第三章 第4节 41 第1课时.docx
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第三章第4节41第1课时
§4 简单线性规划
4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
第1课时 二元一次不等式与平面区域
学习目标
1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式表示的平面区域.
知识点一 二元一次不等式(组)的概念
思考 对于只含有一个未知数的不等式x<6,它的一个解就是能满足不等式的x的一个值,比如x=0.那么对于含有两个未知数的不等式x-y<6,你能类似地举出一个解吗?
答案 含两个未知数的不等式的一个解,即满足不等式的一组x,y的取值,例如
也可写成(0,0).
梳理
(1)含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.
(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(3)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y)称为二元一次不等式(组)的一个解.
(4)所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.
知识点二 二元一次不等式表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界.
不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.
(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得值的符号都相同.
(3)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号可以断定Ax+By+C>0(或<0)表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
1.x>1也可理解为二元一次不等式,其表示的平面区域位于直线x=1右侧.(√)
2.若(x1,y1),(x2,y2)分别位于直线Ax+By+C=0两侧,则(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.(√)
3.点(1,2)不在2x+y-1>0表示的平面区域内.(×)
类型一 二元一次不等式解的几何意义
例1 已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是________.
考点 二元一次不等式(组)
题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域
答案 (-7,24)
解析 点(3,1)和(-4,6)必有一个是3x-2y+a>0的解,另一个点是3x-2y+a<0的解.
∴
或
即(3×3-2×1+a)[3×(-4)-2×6+a]<0,
(a+7)(a-24)<0,解得-7 反思与感悟 对于直线l: Ax+By+C=0两侧的点(x1,y1),(x2,y2),若Ax1+By1+C>0,则Ax2+By2+C<0,即同侧同号,异侧异号. 跟踪训练1 经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直线l的斜率k的取值范围. 考点 二元一次不等式(组) 题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 解 由题意知直线l的斜率存在,设为k. 则可设直线l的方程为kx-y-1=0, 由题意知A,B两点在直线l上或在直线l的两侧, 所以有(k+1)(2k-2)≤0,所以-1≤k≤1. 类型二 二元一次不等式表示的平面区域 命题角度1 给不等式画平面区域 例2 画出不等式x+4y<4表示的平面区域. 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法 解 先作出边界x+4y=4, 因为这条线上的点都不满足x+4y<4, 所以画成虚线.取原点(0,0),代入x+4y-4, 因为0+4×0-4=-4<0, 所以原点(0,0)在x+4y-4<0表示的平面区域内, 所以不等式x+4y<4表示的平面区域在直线x+4y=4的左下方. 所以x+4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示. 反思与感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.特别是当C≠0时,常把原点(0,0)作为测试点,当C=0时,常把(0,1)或(1,0)作为测试点. 跟踪训练2 不等式x-2y+6>0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的( ) A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法 答案 B 解析 在平面直角坐标系中画出(图略)直线x-2y+6=0, 观察图像知原点在直线的右下方,将原点(0,0)代入x-2y+6,得0-0+6=6>0,所以原点(0,0)在不等式x-2y+6>0表示的平面区域内,故选B. 命题角度2 给平面区域写不等式 例3 如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________. 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定 答案 x+2y-2<0 解析 过点(2,0)和(0,1)的直线方程为 +y=1, 即x+2y-2=0.代入(0,0)有0+2×0-2=-2<0, ∴阴影部分表示的区域满足x+2y-2<0. 反思与感悟 用不等式表示平面区域的步骤 (1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程. (2)将平面区域内的特殊点代入直线方程,判断不等号的方向. (3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式. 跟踪训练3 将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来. 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定 解 (1)-2 (2)2x+y>0. (3)x-y-2<0. 1.不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是( ) A.(0,0)B.(1,1)C.(0,2)D.(2,0) 考点 二元一次不等式(组) 题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 答案 D 解析 将四个点的坐标分别代入不等式中,其中点(2,0)代入后不等式不成立,故此点不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内,故选D. 2.不等式x+3y-2≥0表示直线x+3y-2=0( ) A.右上方的平面区域 B.左下方的平面区域 C.右上方的平面区域(包括直线本身) D.左下方的平面区域(包括直线本身) 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的的平面区域的判定 答案 C 解析 代入(0,0),0+3×0-2<0,故x+3y-2≥0表示的区域与(0,0)分布在直线两侧. 3.已知点(-1,2)和点(3,-3)在直线3x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是( ) A.(-1,6)B.(-6,1) C.(-∞,-1)∪(6,+∞)D.(-∞,-6)∪(1,+∞) 考点 二元一次不等式(组) 题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 答案 A 解析 由题意知,(-3+2-a)(9-3-a)<0, 即(a+1)(a-6)<0,∴-1 4.画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1)x-2y+4≥0; (2)y>2x. 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法 解 (1)画出直线x-2y+4=0, ∵0-2×0+4=4>0, ∴x-2y+4>0表示的区域为含(0,0)的一侧,因此所求为如图阴影部分所示的区域,包括边界. (2)画出直线y-2x=0, ∵0-2×1=-2<0, ∴y-2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧,因此所求为如图阴影部分所示的区域,不包括边界. 1.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0),无论B为正值还是负值,我们都可以把y项的系数变形为正数,当B>0时, (1)Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域; (2)Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域. 2.画平面区域时,注意边界线的虚实问题. 一、选择题 1.下列选项中与点(1,2)位于直线2x-y+1=0的同一侧的是( ) A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,0) 考点 二元一次不等式(组) 题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 答案 D 解析 ∵2×1-2+1=1>0, ∴点(1,2)位于2x-y+1>0表示的平面区域内,而四个点(-1,1),(0,1),(-1,0),(1,0)中只有(1,0)满足2x-y+1>0. 2.设点P(x,y),其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数为( ) A.10B.9C.3D.无数个 考点 二元一次不等式(组) 题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 答案 A 解析 作 的平面区域. 如图所示,符合要求的点P的个数为10. 3.在3x+5y<4表示的平面区域内的一个点是( ) A.(2,0)B.(-1,2) C.(1,1)D.(-1,1) 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定 答案 D 解析 将点(-1,1)代入3x+5y<4,得2<4,所以点(-1,1)在不等式3x+5y<4表示的平面区域内,故选D. 4.已知点M(2,-1),直线l: x-2y-3=0,则( ) A.点M与原点在直线l的同侧 B.点M与原点在直线l的异侧 C.点M与原点在直线l上 D.无法判断点M及原点与直线l的位置关系 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定 答案 B 解析 因为2-2×(-1)-3=1>0,0-2×0-3=-3<0,所以点M与原点在直线l的异侧,故选B. 5.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是( ) A.b≤ B.b<1 C.b> D.b>-9 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定 答案 C 解析 依题意知,点A(-2,b)满足2x-3y+5<0, ∴2×(-2)-3b+5<0,即b> . 6.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( ) A.(-∞,1)B.(1,+∞) C.(-1,+∞)D.(0,1) 答案 B 解析 将x=-2代入直线x-2y+4=0中,得y=1.因为点(-2,t)在直线上方,∴t>1. 7.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值范围是( ) A.m≥1B.m≤1 C.m<1D.m>1 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定 答案 D 解析 由2m+3-5>0,得m>1. 二、填空题 8.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x-y+a>0表示的平面区域内,则a的取值范围为________. 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定 答案 (-1,0] 解析 根据题意,分以下两种情况: ①原点(0,0)在该区域内,点(1,1)不在该区域内, 则 无解; ②原点(0,0)不在该区域内,点(1,1)在该区域内, 则
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