《运筹学》习题集汇总.docx

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《运筹学》习题集汇总

1．1将下述线性规划问题化成标准形式1minz＝－3x1＋4x2－2x3＋5x4

st.

4x1－x2＋2x3－x4＝－2x1＋x2－x3＋2x4≤14－2x1＋3x2＋x3－x4≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束

2minz＝2x1－2x2＋3x3

－x1＋x2＋x3＝4－2x1＋x2－x3≤6x1≤0，x2≥0，x3无约束

st.

1．2

用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1minz＝2x1＋3x2

4x1＋6x2≥6

st2x1＋2x2≥4x1，x2≥0

2maxz＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12

x1，x2≥0

3maxz＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤10

3≤x2≤8

4maxz＝5x1＋6x22x1－x2≥2

1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解

（1）minz＝5x1－2x2＋3x3＋2x4

1

st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥0

x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3＋2x4＝3

x1，x2，x3，x4≥0

1．4分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1maxz＝10x1＋5x2

3x1＋4x2≤9st5x1＋2x2≤8x1，x2≥0

2maxz＝2x1＋x2

3x1＋5x2≤15st6x1＋2x2≤24

x1，x2≥0

1．5分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。

1minz＝2x1＋3x2＋x3x1＋4x2＋2x3≥8

st3x1＋2x2≥6x1，x2，x3≥0

2maxz＝4x1＋5x2＋x3

.3x1＋2x2＋x3≥18

St.2x1＋x2≤4

x1＋x2－x3＝5

3maxz＝5x1＋3x2+6x3x1＋2x2－x3≤18st2x1＋x2－3x3≤16x1＋x2－x3＝10x1，x2，x3≥0

4maxz=10x1+15x2+12x3≤9⎧5x1+3x2+x3

⎪-5x+6x+15x≤15⎪123st.⎨

x3≥5⎪2x1+x2+

⎪x,x,x≥0⎩123

1．6

2

1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。

根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。

问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？

请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？

试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本（元/千克每月限量（千克）

A≥60≥152.002000B1.502500C≤20≤60≤501.001200加工费（元/千克0.500.400.30售价3.402.852.25

1.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？

请建立此问题的线性规划模型。

月份789101112买进单价282425272323

1.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。

这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。

在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。

机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。

若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。

又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。

此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。

试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。

第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。

第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。

第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。

已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。

为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：

第一项工作10000小时。

第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。

又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。

试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。

使总的工资支出为最少（

3

第二章对偶与灵敏度分析

2．1写出以下线性规划问题的DLP1minz＝2x1＋2x2＋4x3

st

x1＋3x2＋4x3≥22x1＋x2＋3x3≤3x1＋4x2＋3x3＝5x1，x2≥0，x3无约束x1＋2x2＋2x3＝5－x1＋5x2－x3≥34x1＋7x2＋3x3≤8x1无约束，x2≥0，x3≤0

2maxz＝5x1＋6x2＋3x3

st

3maxz＝c1x1＋c2x2＋c3x3

st

a11x1＋a12x2＋a13x3≤b1

a21x1＋a22x2＋a23x3＝b2a31x1＋a32x2＋a33x3≥b3x1≥0，x2≤0，x3无约束

2．2st

对于给出的LP：

minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4x1＋2x2＋3x3＋x4≥2－2x1＋x2－x3＋3x4≤－3

xj≥0（j=1,2,3,4）1写出DLP；

2用图解法求解DLP；

3利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3对于给出LP：

maxz＝x1＋2x2＋x3

st

x1＋x2－x3≤2x1－x2＋x3＝12x1＋x2＋x3≥2x1≥0，x2≤0，x3无约束

1写出DLP；

2利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1

2．4已知LP：

maxz＝x1＋x2

st－x1＋x2＋x3≤2

－2x1＋x2－x3≤1xj≥0

4

试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5给出LP：

maxz＝2x1＋4x2＋x3＋x4x1＋3x2＋x4≤8

2x1＋x2≤6st.x2＋x3＋x4≤6

x1＋x2＋x3≤9xj≥0

1写出DLP；

2已知原问题最优解X＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6用对偶单纯形法求解下列线性规划问题1minz＝4x1＋12x2＋18x3

st

x1＋3x3≥3

2x2＋2x3≥5xj≥0（j=1,2,3

2minz=5x1+2x2+4x3⎧3x1+x2+2x3≥4⎪

st.⎨6x1+3x2+5x3≥10⎪x,x,x≥0⎩123

2．7考虑如下线性规划问题

minz＝60x1＋40x2＋80x33x1＋2x2＋x3≥2

st

4x1＋x2＋3x3≥4

2x1＋2x2＋2x3≥3xj≥0

1写出DLP；

2用对偶单纯形法求解原问题；3用单纯形法求解其对偶问题；4对比以上两题计算结果。

2．8已知LP：

maxz＝2x1－x2＋x3x1＋x2＋x3≤6

st－x1＋2x2≤4x1，x2，x3≥0

1用单纯形法求最优解

2分析当目标函数变为maxz＝2x1＋3x2＋x3时最优解的变化；3分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

5

2．9给出线性规划问题maxz＝2x1＋3x2＋x3

1/3x

1＋

1/3x2＋1/3x3≤1st1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3xj≥0

1目标函数中变量x3的系数变为6；

2分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变；3约束条件的右端由1变为2；33

2.10某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。

（2）原料A、B的影子价格各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A。

工厂是否应该购买该原料以扩大生产？

在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？

可增加多少利润？

3.5某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。

已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。

又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。

求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。

甲乙丙可供量

A54－1000

B16892000C1210112000

第三章运输问题

3．1

3．2

3．3

3.4某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。

假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）。

3.5光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。

已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：

如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，已知上年末库存103台绣花机，

每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元。

在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。

加班生产机器每台增加成本1万元。

问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？

3.6设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。

假设效果相同，有关数据如下表：

试求总费用为最低的化肥调拨方案

第四章动态规划

4．1

现有天然气站A，需铺设管理到用气单位E，可以选择的设计路线如下图，B、C、D

各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：

万元），试设计费用最低的线路。

4．2

一艘货轮在A港装货后驶往F港，中途需靠港加油、加淡水三次，从A港到F港全部可能的航运路线及两港之间距离如图，F港有3个码头F1，F2，F3，试求最合理停靠的码头及航线，使总路程最短。

F

4．3

某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。

4.4某厂有1000台机器，高负荷生产，产品年产量S1与投入机器数Y1的关系为S1＝8Y1，机器完好率为0.7；低负荷生产，产品年产量S2与投入机器数Y2的关系为S2＝5Y2，机器完好率为0.9；请制定一个五年计划，使总产量最大。

4.5某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。

A的生产成本费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。

仓库存货成本费是每月每单位为1元。

估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。

现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。

试问：

每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。

4.6某公司为主要电力公司生产大型变压器，由于电力采取预订方式购买，所以该公司可以预测未来几个月的需求量。

为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产计划，这四个月的需求如表1所示。

生产成本随着生产数量而变化。

调试费为4，除了调度费用外，每月生产的头两台各花费为

2，后两台花费为

1

。

最大生产能力每月为4台，生产成本如2所示。

表1

表2

4.7某工厂生产三种产品，各种产品重量与利润关系如下表，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6t，问应运输每种产品各多少件可使总利润最大。

4.8用动态规划方法求解

2

maxz=4x1+9x2+2x3

⎧2x1+4x2+3x3≤10⎨

⎩x1,x2,x3≥0

第五章存储论

5．1某建筑工地每月需用水泥800t，每t定价2000元，不可缺货。

设每t每月保管费率为0.2%，每次订购费为300元，求最佳订购批量、经济周期与最小费用。

5．2一汽车公司每年使用某种零件150，000件，每件每年保管费0.2元，不允许缺货，试比较每次订购费为1,000元或100元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。

5．3某拖拉机厂生产一种小型拖拉机，每月可生产1000台，但对该拖拉机的市场需要量为每年4,000台。

已知每次生产的准备费用为15,000元，每台拖拉机每月的存贮费为10元，允许缺货（缺货费为20元/台月），求经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．4某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费为5元/月件。

在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和40件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．5对某种电子元件每月需求量为4,000件，每件成本为150元，每年的存贮费为成本的10%，每次订购费为500元。

求：

（1）不允许缺货条件下的最优存贮策略；

（2）允许缺货（缺货费为100元/件年）条件下的最优存贮策略。

5．6某农机维修站需要购一种农机配件，其每月需要量为150件，订购费为每次400元，存贮费为0.96元/件月，并不允许缺货。

（1）求经济订购批量、经济周期与最小费用；

（2）该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。

因此，决定使订购和存贮总

费用可以超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。

5．7某公司每年需电容器15,000个，每次订购费80元，保管费1元/个年，不允许缺货。

若采购量少于1000个时，每个单价为5元，当一次采购1000个以上时每个单价降为4.9元。

求该公司的最优采购策略。

5．8某工厂对某种物料的年需要量为10,000单位，每次订货费为2,000元，存贮费率为20%。

该物料采购单价和采购数量有关，当采购数量在2,000单位以下时，单价为100元；当采购数量在2,000及以上单位时，单价为80元。

求最优采购策略。

《运筹学》习题集5．9．某制造厂在装配作业中需用一种外购件，全年需求量为300万件，不允许缺货；一次订购费为100元；存贮费为0.1元/件月。

该外购件进货单价和订购批量Q有关，具体如下表，求最佳订购策略。

批量（件）0≤Q＜10000单价（元）1.0010000≤Q＜300000.9830000≤Q＜500000.96Q≥500000.945．10．试证明：

一个允许缺货的EOQ模型的费用，决不会超过一个具有相同存贮费、订购费、但又不允许缺货的EOQ模型的费用。

5．11．下表：

某时装屋在某年春季欲销售某种流行时装。

据估计，该时装可能的销售量见1500.051600.11700.51800.31900.05销售量r（套）概率P（r）该款式时装每套进价180元，售价200元。

因隔季会过时，故在季末需低价抛售完，较有把握的抛售价为每套120元。

问该时装屋在季度初时一次性进货多少为宜？

第六章6．1排队论某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均3人/h，修理时间服从负指数分布，平均需10min。

求：

（1）店内空闲的概率；

（2）有4个顾客的概率；（3）至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客的平均数；（5）等待服务的顾客的平均数；（6）平均等待修理时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率。

设有一单人打字室，顾客的到达为为Poisson流，平均到达时间间隔为20min，打字时间服从负指数分布，平均为15min。

求：

（1）顾客来打字不必等待的概率；

（2）打字室内顾客的平均数；（3）顾客在打字室内的平均逗留时间；（4）若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h，则主人将考虑增加设备及打字员。

问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做。

汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s。

由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。

但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。

根据这一要求，分析采用新装置是否合算。

6．26．311

《运筹学》习题集6.4有一个M/M/1/5系统，平均服务率µ＝10。

就两种到达率λ＝6，λ＝15已得到相应的概率pn,如下表所示，试就两种到达率分析：

（1）有效到达率和系统的服务强度；

（2）系统中顾客的平均数；（3）系统的满员率；（4）服务台应从哪些方面改进工作，理由是什么？

系统中顾客数n0123451（λ＝6）pn,0.420.250.150.090.050.04（λ＝15）pn,0.050.070.110.160.240.3712