中职数学基础模块下册第七单元《平面向量》word教案.docx

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中职数学基础模块下册第七单元《平面向量》word教案

第 1 节平面向量的概念及线性运算

基础梳理

1．向量的有关概念

（1）向量：

既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的（或称）．

（2）零向量：

的向量叫做零向量，其方向是任意的．

（3）单位向量：

长度等于个单位的向量．

（4）平行向量：

方向或的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做向量，任

一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：

0 与任一向量

（5）相等向量：

长度且方向的向量．

（6）相反向量：

与 a 长度，方向的向量，叫做 a 的相反向量．

2．向量的加法运算及其几何意义

b

（1）三角形法则：

已知非零向量 a、 ，在平面内任取一点 A，作 AB ＝a，BC ＝b，则向量 AC

叫做 a 与 b 的，记作 a＋b，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ，这种求向量和的方法，称为

向量加法的．

（2）平行四边形法则：

以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作 OACB，则以 O 为

起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法

则．

（3）向量加法的几何意义：

从法则可以看出，

如图所示．

3．向量的减法运算及其几何意义

（1）定义：

 a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量

的．

（2）如图， AB ＝a， AD ＝b，则 DB ＝a－b.

4．向量数乘运算及其几何意义

（1）定义：

实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λ a，它的长度与方向规定如下：

①|λ a|＝|λ ||a|；

②当λ ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向；当λ ＜0 时，λ a 的方向与 a 的方向；

当λ ＝0 时，λ a＝0.

（2）运算律

设λ ，μ 是两个实数，则

①λ （μ a）＝（λ μ ） a；

②（λ ＋μ ） a＝λ a＋μ a；

③λ （a＋b）＝λ a＋λ b.

（3）两个向量共线定理：

向量 a（a≠0）与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ ，使 b＝λ

a.

典例分析

向量的有关概念

【例 1】 给出下列各命题：

①零向量没有方向；

②若|a|＝|b|，则 a＝b；

③单位向量都相等；

④向量就是有向线段；

⑤若 a＝b，b＝c，则 a＝c；

⑥若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB ＝ DC ， BC ＝ DA .

其中真命题是________．

向量的线性运算

【例 2】 （2010 年高考全国卷Ⅱ）△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB.设 CB―→

＝a，CA―→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则 CD―→等于（）

1221

3333

3443

5555

变式探究 21：

（2010 年山东济南模拟）已知平面上不共线的四点 O、A、B、C.若 OA―→

|AB―→|

－3OB―→＋2OC―→＝0，则等于______．

|BC―→|

向量共线与三点共线问题

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，

（1）若 AB ＝a＋b， BC ＝2a＋8b， CD ＝3（a－b），

求证：

A、B、D 三点共线；

（2）试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．

变式探究 31：

已知向量 a、b 不共线，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b，如果 c∥d，那么（）

（A）k＝1 且 c 与 d 同向（B）k＝1 且 c 与 d 反向

（C）k＝－1 且 c 与 d 同向（D）k＝－1 且 c 与 d 反向

易错警示

错源一：

零向量“惹的祸”

【例 1】 下列命题正确的是（）

（A）向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ，使 b＝λ a；

（B）在△ABC 中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；

（C）不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；

（D）向量 a、b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线

错源二：

向量有关概念理解不当

【例 2】 如图，由一个正方体的 12 条棱构成的向量组成了一个集合

M，则集合 M 的元素个数为________．

第 2 节平面向量基本定理及其坐标表示

基础梳理

1．向量的夹角

（1）定义：

已知两个非零向量 a 和 b，如图，作 OA ＝a， OB ＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a

与 b 的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ .

（2）范围：

向量夹角θ 的范围是[0，π ]，a 与 b 同向时，夹角θ ＝0；a 与 b 反向时，夹角θ

＝π .

（3）垂直关系：

如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.

质疑探究 

：

在ABC 中，设 AB ＝a， BC ＝b，则 a 与 b 的夹角是∠ABC 吗？

2．平面向量基本定理

如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有

一对实数λ 1，λ 2，使 a＝λ 1e1＋λ 2e2.

我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组．

质疑探究 2：

平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表示时，结果唯一吗？

平面内任何

两个向量 a、b 都能作一组基底吗？

3．平面向量的正交分解与坐标表示

（1）平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．

（2）平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底．对于

平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，

则有序数对（x，y）叫做向量 a 的坐标，记作 a＝（x，y），其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上

的坐标，a＝（x，y）叫做向量 a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相

等向量．

4．平面向量的坐标运算

（1）已知点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 AB ＝（x2－x1，y2－y1）．

（2）已知 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λ a

＝（λ x1，λ y1），a∥b（b≠0）的充要条件是 x1y2－x2y1＝0.

（3）非零向量 a＝（x，y）的单位向量为

1

|a|

⎨.

⎪⎩y1＝y2

xy

x2y2

提示：

不能，因为 x2，y2 有可能为 0，应表示为 x1y2－x2y1＝0.

典例分析

平面向量基本定理及其应用

【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中

点，已知 AM ＝c， AN ＝d，试用 c，d 表示 AB ， AD .

向量坐标的概念及运算

11

33

D 的坐标和 CD―→的坐标．

1

2

C，且 AC―→＝2CB―→，则实数 a 等于（）

45

（A）2（B）1（C）（D）

53

共线向量的坐标运算

【例 3】 （2010 年高考陕西卷）已知向量 a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1,2），若（a＋b）

∥c，则 m＝________.

变式探究 31：

（2010 年福州市质检）已知向量 a＝（1,2），b＝（－2，m），若 a∥ b，则 2a＋3b

等于（）

（A）（－5，－10）（B）（－4，－8）

（C）（－3，－6）（D）（－2，－4）

易错警示

错源：

对共线向量不理解

【例题】 已知两点 A（2,3），B（－4,5），则与 AB―→共线的单位向量是（）

（A）e＝（－6,2）

（B）e＝（－

3 10   10

10   10

－3 10103 1010

（C）e＝（，）或 e＝（，－）

10101010

（D）e＝（－6,2）或（6，－2）

第 3 节平面向量的数量积

基础梳理

1．数量积的定义

已知两个非零向量 a 与 b，其夹角为θ .我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），

记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ .规定：

零向量与任一向量的数量积为 0.

2．数量积的几何意义

|

（1）向量的投影：

 a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当θ 为锐角时，它是正数，当θ 为

钝角时，它是负数；当θ 为直角时，它是 0.

（2）a· b 的几何意义：

数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．

3．数量积的运算律

已知向量 a、b、c 和实数λ ，则：

（1）交换律：

a· b＝b· a；

（2）结合律：

（λ a）· b＝λ （a· b）＝a·（λ b）；

（3）分配律：

（a＋b）· c＝a· c＋b· c.

质疑探究：

若非零向量 a，b，c 满足①a· c＝b·c，则 a＝b 吗？

②（a·b）· c＝a·（b·c）恒成立吗？

提示：

①不一定有 a＝b，因为 a· c＝b· cc·（a－b）＝0，即 c 与 a－b 垂直，但不一定有 a＝

b.因此数量积不满足消去律．

②因为（a·b）· c 与向量 c 共线，（b·c）· a 与向量 a 共线．当 c 与 a 不共线时（a· b）· c≠a·（b· c）即向

量的数量积不满足结合律．

4．向量数量积的性质

设 a、b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，θ 是 a 与 e 的夹角，则

（1）e·a＝a·e＝|a|cos θ .

（2）a⊥b⇔a· b＝0.

（3）当 a 与 b 同向时，a· b＝|a||b|；

当 a 与 b 反向时，a· b＝－|a||b|；

特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.

（4）cos θ＝ a·b .

|a||b|

（5）|a·b|≤|a||b|.

5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题

（1）若非零向量 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 a·b＝x1x2＋y1y2.

（2）夹角公式：

若非零向量 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ 是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝

.

x12＋y12 x22＋y22

（

（3）距离公式：

若表示向量 a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为（x1，y1）， x2，y2），

则|a|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2，这就是平面内两点间的距离公式．

（4）垂直关系：

设非零向量 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

典例分析

向量数量积的运算及模的问题

【例 1】

（1）（2010 年高考天津卷

如图，在ABC 中，AD⊥AB， BC ＝

BD ，| AD |＝1，则 AC · AD ＝________.

（2）（2010 年高考广东卷）若向量 a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x），满足条件（8a－b）· c＝30，则 x

＝（）

（A）6（B）5（C）4（D）3

（1）向量的数量积有两种计算方法：

一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的

坐标来计算．

（2）利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下：

①若 a＝（x，y），则|a|＝ x2＋y2.

②|a|2＝a2＝a·a.

③|a±b|2＝a2±2a·b＋b2.

变式探究 11：

（2009 年高考辽宁卷）平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝（2,0） ，|b|＝1，则

|a＋2b|等于（）

（A） 3（B）2 3（C）4（D）12

两向量垂直问题

【例 2】 已知|a|＝5， b|＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，则当向量 ka－b 与 a＋2b 垂直时，

k＝________.

变式探究 21：

（2009 年高考宁夏、海南卷）已知 a＝（－3,2），b＝（－1,0），向量 λa＋b 与 a

－2b 垂直，则实数 λ 的值为（）

1111

7766

两向量夹角问题

11

22

（1）a 与 b 的夹角的大小；

（2）a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值．

变式探究 31：

（2009 年高考重庆卷）已知|a|＝1，|b|＝6，a·（b－a）＝2，则向量 a 与 b 的夹

角是（）

ππππ

（A）（B）（C）（D）

6432

数量积的综合应用

【例 4】 已知|a|＝1，|b|＝ 2.

（1）若 a∥b，求 a·b；

（2）若 a，b 的夹角为 60°，求|a＋b|；

（3）若（a－b）⊥b，求 a 与 b 的夹角．

易错警示

错源：

忽视角的范围而“惹祸”

【例题】设两个向量 e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1 与 e2 的夹角为，若向量 2te1＋7e2

与 e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．

第 4 节平面向量的应用

基础梳理

1．向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹

角等问题．设 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即 a∥b⇔a＝λ b（b≠0）⇔x1y2－

x2y1＝0.

②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即

a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

③求线段的长，主要利用向量的模，即

|a|＝ a2＝ x12＋y12.

④求夹角问题，利用数量积的变形公式：

即 cos θ＝cos 〈a，b〉＝＝

|a||b|

1 1 2 2

.

2．平面向量在物理中的应用

（1）由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体

应用，可用向量来解决．

（2）物理中的功 W 是一个标量，它是力 f 与位移 s 的数量积，即 W＝f· s＝|f||s|cos θ .

3．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，

当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知

数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

一是利用平面向量平行或

垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．

典例分析

向量在平面几何中的应用

【例 1】 如图所示，若点 D 是三角形 ABC 内一点，并且满足 AB2＋CD2

＝AC2＋BD2，

求证：

AD⊥BC.

变式探究 11：

在直角△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是（

（A）|AC―→|2＝AC―→·AB ―→

（B）|BC―→|2＝BA ―→·BC―→

（C）|AB ―→|2＝AC―→·CD―→

）

（D）|CD―→|2＝

（AC―→·AB ―→）×（BA ―→·BC―→）

|AB ―→|2

平面向量在物理中的应用

【例 2】 （2009 年高考广东卷）一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3（单位：

牛顿）的

作用而处于平衡状态．已知 F1，F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小

为（）

（A）6（B）2（C）2 5（D）2 7

向量与三角的整合

【例 3】 已知向量 a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），c＝（－1,0）．

（1）求向量 b＋c 的长度的最大值；

π

4

变式探究 31：

（2010 年河西区模拟）已知向量 a＝（ 3，1），向量 b＝（sin α－m，cos α），

（1）若 a∥b，且 α∈[0,2π），将 m 表示为 α 的函数，并求 m 的最小值及相应的 α 的值；

π

2

cos（π－α）

平面向量与解析几何的整合

【例 4】 （2010 年安徽巢湖模拟）已知 A（－ 3，0），B（ 3，0），动点 P（x，y）满足|PA―→|

＋|PB ―→|＝4.

（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；

（2）过点（1,0）作直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，求 OM―→·ON―→的取值范围．

变式探究 41：

（2010 年大连市六校联考）设 F 为抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点，A，B，C 为该

|

抛物线上三点，若 FA ＋ FB ＋ FC ＝0，FA |＋| FB |＋| FC |＝3，则该抛物线的方程是（）

（A）y2＝2x（B）y2＝4x

（C）y2＝6x（D）y2＝8x

易错警示

错源：

“共线”运用出错

【例题】 如图，半圆的直径 AB＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，

B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则（ PA ＋ PB ）· PC 的最小

值是________．

第 5 节复数的概念及运算

基础梳理

1．复数的有关概念

（1）复数的概念：

形如 a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若

b＝0，则 a＋bi 为实数，若 b≠0，则 a＋bi 为虚数，若 a＝0，b≠0，则 a＋bi 为纯虚数．

（2）复数相等：

a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d（a，b，c，d∈R）．

（3）共轭复数：

a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c 且 b＝－d（a，b，c，d∈R）．

（4）复平面：

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面． 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴．实

轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数．

（5）复数的模：

向量 OZ―→的模 r 叫做复数 z＝a＋b i 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a

＋bi|＝r＝ a2＋b2（r≥0，r∈R）．

质疑探究 1：

复数 a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是 a＝0 吗？

提示：

不是，a＝0 是 a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的必要条件，只有当 a＝0，b≠0 时，a

＋bi 才为纯虚数．

2．复数的几何意义

（1）复数 z＝a＋bi――→ ――→ 复平面内的点 Z（a，b）（a，b∈R）；

（2）复数 z＝a＋bi――→ ――→ 平面向量 OZ―→ （a，b∈R）．

3．复数的运算

设 z1＝a＋bi，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则

（1）加法：

z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；

（2）减法：

z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；

（3）乘法：

z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；

za＋bi（a＋bi）（c－di）

（4）除法：

 1＝＝

（c＋di）（c－di）

ac＋bdbc－ad

＝ c2＋d2 ＋ c2＋d2 i（c＋d i≠0）．

质疑探究 2：

（1）z1，z2 为复数，z1－z2＞0，那么 z1＞z2，这个命题是真命题吗？

（2）若 z1，z2∈R，z12＋z22＝0，则 z1＝z2＝0，此命题对 z1，z2∈C 还成立吗？

提示：

（1）假命题．例如：

z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3＞0.

但 z1＞z2 无意义，因为虚数无大小概念．

（2）不一定成立．比如 z1＝1，z2＝i 满足 z12＋z22＝0.

但 z1≠0，z2≠0.

（1）in 的周期性：

i4n＝1，i4n＋1＝ i， i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈ Z.

1

i

典例分析

（对应学生用书第 69 页）

复数的有关概念

【例 1】 已知 0＜a＜2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z|的取值范围是（

（A）（1,5）（B）（1,3）（C）（1， 5）（D）（1 ， 3）

思路点拨：

写出|z|的表达式，根据 a 的范围确定|z|的取值范围．

）

变式探究 11：

已知（x＋i）（1－i）＝y，则实数 x，y 分别为（）

（A）x＝－1，y＝1（B）x＝－1，y＝2

（C）x＝1，y＝1（D）x＝1，y＝2

复数代数形式的运算

3－2i

2－3i －2＋3i 等于（

（A）0（B）2（C）－2i（D）2i

）

变式探究 21：

（2010 年高考广东卷）若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1· z2 等于（）

（A）4＋2i（B）2＋i（C）2＋2i（D）3＋i

复数的几何意义

i

1＋i

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

变式探究 31：

已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为 A，B，

C.O 为坐标原点，若 OC ＝x OA ＋y OB ，则 x＋y 的值是______．

易错警示

错源：

对复数的概念理解不透

【例题】 设复数 z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数为 z ＝a－bi，则 z－ z 为（）

（A）实数（B）纯虚数

（C）0（D）零或纯虚数

篇末总结

平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为 1 道选择题

或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是

向量的概念和线性运算（如 2010 年高考湖北卷，理 5），数量积（如 2010 年高考湖南卷，文 6），

与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型（如 2010 年高考福建卷，文 11）．

复数是每年高考必考内容，题量为 1 道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意

义和代数形式的四则运算（如 2010 年高考辽宁卷，理 2）．

1．（2010 年高考湖北卷，理 

已知ABC 和点 M 满足 MA―→＋MB―→＋MC―→＝0，若

存在实数 m 使得 AB―→＋AC―→＝mAM―→成立，则 m 等于（）

（A）2（B）3（C）4（D）5

2．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，（2a＋b）· b＝0，则 a 与 b 的夹角为 （）

（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°

x2y2

43

点 P 为椭圆上的任意一点