概率统计习题doc.docx
- 文档编号:24497640
- 上传时间:2023-05-28
- 格式:DOCX
- 页数:44
- 大小:96.36KB
概率统计习题doc.docx
《概率统计习题doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率统计习题doc.docx(44页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率统计习题doc
&统计量及其分布
习题与解答
1.在一本书上我们随机地检查了10页,发现每页上的错误数为
4560314214
试计算其样本均值,样本方差和样本标准差.
x1...xn
45...4
解样本均值x=
3.
n
10
2
1
样本方差s
n1
n
2
1
2
2
i1
xi
x
43
...
43
3.78,
9
2
样本标准差ss1.94.
2.证明:
对任意常数c,d,有
nn
证xi
cyi
d
i
xi
xyi
Y
nXcYd.
i
1
1
n
n
n
i
xi
c
yi
d
i
xi
x+x-c
yi
Y
yd
xixyi
y
1
1
i1
n
cyi
n
xyi
n
i
xi
y
xi
d
i
xcyd,
1
i1
1
n
n
由
xi
x
,
y
y
,
0
0
得
i1
i
1
n
n
xi
cyi
d
xi
xyi
ynx-cyd,
i1
i1
因而结论成立.
3.设x1,...,xn和y1,...,yn是两组样本观测值,且有如下关系:
yi
3xi
4,i1,2...,n,试求样本均值x和y间的关系以及样本方差
2
2
的关系.
sx
和sy
y
1
n
1
n
3xi
4
3n
xi43x-4
,
ni
yi
ni
1
1
ni1
2
1
n
yi
y
2
解sy
n
1i
1
1
n
2
1
n
2
2
3xi
4
3x+4
9xi
x
n
1i
1
n
1i1
9sx
2
2
因而得y
3x-4
与sy
9sx.
x
1
n
x
,2
1
,
n
,,,
4.记
ni1
,
sn
12....
证明
n
i
n
n
xi
x
2
i1
1
xn+1
xn
1
xn
1
xn
n
1
2
n
1
2
1
2
.
sn1
nsn
n1xn1xn
n1
xn+1
xn
2
sn1
xi
i1
n1
1
n1
1n
ni1
nx+xn+1
n
1xn
xn+1
xn
n
1
n
1
xn+1
xn
,
2
1
n
1)2
2
xixn+1
(Xi
Xn
xn+1xn+1
n
i1
证
1
n
xn+1)2
1
2
(Xi
Xn
xn
xn+1
xn+1
ni
1
n
1
n
xn)2
2
n
xn
xn
xn+1
1xn+1
xn
(Xi
xi
2
ni
1
xn+1
ni
1
n
1
xn+1
.
2
n
n
1
由xixn
0,
i1
n
n
(xnxn+1)2
xnxn+1
2,xn+1xn
1
n
(xn+1xn)
i1
n
i
1
得
1
n
1
2
2
1
n
2
sn2
1
(Xi
xn)2
xn+1
xn
xn+1
xn
2
ni
1
n
1
n
n
1
n
1
1
n
xn)2
1
xn+1
xn
(Xi
2
n
n
1i
1
n1
n
1sn2
1
xn+1
2
.
xn
n
n
1
5.从同一总体中抽取两个容量分别为
n,m的样本,样本均值分别为
x1,
x2,样本方差分别为s12,s22
将两组样本合并,其均值,方差分别
为x,s2,证明:
x
nx1
mx2,
n
m
2
(n
1)s12
(m1)s22
nm(x1
x2)2
s
n
m1
(nm)(n
.
m1)
证
设取自同一总体的两个样本为
x11,x12,...,x1n;x21,x22,...,x2m.
x
x11
x12
...
x1n,x
x21
x22
...x2m,
得
由
1
n
2
m
x
x11...
x1n
x21
x22
...
x2m
nx1
mx2
.
n
m
n
m
由s12
1
n
x1)2,s22
1
m
x2)2
n
(x1i
m
(x2i
1i
1
1i1
s2
1
n
x)2
m
n
[
(x1i
(x2i
x)]
m
1i1
i1
1
n
m
n
[
(x1i
x1
x1
x)2
(x2i
x2
x2
x)]
m
1i
1
i
1
1
n
2
m
2
x)2
m(x2x)2
n
[
(x1i
x1)
n(x1
(x2i
x2)
m
1i
1
i
1
(n
2
(m
2
n(x1
nx1
mx2)2
m(x2
nx1
mx2)
1)s1
1)s2
n
m
n
m
n
m
1
n
m
1
(n
1)s1
2
(m
1)s2
2
nm(x1x2)2
n
m
1
(n
m)(n
m
1)
6.设有容量为n的样本A,它的样本均值为xA,样本标准差为sA,样本极差为RA,样本中位数为mA.现对样本中每一个观测值施行如下
变换
yaxb,如此得到样本B,试写出样本B的均值,标准差,极差和中
位数.
解不妨设样本A为x1,x2,...,xn,样本B为y1,y2,...,yn,且
yiaxib,i1,2,...,n,
yB
y1y2...
ynax1bax2b...axnb
b,
axA
n
n
sB21(yi
n1i1
因而sBasA.
RBy(n)y
(1)
n
1
n
yB)2
(axibaxb)2
a2sA2,
n1i1
ax(n)bax
(1)ba(x(n)x
(1))aRA,
y
n1
n为奇数,
mB
(
2
)
1
n)
y
n为偶数
(y
n
2
(
)
(
2
1)
2
axn1
b,n为奇数
=
(
)
2
1
(axn
b
axn
b),n为偶数
2
2
2
1
=amA
b.
7.证明:
容量为2的样本
x1,x2
的方差为
s2
1(x
x
)2
2
1
2
s2
(x1
x)2
(x2
x)2
(x1
x1x2)2
(x2
x1x2)2
证:
2
2
(x1
x2)2
(x2
x1)2
(x1
x2)2
4
4
2
8.设x1,...,xn是来自U(1,1)的样本,试求E(x)和Var(x)
解均匀分布U(
1,1)
的均值和方差分别为
0和1/3,该样本容量为n,
因而得Ex
0,Var
x
1,
3n
9.设总体二阶矩存在
x1,...,xn是样本,证明x
x也xj
x(ij)的相
i
关系数为
(n
1)1对次你能够给予解释吗?
证
不妨设总体的方差为
2
则
(xi
x,xj
x)
Cov(xi
x,xj
x)
Var(xi
x)
Var(xj
x)
由Cov(xi
x,xj
x)
Cov(xi,xj)
Cov(xi,x)
Cov(Xj,x)Cov(x,x)
2
由于,
Cov(xi,xj)
0,Cov(x,x)
n
1
n
2
Cov(x,x)
Cov(x
x)
x
)
Cov(x
n
i
j
i,ni
1
i
2
因而Cov(xi
x,xj
x)
n
Var(xix)
Var(xj
x)
Var(x1
x)
Var((n
1)x1
x2...
xn)
(n
1)2
2
(n
1)2
n
n2
(n
1)2
n
所以
(xi
x,xj
x)
(n1)1
n
由于
(xi
x)0
故其中任意一个偏差
xi
x的增加,
都会使另一
i1
个偏差
xj
x减少的机会增加
因而两者的相关系数为负
.
10.利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在,间的概率至少为.如何才能更精确地计算这个次数?
是多少?
解均匀硬币正面朝上的概率p=,设xn为n次抛硬币中正面朝上的次
数,
则有xn
:
b(n,p).据题意选取次数
n应满足
p(0.4
xn
0.6)
0.9
n
此式等价于p(xn
0.5n
0.1n)0.1,利用切比雪夫不等式估计上
式左端概率的上界p(xn
n
0.5(1
0.5)
25
0.5n0.1n)
(0.1n)
2
n
再由不等式
25
0.1可得粗糙的估计n
250.即抛均匀硬币250
次
n
后可满足要求.
事实上,利用x的渐近正态性可以得到更精确的结论
.由中心极限定
理知样本均值x
xn,n(x0.5)/
0.5
0.5:
N(0,1),故
n
P(0.4x0.6)
P(
nx
0.5/0.5
n/5)
2(
n/5)
10.9,
即
(
n/5)0.95,故
n/51.645这就给出较精确的上界
n
(5
1.645)2
67.65,这表明只需抛均匀硬币
68次就可满足要求.
两个结果差异很大,说明切比雪夫不等式是一个较为粗糙的不等式
在能够使用大样本结果的情况下应尽量使用中心极限定理.
11.从指数总体Exp(1/)抽取了40个样品,试求x的渐近分布.
解由于指数总体Exp(1/
)的均值为
方差为
2,于是x的渐近分
2
布为N,.
40
12.设x1,...,x25是从均匀分布U(0,5)抽取的样本,试求样本均值x的渐近分布.
解均匀分布U(0,5)的均值和方差分别为5/2和25/12,样本容量为
25,因而样本均值x的渐近分布为N5,1.
212
13.设x1,...,x20是从二点分布b(1,p)抽取的样本,试求样本均值x
的渐近分布.
解二点分布b(1,p)的均值和方差分别为p和p(1-p),样本容量为20,
因而样本均值x的渐近分布为Np,
p(1p)
20
14.设x1,...,x8是从正态总体N10,9中抽取的样本,试求样本均值
x的标准差.
解来自正态分布的样本均值仍服从正态分布,均值保持不变,方差为原来方差的1/n,此处总体方差为9,样本容量为8,因而
Var(x)9/8,x的标准差为32/41.06.
15.切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量,其想法是将数据的两端的值舍去,而剩下的当中的值来计算样本均值,其计算公式
x(n
1)
x(n
2)...x(nn)
1/2是切尾系数,
是x
n
其中0
2n
x
(1)x
(2)
...
x(n)是有序样本。
现我们在某高校采访了16名大学
生,了解他们平时的学习情况,以下数据是大学生每周用于看电视的
时间:
151********726151861558
取1/16,试计算其切尾均值:
解将样本进行排序得x
(1)4,...,x(16)26,当1/16时,由题
意得,切尾均值
x
(2)...x(15)
56...20
180
x1/16
14
12.86.
14
14
16.有一个分组样本如下
区间组中值频数
(154,155)1504
(155,165)1608
(165,175)1706
(175,185)1802
试求该分组样本的样本均值.样本标准差,样本偏度和样本峰度.
解计算过程列表如下:
组中值x
频数f
xgf
(xx)2f
(xx)3f
(xx)4f
150
4
600
676
-8788
114244
160
8
1280
72
-216
648
170
6
1020
294
2058
14406
180
2
360
578
9826
167042
和
20
3260
1620
2880
296340
因而可得样本均值,样本偏度和样本峰度分别为
x
3260
1620
9.23,
163,s
19
20
1
2880/20
0.198,
2
296340/20
3
0.742.
3/2
2
1620/20
1620/20
17.检查四批产品,其批量与不合格率如下
批号批量不合格品率
1100
2300
3250
4150
试求这四批产品的总不合格率.
解这批产品的总不合格率为
100
0.05
300
0.06
250
0.04
150
0.03
p
100
300
250
150
0.047.
18.设总体一等概率取1,2,3,4,5,现从中抽取一个容量为4的样本,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率 统计 习题 doc
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)