考研线性代数部分.docx

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考研线性代数部分

今年的线性代数题目有这样两个个特点：

一、以计算为主，二、注重基础。

具体题目考点分布如下：

第5题考查的是非齐次线性方程组解的情况的判定；

第6题考查的是用正交变换化二次型为标准形；

第13题考查与A相关联矩阵的特征值的求法以及特征值的性质；

第20题第

（1）问既可以通过矩阵的行列式等于0求出中的未知参数，也可以利用矩阵的乘法来计算，这一问只要计算准确问题不大；第

（2）问是求解矩阵方程；

第21题第

（1）问考查利用相似矩阵的性质求矩阵中的参数，第

（2）问考查的是求可逆矩阵，使为对角矩阵，都是常规题型。

具体如下:

广111>

『1、

（5）设矩阵N=

12a

J4小

Tb=

d

、心

若塞合C={l,2}‘则线吐力程组Wx=办有

无力多解的充分必耍条件为（）

（A）ne£7,i/e£2

（B）口圧C2,NeQ

（C>aeQ.c/Q

（D>£/e£!

【答案】D

rl11

t、

r\tII"

【解析】（川上）=

12a

d

—►

0I0-1c/-l

J4a2

.00（C7-l）（47^-2）<^-1X^-2^

市尸（？

0=尸（*"）v3*故o=l或a=2

同时£=丨或^=2.故堆（|j）

W）设二次型/（巧,毛,鬲）在山空变换x-Py'卜的标海形为2屛十环一送・其中

P={e{3e^es）.若@=（©"-巧.件）・则/'（爸》也，码）在7E交变换大=©■下的标海形为（}

（A）2并一丈十丈

（»）2y,2+J；-K

（G2yf-X

（0）2X+X+X

【答案】（A）

[斛-析】由x=Py'^故/=x1Jx=y（PfAP）y=2」f+—y；•R.

<200>

P1AP=0I0

&0f

f\0（T

Q=P001=PC

WT°丿

「200、

QtAQ^Ct[PtAP}C-0-10

卫0L

所Vkf=x1Ax—y}（QrAQ）y=2yf—jf+y;。

选（A）

2

〜1

0•-

2•-

0

0

2

2

（13）"阶行列式

B'

♦*

»

■'

*

屮

*

0

0…

2

2

0

0•-

2

【答案】2小一2

【解析】按第行展开得

2

-1

0…

2…

0

0

2

2

D严

■K■占

“2」+（-】严2（7严=20-+2

0

0…

2

2

0

0…

-1

2

=2（2;+2）+2-2'/Jh2+2'+2=2"2,r1+…+2

=2"'1_2

（20）（术题满11分）

设问隊组码卫“5内f的一个禹’fj产2伦・/?

产瑪+仏+1）.

⑴证明向业组仇伙风为L的-个轶

（］|>当k为何值时*存在菲0向量孑在基务佝皿3•与基件尿久下的坐标相同,并求所有的

亠

【答案】

【解折】⑴证明：

（久氏■角）二（2码+2燃罪2旳吗+仇+1）色）

<201、

=仏/”务）020

申02丿

2

0

1

21|十。

0

2

0

=2

2k2

2k

0

A+l

1

故厲屈屈为2的一个蠡

E—k、0\+k2P^+去303-去冋+k2a2+直淬厂$丰0即

代（/*-冏”$（0厂闵）+相（禺1佝）=幺亿1.2,3

k、隅一％）十息（2a2一还｝+&丨阿十（K十I）込一czj=0/（馮+2也J卡爲（色）+右（a円q|=0和非零解即也+肚隔:

冬皿|+'程」二。

\01

即0]0=0,得kN

2k0k

堀+k2a2+忍內二0

二k2=0&+爲=0

g=&%-IC\%占h0

（21）《木题满分II分）

ro2

T-2（T

设範阵片・

-13-3

相價于葩阵B=

0ft0

J-2j

卫3

⑴求口上的鮒

（II）求可逆矩阵P・P~yAP为对角矩阵+

【解析】

（1）A-B^ir（A）=fr（B）^>3^a=\+b±\

02-3

1亠2

0

A-=>

-13-3

=

0b

0

I-2a

03

1

f0

2

-希

<1

0

o）

Jl

2-节

-1

3

-3

0

1

0

+

-1

2-3

<1

-2

3

0

b

1

-23）

J]

2

J

C=

-1

2

-3

=

-1

（1

-2

3）

J

-2

3,

（⑴

■-!

：

-（：

C的特征«^=^=0.^=4

2=0时（0E-C）x-0的是础解系为石=（2丄0）r;^=（-3,0.1/

2=5时｛4E-f）x=0的基础解系为區=（-L-IJ/

A的特征值為=1峠无：

1丄5

广2-3-T

令P二谄花，血2\0-I・

卫】J

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2D"考研魏学二頁謹解析：

特AE值与特BE向重心」

+J

特征值与特征向里是考硏数学线性代數中理论性比较强的一个模块、也是矩阵曲甬化的核心。

在这一章中，关于特征值的计算、特证向量的求法"持征值与特征向星的性盾以尺拒阵对角化的问题，是线性代教的核心，是每年必考的內容。

下面老师对令年线代代数题目中特征值与特征向重的考查作如下分析。

心

［数二用軀】设二次型/齢也小）在正交变换的标准形为2胃+远-工一其中

p=包甩魯）一若o=（%弋角），则f（斗总,亟）在正交变换下x=gy的标淮开納<»

（A）2^-yi^y；.

2x+i：

+>^

【分析上此题考弯的是特征值与特征向里的性盾以及二次型的标淮化&r

因为H兀七£）经过正交吏捉疋瓏PF化为标淮型即；*?

一元…

所以>1的特征值为心・2厶=1丿壬=T，其对应的特征向星为惑„厂+J

因为即一旳，砖为特征值丄1=2Zz；=—Lm=1对应的特征向量*亠

所以X=OYT二次型的标准型为2〕—疋，应选3）2

［数二□题】设孑阳矩阵d的特征值为2*亠B=A--A-£t算中王为3阶单位矩阵，

则行列式0卜屮

1分析〉此题考查的关联矩阵的特征值的计算艮特征值的性质■>P

【解出呂的特征值为:

2：

—2-1=3—

（_2）:

-（-2）+1=7I祕

1"—1丰1=1，卩

因行列式等于特征值之积，故|£|=21*a

-2忙

b02

31；

52-1打仃

（救二•芻駆】设矩臨*-13-3相個于拒阵月「0

11一2仪”

（I）求各占的值*

（H）求可逆拒降八使曲为对角矩阵…

【分析上此题考查矩阵相似的必要条件・矩阵相似対角化下求可逆矩阵F,

【解八

门）因为所以

从而

Y,解得^=4^=5^

\2a-3=b

乂-1

20

由?

E—Sp=

0

2-50

0

-3A-1

y-ir（2-5）=o得+

（II）因为A-B,所以儿百的特征值相同，a

'1-23、

rl-2巧

由E—A=

1-23

T

000

_12-3

®00,

将龙=1代入（征一A}X=O^即=

4A的特征值为A=z;=17Z5=5

且的厲于特征值2=1的线性无关的特征向里药硯=

1

皿=

0

屮丿

得心

r5-2丁

r\-2-f

rl-2-f

r\or

由5E-A=

123

T

123

—►

044

—>

011

.-121

X/

?

-23,

v088

卫oo丿

将z=5代入（疋-£）X=0,郎（5E-.4）X=Ot*

得a

A的属于特征值久-5的线性无关的特征向里为血=

「2-3-F

（10M

令戸=

10-1

，则盯肿=

010

04

』i1,

卩03

此三题考查的都是特证值与特征向重的性麗与相关计算，都属常见题型，没有难度£0"考研复习的亲们，对于此複块的JDiR-要求把基础槪念、性质、方法對i到位即可，没必要做衣琏的题目°*

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2015考研数学（三）线性代数20*21题答案及考点分析卩

2015数学三考试已经结束，想必犬家一定会喜忧参半j喜得是題目感觉都见过，在复习的时候老师类似的题目都讲过，忧的是自己的计算是否准确。

纵观整套试卷，几乎没肓不能下手的题目，以^性代数的丝道大题来说，只要大赢细心不出现计算错误，相信有很多学员能篁到大部分分甚至满分。

a

加题第（D问既可以通过拒阵月的行列式等于0求岀月中的未知參瓶也可以利用矩阵的乘法来计算，这一風贖计算淮确冋题不大,第（R冋是求解矩阵方程，罡一种常见的考题，其解法大致分两步进行:

先整理化简方程找卩通过移项」合并同类项、標取公因子」将原方程化简整理成PXO=E的形式，然后计算，切忌一开始就代入已知数据计算，那样会使运算复杂化，费时易错。

亠

21题也是两问，第（D问考查利用相似矩阵的性质求柜阵中的参数丿第冋考查的是求可逆使卩】肿为对角矩阵，都是常规题型*#

这两道题的答案如下：

*

<20）（本题满分11分）a

21ov'

设矩阵卫=1住-1,且才=0一屮

1°1a；

求□的值…

若矩阵x满足x—加—曲洛其中己为3阶，求

【解―

（I）由川=0得|血=0,4

「010\

由A|=a~—0得a=0,故/=10—1◎卫10；

<11）由=£得2

（E-A）X-（E—A）XA—E、进一步整理得『

（£—A）JC（E——Ej贝k

X=（E-^-1（E-A1y\p

ro-r

r_io[

r°°】\

000

}E—A—

-iii

j=

010

Jo-I

卫tb

-10L

r1-10100"

^1-10100"

由（E—AiE}—

亠111010

001110

、Q-11001

卫一1100

再由0

r0

5-2CP

设矩阵*N

-13-3

删于矩阵号=

0b0

、1一2J

B31,

（21）（本题满分11分）

（II）因为A-B,所CU上的特征值相同,p

□-1

010

0〕

广10021-T

T

01

-100

-1

T

01011-1

、00

111

0.

1

001110/

a1-r

3—宀

11-1

J卫

110」

x-12

0X-5

0-3

0

0=（z-l）;（z-5）=0得杆

40的特征值为礼士召7嘉=仇4

（1-2

3、

*1-23'

1-2

3

―

000

1-12

.000

由E-A=

将2=1代入（2E-A）X=0.即（E—&X=Q,屮

r

A的属于特征值X=1的线性无关的特征向量为=

1

:

旳=

0

丄

将z=5代入（/£-A）X=Of即（5E-.4）X=OrQ

得"

广5-2

3、

-2

fl

-2

-1）

0

】）

由5E—A=

12

3

T

1

23

0

斗

斗

0

1

1

「12

1

0

一2匚

S

S>

0

0

0」

3

/的属于特征值Z=5的线性无关的特征向量为冬=-1

得心

2-3-I]H

1°

令P=10-1,则P^AP=01

卫0