高等代数与解析几何第七章13习题线性变换与相似矩阵答案docx.docx
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第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换?
(1)设「是线性空间"中的一个固定向量,
(I)'二Ir,-^r,
解:
当厂时,Jr--打'显然是〕r的线性变换;
当#Ho时,有□(坷+住J二0+坷+隔,o(坏)+讥础二20+兔+碍,则
「:
D27QI,即此时〕不是"的线性变换。
(H)Jr-.,弋「
解:
当•时显然是「的线性变换;
当PHo时,有τ(oi+a^=β,讥Q])+⅛⅞)二2Q,则
LI-J--■■■■4八-i''λ:
■,即此时L不是.的线性变换。
(2)在〔中,
(I)—」TII1',.■_'"■:
■,
解:
「不是丁的线性变换。
因对于L=Im二产,有=l-∣I-I-,
】「工-匚〕「,所以-'lO
(H)「■-■_■'.'.;
解:
一是厂的线性变换。
设八—,其中「一m,
则有]■■■1'心■!
T-■■-二〔〔
=(2Ul+λ)-(⅞+λ)-(⅞+λ)+(¾+λ)-2⅛+λ))γ=Φi+Λ⅞+ΛΛ+J⅛)=Φ+向
(ka)-τ(⅛xb⅛¾t⅛x3)=(2⅛x1-⅛¾j⅛¾+b⅛,2b⅛)
-■■■■,.■■I■,.⅛∣-JO
(3)在中,
(I)TTT=『;"■J
解:
:
一是十的线性变换:
设用门尹―,则
σ(/(©+并》二金+1)+g(x+l)二曲(X))+σ⅛(幼,
匚宀:
-‘m.τ∙'-'ι∖ (H)'-∙,其中'[是「中的固定数; 解: 】一是JL的线性变换: 设TLyT三「、一,则 口CW))==⑴),^keFO (4)把复数域「看作复数域上的线性空间,,其中亍是匚的共轭复数; 解: 「不是线性变换。 因为取;=,二二】时,有」"=— kσ(fii)=ka=i,即Ekg)H⅛σ(α)O (5)在中,设亠与工是其中的两个固定的矩阵,JT汇厂习•」 VXeM1(F)o 解: 乙是3Z八的线性变换。 对,「;—,有 am二P(JCX)Q=k(PXQ)=kσ(X)O 习题7.1.2在〔中,取直角坐标系U,以: 表示空间绕空轴由J轴向「方向旋转900的变换,以'表示空间绕J轴由一一轴向…方向旋转900的变换,以「表示空间绕一轴由二轴向]方向旋转900的变换。 证明一「: -匚;-丁(表示恒等变换), ⅛>R罠; 并说明L,是否成立。 证明: 在丁中任取一个向量■■-''l."-'1,则根据匚,*及: 的定义可知: J-「.1,「J「,—-一」, 恥二(VP),RIa=(-xry,z);RIa^(XiytZ),曲二(3⑵,R^a=(XtyiZ),即丽二Ka=EE二Q,故E=E=E“。 因为,: 「=、「J⅛「二! ERM珂厲閒=0W)=O”,-x),所以昭會。 因为.打匸一―上: 匚二—二--η√"---, 二「m—m,所以V二。 因为π∙;-Ii-■■'■■: ■1■■■: ■-—'■71'∙-L, 「一匚■--•;f√-‘‘,所以O 习题7.1.3在I中,「_——「「,MT=C「;,证明「丄Jo证明: 在F-中任取一多项式;」」,有 (E-τσ)f(^)=(στ)f(X)-(^σ)f(x)=(处巩幼-伉才㈡) -■V''1■";'-/1仃: ∖''f■: -/■': 1。 所以「二一- 习题7.1.4设],L是“上的线性变换。 若,证明 Crtr-τσk=d'(i>1)o 证明: 用数学归纳法证明。 当「二】时,有 σ2τ-τσ2=σ(στ)-τσ2=σ(τσ+e)-τσ2=(σr-rσ)σ+σ=εσ+σ=σ+σ=2σ命题成立。 假设等式对'■成立,即丁〔-二J ■〕也成立。 因有 CMT-TCrUl=σ{σkτ)-TC严=讥MW+τσA)-τσλ+1=⅛σλ+(OT-τσ)$ ∙-^l1'^',即等式对厂-[也成立,从而对任意自然数都成立。 习题7.1.5证明 (1)若「是「上的可逆线性变换,则]的逆变换唯一; (2)若「,L是「上的可逆线性变换,则工也是可逆线性变换,且 证明: (1)设}丄都是「的逆变换,则有^r^。 进而Ll■.-IL.匸匚匸二L。 即〕的逆变换唯一。 (2)因「,L都是「上的可逆线性变换,则有 √-.L^IC√L^1_1--^J,同理有'.^'ll^'I-L「气;IL-.^'lL- 由定义知工是可逆线性变换,J「一为工逆变换,有唯一性得 r二 习题7.1.6设「是「上的线性变换,向量,且「,二二,「〔二, ■都不是零向量,但jl.-j11。 证明“,「•二,丁J, '"」线性无关。 证明: 设I-;「匸i…「厂,依次用彳」[J可得 IL/-■■■■■.■■■'I-J1I,得■11,而■/-λ∣■11, 故;同理有: --二-•,得 即得〔";依次类推可得"一^■--^,即得F点一1,进而得/t=O 有定义知—,二工,丁J线性无关。 习题7.1.7设〕是「上的线性变换,证明「是可逆线性变换的充要条件为: 一既是单射线性变换又是满射线性变换,即: 是一一变换。 证明: 一I已知「是可逆线性变换,即存在L。 若」21,则 两端用TI作用即得;一J,因此〕是单射线性变换。 若任取二WT,则存在TF,使得;P,即〕是满射线性变换。 -已知二既是单射线性变换又是满射线性变换,即双射。 现定 义新的变换: 匚-',定有二一,且有•工',规定LH-,有「广汇二丁W;,同时有"-τ-'∙'=n■-■=■■■■,即有TI「。 由定义知「是可逆线性变换。 习题7.1.8设「是「上的线性变换,证明 (1).是单射线性变换的充要条件为U二「; (2)是单射线性变换的充要条件为■: 把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。 证明: (1)「已知〕是单射线性变换,对气m,则有 -—「心,由单射得,.,即丄二-厲 (U)已知kerσ=∖Cι},若S兔)=6⅛),则有6坷=°,得「7一一上「-,即得: 一: 故〕是单射。 (2)已知[一是单射线性变换。 设: J线性无关,现证 m∙⅛VWJ也线性无关。 令'.l-'√-√---,√-∙.',整理有σ(⅛+⅛+-+⅛)^θ,而0是单射,有⅛+^¾+-+⅛=θ, 已知: 忖TF线性无关,所以∖∖"J,故丄l∖-I].: **J 也线性无关。 已知〕把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。 若jl,-∖1,则有一H■11,并一定有-一=11O否则若匚一二■11, 则说明向量山二线性无关,而—丄•表示】一把线性无关的向量组变为线性相关的向量组,与条件矛盾。 而由-I-^-J-"可得∙"ι^l--j,即〕是单射线性变换。 习题7.1.9设R「是匚中全体可逆线性变换所成的子集,证明 「关于线性变换的乘法构成一个群。 (超范围略) 习题7.1.10设J是「上的线性变换,且^f-Λ-Λ-^.证明 (1)若'-I--J,则丄「一-; (2)若叩」丄忙则(二一片叮二厂Y「门 证明: (1)因为■、,;-■,.'-。 所以 还+①二©+®)"=°? +Oifljl+6fli+oJ=0i+fli6+qq+°i从而-^l-_"或上广'I'】。 又因为 f-: .! Λ,.H∣O 故j-<■O (2)因为J-……_一,JH-Vl,所以 (σ1+σ1-σiσ^=(σj+¾-σ1σa)(q+q—56) =⅛+qσ3-Wl爲+σ2σl+另-叩向-σι¾^σAσι+σ∖σAaι .'_.^\■/1J: : ■': ^ι<二二「二_~O 习题7.1.11设Ir与;分别是数域「上的P维与J维线性空间, : Jd是: 的一个有序基,对于: 中任意〔个向量,1\,证 明存在唯一的线性映射「「「,使「•’二f。 证明: 先证明存在性。 对任意的「,一有唯一的线性表达式 ff=⅞q+⅞¾-+⅞⅞ 我们定义. 显然有儿: 「,—: 「f。 现验证/为L到洛的一个线性映射。 (1)对任意的向量■.<-Γ.'∕√'-.1,.∖_.r,因为 -.∖-∖■-'-S由定义得 处+®=⅛+λ)A÷⅛+λ)A-+(⅞+λ)A =⅛A+⅞A-+⅞A)+CλA+^A"+λA) (2)对任意的;-J,因为1"∙j.∣τ二Jr=,由定义得 .'': .-'_一一∖-: l'p'+/'.■■「: ;。 所以/为「「到丁的一个线性映射。 再证唯一性: 若另有「到匚的一个线性映射-,也使得 叭a卜&,匸心丿。 则对任意向量一定有 φ)=x⅛)+ι⅛)+z⅛) 二T: H: W二O 由“在“中的任意性,可得“dO 习题7.1.12设「与洛分别是数域J-上的「维与J维线性空间,是线性映射。 证明汽P是「的子空间,/「是匚的子空间。 又若世疗有限,证明二mW: 二。 这时称二H为,;的零度,称门W为"的秩。 证明: (1)先证次Y与分别为「与「的子空间, 对∖⅛JeF,血,0EkerP,有=⅛^α)+∕fP^=⅛0+∕0=0, 所以応+H三T,故: m为「的子空间;同理,对F-F, „斗K,则丄—…,使F丄—二,F「-,所以 M+/0二七贰R)+城0)二冰R 所以八J为;的子空间. (2)再证二二二二;‘、-: 二I 因工1「有限,不妨设: 二丁二「,二二1三、门二",在山Y中取一个基 ■■"'"",j''u'∙,再把它扩充为「的一个基比“,贝y ^'l∙d"∙ljr'l,-∙是像空间丫匚八的一个基. 事实上,对…,存在【―,使得「m。 设一…】-“L"-i∣-∣÷"-,则有 Of=XQO=^xl¾+¾¾+"÷¾⅛+⅞tJ‰+M'+⅞¾)話他%)+枷⅛)i城¢9)+和血^l)+…+聊他) =¼l^÷l)+-+^⅞) 即/八中的任意向量都可由…y线性表示。 现证向量组X■线性无关: 设-1,有即 U-.「: J,所以向量I…1「可由向量组 ■■■'■--j''j-∙线性表示,进而有 "一、+…+【.I】]二一1二+--+\〔.,整理有 皿_「「■-_∖∙.''.^, 又因: 线性无关,所以必有.」;;-「S因此…0匚线性无关,即";,1: ;! ': 为/八的一个基,故dimkerp+CIirTI疏卩)-π-dim7O 习题7.1.13证明关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法 与数量乘法构成」上的一个线性空间。 证明: 现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数 量乘法: 「;都是从「至打'的线性映射。 事实上,对j,七打,有 (卩+肖)@+耳二與1+0)+減r+R=跑)+饥®+呎②+以® =血M+血))+(跃E+M)=(卩+卩)®)+(卩+0⑷ (卩+肖)他)=磁庄)+If^kd)=k(φ(a)+虹M)二k(ιφ+ψ)(a) 故二1l"为「到匸的线性映射。 同理,对,有 (如)®+间=姒&+①二饥农)+殒®)匸(紳)紂+〔炯側), 仗初GG)=肿Q②=Id妙)=比疏U)=l(kφ)(μ) 故P为「到二的线性映射。 另外线性映射的加法匸1L''与数量乘法显然满足: (1)结合律: 『/仁3=&-閃-下 (2)交换律: 0r"旷Y (3)存在零线性映射D,对,有J「L; (4)对,有负线性映射一广,使得f1■'■'■'■; (5)J-;(6)匕半二"F;(7)」書j和S (8)。 其中,-e「-l∣■■■■' 所以匚厂丁关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成J上的一个线性空间。 习题7.1.14证明: 二丄: 「二LFJ: 山「。 证明: 设「为「维线性空间,「为4维线性空间,即一二一τ'J, : 。 取定「的一组基: ;: 1和;的一组基'.-J'"''.。 令」为=L';、到」%的如下映射: 』;∙I,其中二为〕在基■? 'j,J与基■一下的矩阵。 这样定义的/是丄匕'到丄曲L的同构映 射。 事实上, (1)若』ι-ι二一,「■「_■m,且匚「,则有'i-^^J: ;”匚..二、上,J心。 由于+-二,对每一 个嘟有: 上「T,故有-■-■'J,即F是单射。 (2)仏(讣Y(町,令 XJ=^,A,-Λ)7 (%丿 则存在唯一的线性映射: 使得Xj■■'<'■■'■■■",并且 0©陶…吗)旳必,…必)出血…成M 由此可见,"是满射。 (3)对T一」;,P二,有丄1三,其中—f「即有.1: ;: ■;.-;.! /-,.-N'...■: ^'l/L■-l'^J,所以 (⅛σj+⅛l¾√l⅝)=(iqX¾¾Λ>¾) “冰备%4+/0■血縮心)"(A息…心)A+∕(A席-調出 : W-IdJ,故有J"j 「I到二“「的同构映射。 进而有 工: 「•『二lζ.Λr>^->.τι7∣-.Jr: O 习题7.2习题7.2.1求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵: (1)的线性变换」-丄一二,丄一一,其中 为固定矩阵。 求■■: J在]「一丄这个基下的矩阵; (2) PQ二IlA=為 设ymj∏ρ是线性空间Tj的线性变换,求〕在基,Pi二b(“l)…依—i+B二2,…E 汕下的矩阵; (3)6个函数: £=产8曲,N二产汕忙艮=X代皿X, Z1 Ji=XefflSinh,Z二产 6维线性空间。 求微分变换 的所有实系数线性组合构成实数域上一个在基「.宀下的矩阵。 解: (1)由: L的定义直接可得: 5(禺i)= ⅛⅞1)= 巧(禺2)= ⅛Yι 3八O ⅛Yo ⅛Yo ⅛VoH丿I 1卜 CjIQ 0 0 ab}bej'adyCd)0bdj护丿 =dta⅛÷abEn+λc¾+Ac¾ =acBll+adS12+c2E21+cdE21 =abEn+⅛⅛12-^-adE2l+bdE^ 二bcE11+bdSu+cdE21+d2S22 。 所以上在LT一一…这个基下的矩阵为 6(&1)= 6(Eu)= 6(Ed}~ ⅛Yι ⅛Y0 41 ⅛γo 0]C OrL Io (b ah护adbd 0丿 (? 0丿 b^∖ Ad Cd =aEvι+CE^ -bEl2+dEi OA⅛0di 所以',在-./zI--..--这个基下的矩阵为 Q0b 0λ0 COj O (2)由—直接可得: 戌Pa)=SI)=I-I=O j―(T(X)=XH-Jl-X=I=PQ 咖)=碍X(XT))=补⅛÷1)jγ-∣Φ-I)F5⅛)二σ([x(x-1)…仃τ+1))=耳4 m 下的矩阵为: 换讣站如1)…S+1))=1 所以在基—一严- S1O…o'1 OoI-O OOO-I 卫OO…O八 (3)由微分运算性质直接可得: D(JI)二^aXCoSbX)t=afrbf2, D(A)=(X产COSbx)t=∕ι+^-⅞∕,4, m-上,d, MS)=(Aye。 时=人+妇现, DS)=(Py$讥卅=/+町+应。 所以微分变换在基〔宀下的矩阵为: 厂a b 1 0 00 -b a 0 1 0 0 0 0 a b 1 0 0 0 -b a 0 1 0 0 0 0 a b 3 0 0 0 -b a 禺二召輕心)B=^ 习题722设是「的一个基, 已知线性无关。 证明: (1)存在唯一的线性变换」,使「〔,: •「l,'; (2) (1)中的」在下的矩阵为匸T; (3) (1)中的」在基T八…二下的矩阵为λ∙■O 证明: (1)因为〔IJ线性无关,所以y∙j也是「的一个基。 故对「的一个基及,个向量■■I-■-■',定存在唯一的线性变换L,使=J。 (2)由已知条件有 (坷心厂,A)=(q怠…屁M,(A,你…层)=(勺血…屁)B, 其中H与—Jr都是Ir的基,所以X可逆,且有— L,l',∙''I,进而有! ■■-"■■■.1■■■1。 再由 (1)得 ■■■■,-∙∣∕. 的矩阵为」Iro (3)类似有 嚕,跖…疋J=比f⅛O⅛P…屛)4=(A'傢…‘瓦)虫=(勺局,…島)別,所以」在基Fn下的矩阵为λ. 咆)= 其中 I 3丿 6 r-ħ ¥ 0 1 -1 <2 <1> I°丿 O ½= O 习题723在」中,定义线性变换匚为 j50-宁 JlO3、 (GI尼鬥) O-I-I (¾i¾t⅛) 01-1 曲曲泌)= <369丿 <210; (1)由定义知 解: C⅛*a,⅞)0 <3 -1 6 -1 9丿 2 <2 故「在基下的矩阵为: (2)类似有 61 -1b f-5 一4 0 20 -5 18 -2C∣1 -2 24; 27 -5 18 -2 24 所以有 JIe)3' -1 广-50-5) 01-1 =角) 0-1-1 Sq局,构)Z <210, <369; Jlo3、 -1 ≡ 01-1 <≡10> -50-5 ∖/-I- 33> (-52O- -20^ f-50-5、 JIO3、 -1 J50-5> C⅞-¾.⅞) 0-1-1 01-1 0-1-1 的丿泌)二 36匚 =⅛l-¾>¾) <2】0丿 <36‰ 习题724在」中, r 1 矩阵是I" η 0 IJ 51= 线性变换〕在基 11丿, 下的 已 -1 Oi册旳)1 知 OA 求〕在基下的矩阵。 <1 ⅛P¾.¾)I 1-1 故0在基3下的矩阵为: I-1 4 Jl-33\ <-50 <235^ 1 261 0-1-1 -10-1 2-1b <369丿 二 LllCj O 35、 0-1 10八 Jl13 -I <10P Jl10、 101 =⅛ι-¾∙¾) 110 101 J-IIJ <-12b <1-1b -1 则有 Jl10、 <ι0P Jl1-F 「-11-2、 101 110 01-1 =⅛b¾r⅞) 220 J—11」 厂12b J0b C02, σ(⅛%f⅞)=σ(¾^l¾) 即。 在基勺鬥鬥下的矩阵为: I 习题725设数域「上3维线性空间L的线性变换匚在基下的矩阵为 仙】al2 t321a22a23 √⅛⅞1aZlJ (1)求〕在基下的矩阵; (2)求〕在基下的矩阵; (3)求「在基勺=二∙⅛∙¾下的矩阵。 解: (1)由已知可得 隔)二"13坷十"汨岛+“33陶=陶3憩+阿3憊+陶3坷^¾)^⅛¾^⅛¾+¾¾-⅛⅞^¾¾,TqI二「[二LyTI二口二乙心Iι'l'j¾: L-L^O 所以】一在基'IL下的矩阵为: (2)由已知可得 S坷)Z仓碣+绑⅞+範Iq二dfιι¾+i1(¾1t<⅛+¾fl⅛,0^上盘J—上坷2珂++二+Q? *冏+ICCt^o^ 罠隔)二如坷+¾¾+¾¾=+上S幽¾+砌斶O 所以0在基珂比%下的矩阵为: < (3)由已知可得 Sq+妁ZSGj+S&JZ(坷1+¾)¾÷(fl]i÷βjj)¾+(⅞ι+⅛)¾=(fl⅛l+fl∣⅛)(i⅛+fl¾)+⅛1÷¾-Jii-¾)¾+(‰+⅜3)fl⅞ *aU^aLtl⅛⅛^1¾1a22⅛^1ι¾5 £? 3]⅛dJjjβjj I=.j'-,λ: -! .∖∙∙λ'.∙,■! ;: 「、.: 二丄]IJI'! 二」;二'<√! λ∙-., 所以】-在基下的矩阵为: 『QlI+如 fl⅛丰角旬1一$比Q∖.(¾+∣‰ [∣! JJ二J: W: ! 芯: 二: 二j.: IQ: ;.I「.”: .牛二Jijj比。 O 习题726在「维线性空间「中,设有线性变换「与向量二使-Il--l'",但「「'厂“。 证明: 在〕「中存在一个基,使: 一在该基下的矩阵为 SOOM IO-Oo 01-00 卫0…10八 证明: 由习题7.1.6知: P维线性空间「的向量组二,「‘工,二,■」线性无关,且有P个向量,即构成「「的一组基,而线性变换〕作用此基有: 二二二「'「, σ(σ(α))=σj(α) 讥产(⅛)=Usa(O), -lJ■■-「-O 故〕在基二,H,J」,「—Z下的矩阵为: rOOO3 10*00 OI--OO 卫0…10八 习题727设-r''^l是数域J上「维线性空间「的全体线性变换组成的数域「上的线性空间,试求「…丄'V',并找出匚中的一个基。 求证: 任取“的一组基I1,令/为--'∙'^ι到的映射: 八丨,其中宀J。 由引理726及定理7.2.7知/■为同构映射,即VLe。 所以它们的维数相同,而 dim-√,故伽HyQ=『。 现取「厂匚r^^^l,、「「「「,使得 何%…心吗,即血沪吗,fj=12…岸。 已知吗,订=12…"是l'J''的一组基,故「J,: id为的一组基。 习题728证
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