6k=0,解得k=.此时直线斜率最大.
当直线kx﹣y+k=0经过点B(3,1)时,直线斜率最小,
此时3k﹣1+k=0,即4k=1,解得k=,
∴≤k≤,故=1+=1+k的取值范围是[,].
故选:
A
12.设函数f是定义在正整数有序对的集合上,并满足:
1f(x,x)=x;
2f(x,y)=f(y,x);
3(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y);
则f(12,16)+f(16,12)的值是()
A.24B.48C.64D.96
【考点】3P:
抽象函数及其应用.
【分析】由函数性质的第3条,可得f(x,x+y)=f(x,y),从而得到f(12,16)+f
(16,12)=2f(12,16)=2f(12,12+4)=2××f(12,12),再利用①解.【解答】解:
∵(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),
∴f(x,x+y)=f(x,y),
f(12,16)+f(16,12)
=2f(12,16)
=2f(12,12+4)
=2××f(12,12)
=2×4×12=96.
故选:
D
二.填空题:
本大题共4小题;每小题5分,共20分.
13.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣,则实数a的值为1.
【考点】K8:
抛物线的简单性质.
【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程:
x2=y,得到焦点坐标为F(0,),准线方程:
y=﹣,再结合题意准线方程为,比较系数可得a=1.
【解答】解:
∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y,
∴2p=,可得=,焦点坐标为F(0,),准线方程:
y=﹣
再根据题意,准线方程为,
∴﹣=﹣,可得a=1故答案为:
1
先利用函数图象,计算函数的周期,再利用周期计算公式计算
φ的值为
分析】
,
ω的值,
最后将点
0)代入,结合
φ的范围,求φ值即可
【解答】
∴y=sin
解:
由图可知
(2x+φ)
T=2(
)=π,∴ω==2
代入(,0),得sin(
∴+φ=π+2kπ,k∈Z
+φ)
=0
∵0<φ≤
∴φ=
故答案为
15.已知△ABC的三边长成公差为
最小值的正弦值是【考点】8F:
等差数列的性质.
【分析】设三角形的三边分别为
2的等差数列,且最大角的正弦值为
,则这个三角形
a、
b、c,且a>b>c>0,设公差为d=2,求出a=c+4和b=c+2,A=60°或120°,再判断A的值,利用余弦定理能求出三边
由边角关系和条件求出sinA,求出长,由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值.【解答】解:
不妨设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0,
设公差为d=2,三个角分别为、A、B、C,则a﹣b=b﹣c=2,可得b=c+2,a=c+4,∴A>B>C,
a、
∵最大角的正弦值为,∴sinA=,
由A∈(0°,
当A=60°时,
180°)得,A=60°或120°,
∵A>B>C,∴A+B+C<180°,不成立;
即A=120°,则cosA===,
化简得,解得c=3,
∴b=c+2=5,a=c+4=7,
∴cosC===,
又C∈(0°,180°),则sinC==,
∴这个三角形最小值的正弦值是,故答案为:
.
16.若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB(其中A(1,0),B(2,1))只有一个
公共点,且不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)成立,则正实
数p的取值范围为[1,+∞).
【考点】KE:
曲线与方程.
【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点,可知:
点A(1,0),B(2,1)在直线ax+by=1的两侧,因此(a﹣1)(2a+b﹣1)≤0.画出它们表示的平面区域,如图所示.由图可知,
当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值,可得dmin=.由
于存在实数a、b使得不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)成
立,可得
≥20(a2+b2)min=4,再利用基本不等式的性质即可得
出答案.
【解答】解:
∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点,∴点A(1,0),B(2,1)在直线ax+by=1的两侧,∴(a﹣1)(2a+b﹣1)≤0,即,或;画出它们表示的平面区域,如图所示.
a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方,
由图可知,当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值,
∵dmin=
那么a2+b2的最小值为:
d2=.
由于存在实数a、b使得不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)
成立,
∴≥20(a2+b2)min=4,
∵θ∈(0,),∴sinθ,cosθ∈(0,1).
∴+=(sin2θ+cos2θ)=1+p++≥
1+p+2=1+p+2,
当且仅当tan2θ=时取等号.
∴1+p+2≥4,p>0,解得1≤p.
∴tanθ=1,即时取等号.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求an及Sn;
Ⅱ)令
bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
考点】8E:
数列的求和;84:
等差数列的通项公式;85:
等差数列的前n项和.
【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,可得,解
得a1,d,利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.
(Ⅱ)由(I)可得bn==,利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解:
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
∵a3=7,a5+a7=26,
∴,解得a1=3,d=2,
∴an=3+2(n﹣1)=2n+1;
Sn==n2+2n.
Ⅱ)===,
∴Tn===
18.已知函数(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若,求f(x)的最大值和最小值.
【考点】H6:
正弦函数的对称性;HW:
三角函数的最值.
【分析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求f(x)的最小正周期
及对称中心;
(Ⅱ)求出相位的范围,利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可.
19.国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛.每3人组成一队,每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面,且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”(靶面正方形ABCD如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象).每队有3人“成功”获一等奖,2人“成功”获二等奖,1人“成功”获三等奖,其他情况为鼓励奖(即四等奖)(其中任何两位队员“成功”与否互不影响).(Ⅰ)求某队员投掷一次“成功”的概率;
(Ⅱ)设X为某队获奖等次,求随机变量X的分布列及其期望.
【考点】6G:
定积分在求面积中的应用;CF:
几何概型;CH:
离散型随机
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