第2课时 均值不等式与最大值最小值.docx
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第2课时均值不等式与最大值最小值
第2课时 均值不等式与最大值、最小值
内 容 标 准
学 科 素 养
1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.
逻辑推理、数学运算、数学建模
2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.
授课提示:
对应学生用书第34页
[教材提炼]
知识点 用均值不等式求最值
用均值不等式≥求最值应注意:
(1)x,y是不是正数;
(2)若x,y是正数,
①如果xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
②如果x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
(3)等号成立的条件是否满足.
[自主检测]
1.x2+y2=4,则xy的最大值是( )
A. B.1 C.2 D.4
答案:
C
2.已知-1≤x≤1,则1-x2的最大值为________.
答案:
1
3.当x>1时,x+的最小值为________.
答案:
3
授课提示:
对应学生用书第35页
探究一 用均值不等式求最值
[例1]
(1)若x>0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值;
[解析] ∵x>0.
∴x+≥2=4
当且仅当x=,即x2=4,x=2时取等号.
∴函数y=x+(x>0)在x=2时取得最小值4.
(2)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值;
[解析] ∵0<x<,∴3-2x>0,
∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]
≤22=.
当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.
∵∈,
∴函数y=4x(3-2x)的最大值为.
(3)已知x>2,求x+的最小值;
[解析] ∵x>2,∴x-2>0,
∴x+=x-2++2≥2+2=6,
当且仅当x-2=,
即x=4时,等号成立.∴x+的最小值为6.
(4)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
[解析] ∵x>0,y>0,+=1,
∴x+y=(x+y)=++10≥2+10=6+10=16,
当且仅当=,+=1,
即x=4,y=12时,上式取等号.
故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
应用均值不等式的常用技巧
(1)常值代替
这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.
(2)构造不等式
当和与积同时出现在同一个等式中时,可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围.
(3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.
设x>0,y>0,且2x+y=1,求+的最小值.
解析:
∵x>0,y>0,2x+y=1,
∴+=+=3++
≥3+2=3+2,
当且仅当=,即y=x时,等号成立,
解得x=1-,y=-1,
∴当x=1-,y=-1时,+有最小值3+2.
探究二 均值不等式的实际应用
[例2] 如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫做“刹车距离”.在某公路上,“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:
s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”.
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;
(2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?
[解析]
(1)T===++.
(2)经过A点的车流量最大,即每辆车之间的时间间隔T最小.
∵T=++≥2+=,
当且仅当=,即v=20时取等号.
∴当v=20米/秒时,经过观测点A的车流量最大.
利用均值不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
某公司一年需要一种计算机元件8 000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货.每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为x件,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?
解析:
设每年购进8 000个元件的总花费为S,一年总库存费用为E,手续费为H,每年分n次进货,
则x=,E=2××,H=500 n.
所以S=E+H=2××+500n=+500n=500≥4 000.
当且仅当=n,即n=4时总费用最少,故以每年进货4次为宜.
授课提示:
对应学生用书第36页
一、用均值不等式求最值的策略
1.配凑
以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标,根据代数式的结构特征,利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形,注意做到等价变形.一般地,形如f(x) =ax+b+的函数求最值时可以考虑配凑法.
[典例] 函数y=(x>-1)的最小值为________.
[解析] 因为y==x-1+=x+1+-2,因为x>-1,所以x+1>0,
所以y≥2-2=0,
当且仅当x=0时,等号成立.
[答案] 0
2.常值代换
利用“1”的代换构造积为定值的形式,一般形如“已知ax+by(或+)为定值,求cx+dy(或+)的最值(其中a,b,c,d均为常参数)”时可用常值代换处理.
[典例] 若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] 由3x+y=5xy,得=+=5,所以4x+3y=(4x+3y)·(+)=(4+9++)≥(4+9+2)=5,当且仅当=,即y=2x时,等号成立,故4x+3y的最小值为5.
[答案] D
3.探究
通过换元法使得问题的求解得到简化,从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理,然后利用常值代换及均值不等式求最值.
[典例] 设x,y是正实数,且x+y=1,则+的最小值为________.
[解析] 令x+2=m,y+1=n,则m+n=4,且m>2,n>1,所以+=+
=+-2=(+)(+)-2
=+-≥2-=,
当且仅当即m=,n=时取等号.
所以+的最小值为.
[答案]
4.减元
当题中出现了三个变元,我们要利用题中所给的条件构建不等关系,并减元,在减元后应注意新元的取值范围.
[典例] 已知x,y,z均为正实数,且x-2y+3z=0,则的最小值为________.
[解析] 由x-2y+3z=0得y=,所以==++.
又x,z均为正实数,所以>0,>0,所以=++≥2+=3,
当且仅当=即x=3z时取等号.
所以的最小值为3.
[答案] 3
二、忽视均值不等式的应用条件
[典例] 已知一次函数mx+ny=-2过点(-1,-2)(m>0,n>0).则+的最小值为( )
A.3 B.2
C. D.
[解析] 由题意得+n=1,
所以+=(+)(+n)=++≥+2=,当且仅当=即m=n时取等号.故选C.
[答案] C
纠错心得 应用均值不等式求最值时,必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序.本题中求出+n=1后,若采用两次均值不等式,有如下错解:
+n=1≥2,所以≤,≥,①
又+≥2,②
所以+≥2.选B.
此错解中,①式取等号的条件是=n,②式取等号的条件是=即m=n,两式的等号不可能同时取得,所以2不是+的最小值.
第2课时 均值不等式与最大值、最小值
内 容 标 准
学 科 素 养
1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.
逻辑推理、数学运算、数学建模
2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.
授课提示:
对应学生用书第34页
[教材提炼]
知识点 用均值不等式求最值
用均值不等式≥求最值应注意:
(1)x,y是不是正数;
(2)若x,y是正数,
①如果xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
②如果x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
(3)等号成立的条件是否满足.
[自主检测]
1.x2+y2=4,则xy的最大值是( )
A. B.1 C.2 D.4
答案:
C
2.已知-1≤x≤1,则1-x2的最大值为________.
答案:
1
3.当x>1时,x+的最小值为________.
答案:
3
授课提示:
对应学生用书第35页
探究一 用均值不等式求最值
[例1]
(1)若x>0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值;
[解析] ∵x>0.
∴x+≥2=4
当且仅当x=,即x2=4,x=2时取等号.
∴函数y=x+(x>0)在x=2时取得最小值4.
(2)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值;
[解析] ∵0<x<,∴3-2x>0,
∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]
≤22=.
当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.
∵∈,
∴函数y=4x(3-2x)的最大值为.
(3)已知x>2,求x+的最小值;
[解析] ∵x>2,∴x-2>0,
∴x+=x-2++2≥2+2=6,
当且仅当x-2=,
即x=4时,等号成立.∴x+的最小值为6.
(4)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
[解析] ∵x>0,y>0,+=1,
∴x+y=(x+y)=++10≥2+10=6+10=16,
当且仅当=,+=1,
即x=4,y=12时,上式取等号.
故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
应用均值不等式的常用技巧
(1)常值代替
这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.
(2)构造不等式
当和与积同时出现在同一个等式中时,可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围.
(3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.
设x>0,y>0,且2x+y=1,求+的最小值.
解析:
∵x>0,y>0,2x+y=1,
∴+=+=3++
≥3+2=3+2,
当且仅当=,即y=x时,等号成立,
解得x=1-,y=-1,
∴当x=1-,y=-1时,+有最小值3+2.
探究二 均值不等式的实际应用
[例2] 如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫做“刹车距离”.在某公路上,“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:
s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”.
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;
(2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?
[解析]
(1)T===++.
(2)经过A点的车流量最大,即每辆车之间的时间间隔T最小.
∵T=++≥2+=,
当且仅当=,即v=20时取等号.
∴当v=20米/秒时,经过观测点A的车流量最大.
利用均值不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
某公司一年需要一种计算机元件8 000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货.每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为x件,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?
解析:
设每年购进8 000个元件的总花费为S,一年总库存费用为E,手续费为H,每年分n次进货,
则x=,E=2××,H=500 n.
所以S=E+H=2××+500n=+500n=500≥4 000.
当且仅当=n,即n=4时总费用最少,故以每年进货4次为宜.
授课提示:
对应学生用书第36页
一、用均值不等式求最值的策略
1.配凑
以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标,根据代数式的结构特征,利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形,注意做到等价变形.一般地,形如f(x) =ax+b+的函数求最值时可以考虑配凑法.
[典例] 函数y=(x>-1)的最小值为________.
[解析] 因为y==x-1+=x+1+-2,因为x>-1,所以x+1>0,
所以y≥2-2=0,
当且仅当x=0时,等号成立.
[答案] 0
2.常值代换
利用“1”的代换构造积为定值的形式,一般形如“已知ax+by(或+)为定值,求cx+dy(或+)的最值(其中a,b,c,d均为常参数)”时可用常值代换处理.
[典例] 若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] 由3x+y=5xy,得=+=5,所以4x+3y=(4x+3y)·(+)=(4+9++)≥(4+9+2)=5,当且仅当=,即y=2x时,等号成立,故4x+3y的最小值为5.
[答案] D
3.探究
通过换元法使得问题的求解得到简化,从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理,然后利用常值代换及均值不等式求最值.
[典例] 设x,y是正实数,且x+y=1,则+的最小值为________.
[解析] 令x+2=m,y+1=n,则m+n=4,且m>2,n>1,所以+=+
=+-2=(+)(+)-2
=+-≥2-=,
当且仅当即m=,n=时取等号.
所以+的最小值为.
[答案]
4.减元
当题中出现了三个变元,我们要利用题中所给的条件构建不等关系,并减元,在减元后应注意新元的取值范围.
[典例] 已知x,y,z均为正实数,且x-2y+3z=0,则的最小值为________.
[解析] 由x-2y+3z=0得y=,所以==++.
又x,z均为正实数,所以>0,>0,所以=++≥2+=3,
当且仅当=即x=3z时取等号.
所以的最小值为3.
[答案] 3
二、忽视均值不等式的应用条件
[典例] 已知一次函数mx+ny=-2过点(-1,-2)(m>0,n>0).则+的最小值为( )
A.3 B.2
C. D.
[解析] 由题意得+n=1,
所以+=(+)(+n)=++≥+2=,当且仅当=即m=n时取等号.故选C.
[答案] C
纠错心得 应用均值不等式求最值时,必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序.本题中求出+n=1后,若采用两次均值不等式,有如下错解:
+n=1≥2,所以≤,≥,①
又+≥2,②
所以+≥2.选B.
此错解中,①式取等号的条件是=n,②式取等号的条件是=即m=n,两式的等号不可能同时取得,所以2不是+的最小值.
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- 第2课时 均值不等式与最大值最小值 课时 均值 不等式 最大值 最小值