初中数学中两种常见的知识类型.docx

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初中数学中两种常见的知识类型

初中数学中两种常见的知识类型

两种知识类型

第一，计算题 第二，应用题

整式的混合运算题采用的策略是

1.确定运算顺序2.各级运算的正负号3.合并同类项4.写出最终结果

一元一次应题采取的策略：

  1.审题2.找等量关系3.设未知数4.列方程5.解方程6.检验7.作答

在解答过程中关紧是找到题中的等量关系

   在课堂教学中反馈与调控的原则为：

（1）及时性原则。

教师应及时对学生的反馈信息进行适当调控和恰当评价。

（2）准确性原则。

（3）全面性原则。

教师应采用科学的方法，尽量反馈全班每个学生掌握知识的程度。

（4）激励性原则。

激发学生的求知欲，激发学生的上进心。

（5）平等与尊重原则。

尊重学生个性差异，不挫伤学生。

（6）教学平衡原则。

使教师、学生、知识三方面都处于动态平衡中，始终保持信息流的畅通。

方案设计型、阅读理解题是近几年新出现的两种新题型，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识。

浅谈初中数学几种常见的知识类型

一   方案设计型

方案设计问题是通过设置一个实际问题的情景，给出若干信息，通过对信息的处理得到一个解决问题的最佳方案。

这类试题一般以生活、生产、市场经济等热点问题为素材给出信息，通过对信息的分析处理得到解决问题的策略与方案。

这类问题以综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等。

方案设计问题大致分为两大类型：

设计测量方案问题和设计最佳方案问题。

（1）设计测量方案问题：

设计测量方案题考查范围很广，主要有测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等。

此类题目解法不唯一，是典型的开放型试题。

（2）设计最佳方案题：

此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效益最高、利润最大等词语，解题时常常与函数、不等式、几何等联系在一起。

例如：

为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3∶2，单价和为80元．

（1）篮球和排球的单价分别是多少元？

（2）若要求购买篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？

方案设计题贴近生活，具有较强的操作性和实践性，解决此类问题时一般要经历阅读，了解问题的背景和要求；观察，结合生活经验寻找问题的等量与不等关系；建模，应用数学知识将问题转化为数学问题；解模，求解相关的数学问题；作答，根据实际意义对所获得结论进行归纳、探索和比较，确定符合题目要求的最佳方案。

二 动态几何型

动态几何问题突出的特点是变动为静，利用运动、变化的观点来解决问题，往往要综合应用分类思想、函数思想等。

动态问题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系。

解题的关键是分清几何元素运动的方向和路径，

例：

在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.

（1）如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式；

（2）如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,

（1）中与之间的函数解析式还成立?

试说明理由.

动态几何型的解题方法：

（1）建立函数方程或不等式模型来求解。

根据题目特点，把一些变量和不变量转化为方程或不等式，从而巧妙地求出所需的量，而对于图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立函数与方程模型来求解。

（2）根据图形变化，采取分情况讨论求解。

由于点或图形的运动，而引起图形形状不同，应根据不同状态下的情况分类画图，采取分类讨论的思想解决。

（3）数形结合法与转化的数学思想。

对于变化的图形，要认清变化的过程，到底有哪几个阶段，然后采用数形结合，把动态转化为静态来解决。

（4）类比猜想法，由特殊到一般。

根据图形运动中的特殊位置得到结论，然后类比猜想一般情况下也成立，并根据特殊问题解决的方法来研究一般问题。

三  阅读理解型

阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供的心的方法或新的知识，并灵活应用这些新方法或新知识去分析解决类似的或相关的问题。

它综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。

这类问题一般分为两部分：

一部分是阅读材料，另一部分是考查内容。

解答阅读理解型问题的关键在于阅读，核心在于理解，目的在于应用。

通过阅读，理解阅读材料中所提供的知识要点、数学思想方法及解题的方法技巧，然后应用从中所学到的知识解决有关的问题。

例:

“解方程”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设＝y，那么＝，于是原方程可变为……①，解这个方程得：

y1＝1，y2＝5．当y＝1时，＝1，∴x＝土1；当y＝5时，＝5，∴x＝土。

所以原方程有四个根：

x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－。

⑴在由原方程得到方程①的过程中，利用       法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

⑵解方程时，若设y＝，则原方程可化为            ．

阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势。

一、教学目标：

1、知识与技能：

① 让学生经历对具体情境的探究过程，通过举出生活实例观察、比较、探索、归纳得出一次函数概念。

② 理解一次函数与正比例函数的联系和区别。

③ 培养学生[此文转于斐斐课件园 FFKJ.Net]独立思考与合作交流的能力。

初步发展他们抽象思维能力和发展他们的数学应用能力。

2、数学思考：

能根据实际条件，分清两个变量间的关系，列出一次函数解析式。

3、解决问题：

能在探索一次函数活动中发现并提出数学问题，初步体会在解决问题的过程中与他人合作、交流的重要性。

4、情感与态度目标：

体验函数与人类生活的密切联系，增强对函数学习的求知欲，体验数学充满着探索性和创造性，从而培养学生[此文转于斐斐课件园 FFKJ.Net]对学习数学的兴趣。

　二、教学设计：

课前准备：

学生编生活中函数问题。

（一）、创设问题的情境，导入新课。

　课前要求同学们编题，老师有一个函数问题请同学们解答。

　　问题1：

小李同学第一次去海口，汽车驶上了那大的高速路后，小李同学观察里程碑，发现汽车的平均速度是70千米/时，已知那大直达海口的高速公路全程为140千米，小李同学想知道汽车从那大驶出后，距海口的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和那大的距离。

你能帮助他吗？

　学生观看表演、独立思考、尝试解答下列问题，然后和同桌交流。

① 题中常量是什么？

变量有几个？

分别是什么？

②变量与常量间有什么等量关系。

 140千米

③用字母表示变量，列出函数关系式。

　　　教师引导点播画出示意图，全班交流讨论。

　　达成共识：

汽车距海口的路程随行驶的时间的变化而变化，因此这里涉及两个变量：

汽车距海口的路程和汽车行驶的时间，为此可设汽车距海口的路程为（S千米），汽车行驶的时间为t （小时），通过观察三名同学表演及所画的示意图可知：

S =140- 70 t（0≤t≤2）③ 　

（二）合作探究新课　

　1、一次函数定义探究。

　　问题2 ① Q =400 - 33 t ② y = 30 - 2x ③ S =140-70t这三个函数有什么共同特征呢？

你能用一个表达式表示这个共同特征吗？

（投影展示）

　　学生思考、讨论、解答、交流。

　教师在学生思考、讨论、回答基础上，评价并引导、点播、探究规律。

　　概括：

像这样，这三个函数解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数。

同学们说出的“y=kx+b”是这几个式子的共同持征，我们把它叫做一次函数的一般式。

　　问题3 对于一次函数的一般式y=kx+b中的k可以等于0吗？

为什么？

 b可以等于0吗？

若b=0函数式子是什么？

　同座交流讨论，在此基础上全班交流。

　教师引导、启发学生理解。

　师生共同归纳得出：

k≠0，因为若k=0，则y=kx+b变为y=b，此时没有一次项，就不在是一次函数了。

b可以等于0，若b=0函数式子变为y=kx（k≠0 ，k为常数），此时的函数叫做正比例函数，它是一次函数的特殊情况。

　　互动2 判断正误。

（投影展示）

（1） 一次函数是正比例函数；

（2）正比例函数是一次函数；

（3）x+3y = 2是一次函数; （4）2y-x = 0是正比例函数。

 　　例题：

小琳同学准备将平时的零用钱节约一些储存起来，捐给希望工程，她已存有50元，从现在起每个月节存12元。

①试写出小琳同学存款与从现在开始的月份数之间的函数关系式。

②算一算2个月后的存款为多少元？

。

③若她想存款达到110元时，就捐给希望工程，那么需存款几个月呢？

（投影展示）　

（三）达标反馈。

　1、函数：

① y=-2x+1 ; ② x+y=0 ; ③ xy=2; ④ y= +1; ⑤ y=x2+3; ⑥ y = - 0.6x中，属于一次函数的有 ①②⑥ ；属于正比例函数的有 ② ⑥ （填写序号）　　2、当m = 0 时 ， n ≠ 1 时，函数y =（n-1）xm+1+3 是一次函数。

　　3、写出一个满足条件：

当自变量取2时，对应的函数值为 -3的一次函数的解析式（只写一个） y = - x -1 。

　　4、设圆的面积为S，半径为R，那么下列说法正确的是（ C ）　　A、 S是R的一次函数 B、S是R的正比例函数 　　C、 S是R2的正比例函数 D、以上说法都不正确。

　　5某种运动鞋的单价是108元/双，当购买x双时，花费为y元，则y是x的 正比例 函数,又是一次 函数. 　　

（四）、总结评价。

（1） 内容总结：

一次函数、正比例函数的意义和表达式。

（2） 方法归纳：

在具体问题中，如果涉及两个变量且只包含一个等量关系时，常用两个字母表示这两个变量，通过建立函数模型来解决问题。

　　识别一个函数是否为一次函数（或正比例函数）的关键是理解它们的意义，能将式子转化为其一般表达形式。

（五）、延伸拓展。

　1、链接生活　　某公司到果园基地购买优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000kg以上（含3000kg）的有两种销售方案，甲方案：

每千克9元，由基地送货上门；乙方案：

每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从某地到公司的运费为5000元。

分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）购买的水果量x （kg）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

　　解：

y甲 = 9 x（x≥3000），y乙= 8 x +5000 （x≥3000）　　

教学自我反思1：

　通过教学活动，充分体现了学生自主、合作、探究的学习方式。

重视学生的数学学习过程和他们的个性体验，充分让学生体会数学源于生活中的实际问题，又应用于生活。

突出人人学有价值的数学的思想。

帮助学生在学习过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得数学活动的经验。

给学生充分思考的空间和时间。

让学生自已互相学习，形成互动的局面。

互相评价、互相尊重和互相信任。

在一种和谐、热烈讨论的气氛中进步成长，从而激发学生的学习兴趣。

但在如何把握好时间，使教学紧凑一些，增大教学容量，教学灵活选用各个教学环节还不够。

　　 2．谈谈您在实施新课程中函数教学时是怎样与信息技术相结合的 现代信息技术的发展，为数学教学的发展创造了广阔的空间，促进了数学教学的发展，让单调、枯燥的数学知识变得有声有色，特别是函数这部分知识，涉及到数形结合，函数图象的动态变化，信息技术更显示出它的优越性。

函数的引入课，为了让学生体会两个变量之间的关系，需要大量引入实际例子，特别是图象的展示，这是黑板与粉笔达不到的效果和信息量。

所以我采用多媒体课件，效果很好。

 在讲一次函数的应用时，我采用了多媒体课件，因为涉及到的题目内容比较长，而且需要数形结合，利用课件把题目和图形准确、清晰的展示在学生面前，老师再逐一进行讲解。

在讲解函数的基础知识时，我不采用课件，总感觉上课不得劲，学生的基础知识的训练不牢固，但是，涉及到图象运动的习题，比如：

k值的不同，所反映反比例函数图象的不同； x取何值时，y>0或y<0等；函数的应用题；反比例函数上一点向x轴、y轴作垂线所得到的三角形、矩形面积恒定等题，我采用多媒体课件，效果非常好。

总之，多媒体课件有它的优越性，也有它的局限性。

使用时，用优越避局限。

至于制作课件费时，我们通常是整个备课组进行分工制作，制作的内容采用集体的智慧。

我们贯彻的观点是：

辛苦一年，轻松多年。

一、内容和内容解析

内容：

本课是人教版新课标实验教科书八下第十九章的第一课时，其主要内容是平行四边形的概念及平行四边形的边、角的相关性质.

内容解析:

四边形是几何中的基本图形，也是“空间与图形”领域研究的主要对象之一.平行四边形是特殊的四边形，较一般四边形而言，它与我们的关系更为密切，这不仅表现在日常生活中有众多的平行四边形图案，更重要的是，它的性质在日常生活及生产实践等各个领域中均有广泛的应用.此外，平行四边形的相关知识在建筑学、物理学、测绘学中也有较为重要的应用.

平行四边形是一个四边形，但与一般四边形相比，它的对边分别平行.由这一本质特征，教材给出了定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.这一定义既给出了平行四边形的一种判断方法：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形.也给出了平行四边形的一条性质：

平行四边形的对边平行.这为判定一个四边形是平行四边形提供了重要的理论依据，也为证明两直线平行提供了新的方法.

平行四边形从属于四边形，所以一般四边形所具有的性质它都具有，如：

内角和是360°、外角和为360°、四边形的不稳定性等.同时，它还具有自己特有的性质：

对边平行且相等、对角相等、邻角互补等.这些性质为学生证明或解决线段相等、角相等等问题提供了全新的思路，拓展了学生的视野.另外，平行四边形的这些性质还是所有特殊平行四边形的基本性质.本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础.

在教材的编写上，本课还注意了使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、交流、应用等数学活动后获得结论，这对于培养学生的观察能力、推理能力、图形处理能力、探索及解决问题的能力等方面，都起着较为重要的作用.

教学重点：

平行四边形的性质的探究与应用

二、目标和目标解析

目标：

理解并掌握平行四边形的概念和性质，能运用平行四边形的概念及性质解决相关问题.

目标解析：

1.经历从现实情景中抽象出平行四边形的过程，发展学生的形象思维与抽象思维.

2.经历观察、实验、猜想、验证、推理、应用等数学活动，培养学生的观察能力、概括能力和演绎推理能力，渗透转化思想.

3.通过性质的应用，培养学生独立思考的习惯，发展合作交流与应用意识，感悟数学与实际生活的密切联系.

4.通过一系列探究活动的开展，使学生从中体验数学活动的探索性和创造性，感受探究成功的乐趣，从而激发学习兴趣.

三、教学问题诊断分析

　　平行四边形的定义，学生在小学已经学过，但受当时学生文化基础与认知水平的限制，他们对平行四边形的认识还比较肤浅，对概念本质属性的理解与把握还不够深刻与透彻.作为本节课的核心概念，教学中切忌把平行四边形概念当学生已学知识，简单复习巩固后，一带而过.而应精心设计教学活动，使学生在原有知识的基础上，加深理解、全方位把握.尤其对于定义的双重性，应引导学生细致剖析，使他们理解、让他们会用.

　　另外，考虑到学生以前对一般四边形与特殊四边形的认识是割裂开来的，他们对两者从属关系的认识较为淡漠，学习定义之前，教师应先让学生明晰一般四边形与特殊四边形的联系与区别，这样既可突出概念本质，也可为性质的学习作好铺垫.

　　对于性质，从教材的呈现方式看，编者力图以问题为线索，通过观察──猜想──验证──推理证明等一系列数学活动，以自主探索、小组合作探究的方式让学生主动获得.如何真实的反应教材本意，突出性质的探索过程？

如何彻底将学生的被动接受转为主动发现？

这是执教者必须深思的问题.八年级的学生，已具备了一定的观察、分析、动手操作、语言表达及逻辑推理能力，若直接让学生观察图形──提出猜想──简单度量──推理论证──给出结论，这样难免有穿新鞋走老路之嫌，同时，也很难提高学生的学习积极性.尤其是对于性质的证明，在仅有平行四边形的前提下，如何解决线段相等、角相等这一推证难点也将因教学方式的生硬而变得更加难以逾越，教学效果可想而知.

　　要切实解决这个问题，教师应通过充分的活动让学生真正“动”起来.我思考了这样的处理：

将整个性质的探究分两步走，第一步先引导学生通过观察大胆“猜一猜”，再“画一画”，进一步感受图形特征，接着“量一量”，初步验证猜想.第二步激发学生“剪一剪”，引导他们以小组合作的方式进一步探究.将所画的平行四边形沿其中一条对角线剪开，学生将不难发现所得到的两三角形全等，而全等三角形的对应边相等、对应角相等，这样很自然地进一步验证了猜想，与此同时，通过引导，学生还将发现，连接一条对角线，平行四边形的问题便转化成了全等三角形的问题.这样，一石二鸟，既让学生品尝了探究成功之乐，也为性质的推理论证扫清了障碍，轻松突破难点.

　　若学生基础较好，还可考虑直接提供学具袋（里面提供可采用度量、平移、旋转、折叠、拼图等方法的相应学具），然后完全放手让学生去自主探索.鼓励学生探究方式、结果、表示方式及学习方式的多样化.相信在老师的精心组织、合作与参与下，学生将会从多个方面完善对平行四边形性质的认识.

　　教学难点：

平行四边形性质的探究与证明.

四、教学支持条件分析

⑴借助一般四边形、平行四边形、梯形等模型，明晰一般四边形与特殊四边形的区别与联系，深化对概念本质的认识，也可为性质的探究服务.

⑵借助多媒体课件，使实例背景更形象、更逼真，以此激发学生的学习兴趣.借助Flash动画，从激励学生探究入手，改进问题的呈现方式，使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，为更好的实现教学目标服务.

五、教学过程设计

（一）情景激趣：

1.出示一般四边形模型，随后出示平行四边形模型，感受“特殊四边形”与“一般四边形”的区别与联系.

设计意图：

谈话式开场，清新自然.让学生明晰平行四边形与一般四边形从属关系的同时，轻松切入主题.

2.你能举出生活中平行四边形的实例吗？

3.媒体展示：

原野鸟瞰、中银大厦外景、篱笆、电动门、艺术装饰物等图片，引导学生从图片中找出平行四边形.

——生活中的平行四边形随处可见，它装点着我们的生活，服务着我们的生活.由此导出课题.

设计意图：

先由学生举实例，再选取生活中平行四边形的一组精美图片由媒体集中展示，让学生感悟数学与生活紧密联系的同时，也让他们更真切地感受到学习平行四边形的必要.另外，通过对图形的捕捉与提炼，培养学生的形象思维与抽象思维能力.

（二）探究在线：

　　1.定义探究：

①结合平行四边形的模型提问：

平行四边形的“平行”体现在哪里？

②师生共议，归纳定义.

　　定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

结合媒体动画演示，学习平行四边形的表示法、读法及对边、对角、邻边、邻角等概念.

设计意图：

突出概念本质，深化对定义的理解.将对边、对角等概念由媒体形象生动的展示，可使枯燥的概念更加灵动，让学生自觉地进入到对定义的深入探究中来.

③出示梯形模型，巩固定义（两组对边分别平行）. 

④图形及符号语言：

设计意图：

多角度的表述，使学生能全面、透彻的理解定义.同时，规范了推理格式、提升了概括能力.

2.性质探究：

 ①平行四边形除了两组对边分别平行外，还有没有其它性质呢？

　　探究：

（媒体播放，分步出示）

　　猜一猜：

边之间……？

  角之间……？

　　画一画：

在格点纸上画一个平行四边形.

　　量一量：

度量一下，与你的猜想一致吗？

　　剪一剪：

将所画的平行四边形沿其中一条对角线剪开，现在，你有新的办法进一步验证猜想吗？

②结论：

边：

对边平行、对边相等；角：

对角相等、邻角互补

设计意图：

以学生原有知识为出发点，引导学生通过观察、猜想、动手实践、合作交流等方式主动获取知识，获得解决问题的方法.同时，在学生亲历知识的发生、发展与形成过程中使学生获得富有成效的学习体验，发展探究与合作意识，培养逻辑思维能力.另外，通过“剪一剪”，学生进一步验证猜想的同时还找到了将四边形问题转化为三角形问题的有效途径，为性质的证明扫清了障碍.这样既渗透了转化思想，又巧妙的突破了难点.

③你能证明“平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等”吗？

师生共议，写出已知、求证及证明过程.

　　已知：

如图，四边形ABCD为平行四边形.

　　求证：

AB=CD，AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D.

　　分析：

连结对角线将平行四边形的问题通过转化为全等三角形的问题进行解决.

　　设计意图：

注重直观操作与逻辑推理的有机结合，把几何论证作为探究活动的自然延续和必然发展.同时，通过证明，验证了猜想的正确性，让学生感受到数学结论的确定性和证明的必要性.

④总结：

性质1：

平行四边形的对边相等.

　　符号语言:

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB=CD，AD=BC.

　　性质2：

平行四边形的对角相等.

　　符号语言:

∵四边形ABCD为平行四边形

　　∴∠A=∠C，∠B=∠D.

　　师生共议：

以上性质为证明（解决）线段相等，角相等，提供了新的理论依据.

　　设计意图：

对平行四边形性质的归纳，是学生对平行四边形特征的更深入认识，也是知识的一次升华，突出了教学重点.

（三）厉兵秣马：

　　小试身手：

（媒体播放）如图，在□ABCD中，根据已知你能得到哪些结论？

为什么？

　　设计意图：

尝试对性质的应用，实现从知识到能力的顺利过渡.同时，开放式的问题，利于学生多角度的思考并解决问题.

　　例题探究：

如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中AB边长为8m，其他三条边的长各是多少？

（媒体播放）

　　随机应变：

（1）在□ABCD中，已知AC＝12，ΔABC的周长＝30，则□ABCD的周长＝          

（2）若∠DCE=38°，则□ABCD的四个内角的度数分别为：

　　（3）若最大的两个角之和为220°，则平行四边形的四个角的度数分别为：

　　设计意图：

通过对例题的学习，加深对平行四边形性质的理解，培养学生的应用意识.通过一题多变，使学生能多角度、多层次、灵活的运用所学知识解决问题，培养学生思维