立体几何题型的解题技巧适合总结提高用.docx
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立体几何题型的解题技巧适合总结提高用
第六讲立体几何新题型的解题技巧
考点1点到平面的距离
例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱ABCABG的所有棱长都为2,D为CG中点•
(I)求证:
ABt丄平面ABD;
(□)求二面角AA,DB的大小;
(川)求点C到平面ABD的距离.
例2.(2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥QABCD勺高分别为1和2,AE=4.
(I)证明PQL平面ABCD
(n)求异面直线AQ与PB所成的角;
(川)求点P到平面QAD勺距离•
P-ABCD与
考点2异面直线的距离例3已知三棱锥SABC,底面是边长为4._2的正三角形,棱
SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点,求CD与SE间的距离.
考点3直线到平面的距离
考点4异面直线所成的角例5(2007年北京卷文)
以直线AO为轴旋转得到,且二面角BAOC的直二面角.D是AB的中点.
(I)求证:
平面COD平面AOB;
(II)求异面直线AO与CD所成角的大小.
例6.(2006年广东卷)如图所示,AFDE分别是OOOO的直径•AD与两圆所在的平面均
垂直,AD-8,BC是OO的直径,AB=AC=6,OE/AD
(I)求二面角B—A—F的大小;
(n)求直线BD与EF所成的角•
考点5直线和平面所成的角
例7.(2007年全国卷I理)
四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面
AB2,BC2.2,SASB3.
(I)证明SABC;
(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.
考点6二面角
例&(2007年湖南卷文)
如图,已知直二面角PQ,APQ,B,C
直线CA和平面所成的角为30°.
(I)证明BC丄PQ;
CACB,BAP45°,
(II)求二面角BACP的大小.
例9.(2006年重庆卷)如图,在四棱锥P—ABCD中,PA底面ABCDDAB为直角,AB||CDAD=CD=2ABE、F分别为PCCD的中占
I八、、■
(I)试证:
CD平面BEF;
(n)设PA=k・AB且二面角EBDC的平面角大于30,求k的取值范围.
考点7利用空间向量求空间距离和角
例10.(2007年江苏卷)
如图,已知ABCDABQP是棱长为3的正方体,
点E在AA上,点F在C®上,且AEF®1.
(1)求证:
E,B,F,Di四点共面;
2
(2)若点G在BC上,BG,点M在BBi上,
3
GM丄BF,垂足为H,求证:
EM丄平面BCCE;
(3)用表示截面EBFDi和侧面BCCiBi所成的锐二面角的大小,求tan
例11.(2006年全国I卷)
如图,I1、12是互相垂直的两条异面直线,MN是它们的公垂线段,点AB在
li上,C在I2上,AM=M^MN
(I)证明ACNB
(II)若ACB60,求NB与平面ABC所成角的余弦值
考点8简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断
例12.如图
(1),将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚
线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为时
容积最大.
例13.如图左,在正三角形ABC中,DE、F分别为各边的中点,GHI、J分别为AFADBEDE的中点,将△ABC沿DEEFDF折成三棱锥后,GHWIJ所成角的度数为()
A、90°
F
B60°
O
0°
C45
例14.长方体ABCD-ABCD中,
..下载可编辑..
1
设对角线DB与自D出发的三条棱分别成%、卩、角
求证:
COS2a+cos23+COS2=1
2设DB与自D出发的三个面成a、3、角,求证:
2、2小_2
COSa+COS3+COS=2
考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算
例15.如图,在三棱柱ABC-ABC中,AB=J2a,BC=CA=AA=a,
A在底面△ABC±的射影O在AC上
1求AB与侧面AC所成角;
2若O恰好是AC的中点,求此三棱柱的侧面积
例16.等边三角形ABC的边长为4,MN分别为ABAC的中点,沿MNWAAMt折起,使得面AMh与面MNC所成的二面角为30°,则四棱锥A-MNC的体积为()
A、-B、一3C.3
22
例17.如图,四棱锥P—ABCD中,底面是一个矩形,
AB=3,AD
••下载可编辑..
=1,又PALABPA=4,/PAD=60°
1求四棱锥的体积;
2
求二面角P—BC-D的大小.
例18.(2006年全国卷H)已知圆o是半径为小圆,且圆O的面积与球O的表面积的比值为与R的比值为
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1.如图,在正三棱柱ABGABC中,已知AB=1,D在BB上,且BD=1,若AD与侧面AACG所成的角为,贝U的值为
()
3.
45角,则此直线与二面角
在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成
的另一平面所成的角为()
D.90
A.30B.45C.60
4.
如图,直平行六面体ABCDAiBiCD的棱长均为2,
60的二面角,则
MP与NQ间的距离等于()
A3
r3c
6
A.a
B.aC.
a
D.a
2
4
4
4
&二面角l
的平面角为120,在
内,AB
l于B,AB=2,在内,CDl于D,
C!
=3,BD=1,M是棱I上的一个动点,则AMCM的最小值为()
A.25B.22C..26D.2、6
9•空间四点AB、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在
线段CD上,则P与Q的最短距离为()
A1C2厂
A.aB.aC.
22
10.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a,现有一张正方形包装纸将其完全包
住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为()
11•已知长方体ABCDABCD中,AA=AB=2,若棱AB上存在点P,使D,PPC,则棱AD
的长的取值范围是()
90
60D.
二、填空题
1.如图,正方体ABCDABCD的棱长为1,E是ABi的中点,则下列四个命题:
1
E到平面ABCD的距离是丄;
2
直线BC与平面ABCD所成角等于45;
空间四边形ABC[在正方体六个面内的射影围成
1
面积最小值为一;
2
BE与CD所成的角为
10arcsin
10
2.
如图,在四棱柱ABCD-ABCD中,P是AC
上的动点,E为CD上的动点,四边形ABC萌
时,体积VAEB恒为定值(写上
3.
4.
你认为正确的一个答案即可)
边长为1的等边三角形折起,使得折后二面角BC的距离为
为.
在水平横梁上AB两点处各挂长为50cm的细绳,
AMBNAB的长度为60cm在MN处挂长为60cm
的木条,MN平行于横梁,木条的中点为Q若木条绕过O的铅垂线旋转60°,则木条比原来升高了
ABC中,沿BC边高线AD
BADC为60°,则点A到
.,点D到平面ABC的距离
5.
多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的•如图正
方体的一个顶点A在平面内•其余顶点在的同侧,
正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是
1、2和4.P是正方体其余四个顶点中的一个,则
①3;②4;③5;④6;⑤7.
以上结论正确的为
(写出所有正确结论的编号)
P到平面
的距离可能是:
6.如图,棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔
(不计小孔直径)0、Q、Q它们分别是所在面的中心•如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是m3.
三、解答题
又CMLAC;
(1)求证:
CMLGD;
(2)求AA的长.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是矩形且AD=2AB=PA=2,
PAL底面ABCDE是AD的中点,F在PC上.
(1)求F在何处时,EF丄平面PBC
(2)在
(1)的条件下,EF是不是PC与AD的公垂线段.若是,求出公垂线段的长度;若不是,说明理由;
(3)在
(1)的条件下,求直线BD与平面BEF所成的角.
3.如图,四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCDSB=J3.
(1)求证BCSC;
2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
4.在直角梯形ABCD中,D=BAD=90,AD=DC=1AB=a,(如图一)将厶ADC沿AC折起,使D
2
到D.记面ACD为,面ABC为.面BCD为.
(1)若二面角AC为直二面角(如图二),求二面角BC的大小;
2)若二面角AC为60(如图三),求三棱锥DABC的体积.
的中点.
5•如图,已知正方形ABCD^矩形ACEf所在的平面互相垂直,AB<2,AF=1,M是线段EF
(1)求证AM平面BDE
(2)求二面角ADFB的大小;
(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与
BC所成的角是60.
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