逻辑推理问题.docx
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逻辑推理问题.docx
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逻辑推理问题
逻辑推理问题
知识定位
本讲知识可以说是多数孩子比较喜欢的一讲,有趣又可以开发智力,自主学习研究性比较高。
其中运用的一些方法和思想我们在平时的奥数学习中已经接触运用过了。
本讲我们主要从解答逻辑推理问题的方法入手讲解。
如假设法、列表法、排除法、比较法、整体考虑法等,通过实际例题具体讲解。
知识梳理
列表法
列表时要将同一对象的两种不同表达方式分别用行与列标出,通过横向与纵向的不断比较得出结论。
。
假设法
“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设,然后按已知条件进行推算,顺藤摸瓜,根据数量上出现的矛盾作适当调整,从而找到正确答案。
排除法
还有一种组题形式的逻辑推理题(多为选择题),这种题型通常从题目条件出发,并结合排除法来确定选项。
一般的逻辑推理
对于一般的逻辑推理题,要能够通过假设、枚举、列表或者列表与假设相结合等方法来分析,逐个探讨各种假设的正确性,进而得出确切的信息。
体育比赛中的逻辑推理问题
对于体育比赛形式的逻辑推理题,注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。
有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示,从整体考虑,通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。
例题精讲
【试题来源】
【题目】小王、小张和小李一位是工人,一位是农民,一位是教师,现在只知道:
小李比教师年龄大;小王与农民不同岁;农民比小张年龄小.问:
谁是工人?
谁是农民?
谁是教师?
【答案】小张是工人,小李是农民,小王是教师
【解析】这道题目并不难,聪明的小朋友思考一下就能得到答案,但是今天我们通过这道题目一起来学习一个十分有用的方法:
列表分析法.由题目条件可以知道:
小李不是教师,小王不是农民,小张不是农民.由此得到左下表。
表格中打“√”表示肯定,打“×”表示否定.
因为左上表中,任一行、任一列只能有一个“√”,其余是“×”,所以小李是农民,于是得到右上表.
因为农民小李比小张年龄小,又小李比教师年龄大,所以小张比教师年龄大,即小张不是教师。
因此得到左下表,从而得到右下表,即小张是工人,小李是农民,小王是教师.
例题中采用列表法,使得各种关系更明确.为了讲解清楚,例题中画了几个表,实际解题时,不用画这么多表,只在一个表中先后画出各种关系即可.
需要注意的是:
1第一步应将题目条件给出的关系画在表上,然后再依次将分析推理出的关系画在表上;
2每行每列只能有一个“√”,如果出现了一个“√”,它所在的行和列的其余格中都应画“×”。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】甲、乙、丙每人有两个外号,人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。
此外:
(1)数学博士夸跳高冠军跳得高;
(2)跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影;
(3)短跑健将请小画家画贺年卡;
(4)数学博士和小画家很要好;
(5)乙向大作家借过书;
(6)丙下象棋常赢乙和小画家。
你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗?
【答案】甲:
小画家、歌唱家;一乙:
短跑健将、跳高冠军;丙:
数学博士、大作家
【解析】
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】
【试题来源】
【题目】小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项,并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。
现知道:
(1)小明不在一小;
(2)小芳不在二小;
(3)爱好乒乓球的不在三小;
(4)爱好游泳的在一小;
(5)爱好游泳的不是小芳。
问:
三人上各爱好什么运动?
各上哪所小学?
【答案】小明在二小上学,爱好打乒乓球;小芳在三小上学,爱好打羽毛球;小花在一小上学,爱好游泳。
【解析】这道题比上例复杂,因为要判断人、学校和爱好三个内容。
先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示:
因为各表中,每行每列只能有一个“√”,所以表3可补全为表4。
由表4、表2知道,爱好游泳的在一小,小芳不爱游泳,所以小芳不在一小。
于是可将表1补全为表5。
对照表5和表4,得到:
小明在二小上学,爱好打乒乓球;小芳在三小上学,爱好打羽毛球;小花在一小上学,爱好游泳。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作,他们的职业是工人、农民和教师,已知:
(1)张明不在北京工作,席辉不在上海工作;
(2)在北京工作的不是教师;
(3)在上海工作的是工人;
(4)席辉不是农民。
问:
这三人各住哪里?
各是什么职业?
【答案】张明住在上海是工人,席辉住在天津是教师,李刚住在北京是农民。
【解析】这道题的关系要复杂一些,要求我们通过推理,弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。
三者的关系需要两两构造三个表,即人物与地点,人物与职业,地点与职业三个表。
我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示,由条件
(1)得到表1,由条件(4)得到表2,由条件
(2)(3)得到表3。
因为各表中,每行每列只能有一个“√”,所以表(3)可填全为表(4)。
因为席辉不在上海工作,在上海工作的是工人,所以席辉不是工人,他又不是农民,所以席辉是教师。
再由表4知,教师住在天津,即席辉住在天津。
至此,表1可填全为表5。
对照表5和表4,得到:
张明住在上海是工人,席辉住在天津是教师,李刚住在北京是农民。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一位法官在审理一起盗窃案中,对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。
四人分别供述如下:
甲说:
“罪犯在乙、丙、丁三人之中。
”
乙说:
“我没有做案,是丙偷的。
”
丙说:
“在甲和丁中间有一人是罪犯。
”
丁说:
“乙说的是事实。
”
经过充分的调查,证实这四人中有两人说了真话,另外两人说的是假话。
同学们,请你做一名公正的法官,对此案进行裁决,确认谁是罪犯?
【答案】丁是罪犯。
【解析】乙和丁是盗窃犯。
如果甲说的是假话,那么剩下三人中有一人说的也是假话,另外两人说的是真话。
可是乙和丁两人的观点一致,所以在剩下的三人中只能是丙说了假话,乙和丁说的都是真话。
即“丙是盗窃犯”。
这样一来,甲说的也是对的,不是假话。
这样,前后就产生了矛盾。
所以甲说的不可能是假话,只能是真话。
同理,剩下的三人中只能是丙说真话。
乙和丁说的是假话,即丙不是罪犯,乙是罪犯。
又由甲所述为真话,即甲不是罪犯。
再由丙所述为真话,即丁是罪犯。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一个骗子和一个老实人一路同行,骗子总是讲假话,老实人总是讲真话.请提一个尽量简单的问题,使两人的回答相同.这个问题可以是.
【答案】你是骗子吗或者你是老实人吗
【解析】这个问题可以是:
你是老实人吗?
如果问的问题是客观的,也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话,那么他们的回答肯定不一样.所以要问一个与他们自身相关的问题,例如你是老实人吗?
或者问你是骗子吗?
这样他们的回答才会一样
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】A,B,C,D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事,班主任把这四人找来了解情况,四人分别回答如下。
A:
“C,D两人中有人做了好事。
”
B:
“C做了好事,我没做。
”
C:
“A,D中只有一人做了好事。
”
D:
“B说的是事实。
”
最后通过仔细分析调查,发现四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。
到底是谁做了好事?
【答案】做好事的是B与D。
【解析】我们用假设法来解决。
题目说四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入。
注意,此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符,比如,当B,C都做了好事,或B,C都没做好事,或B做了好事而C没做好事时,B说的话都与事实有出入。
因为B与D说的是一样的,所以只有两种可能,要么B与D正确,A与C错;要么B与D错,A与C正确。
(1)假设B与D说的话正确。
这时C做了好事,A说C,D两人中有人做了好事,A说的话也正确,这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。
所以假设不对。
(2)假设A与C说的话正确。
那么做好事的是A与C,或B与D,或C与D。
若做好事的是A与C,或C与D,则B说的话也正确,与题意不符;若做好事的是B与D,则B说的话与事实不符,符合题意。
综上所述,做好事的是B与D。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】从A,B,C,D,E,F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。
根据挑选规则,参展产品满足下列要求:
(1)A,B两种产品中至少选一种;
(2)A,D两种产品不能同时入选;
(3)A,E,F三种产品中要选两种;
(4)B,C两种产品都入选或都不能入选;
(5)C,D两种产品中选一种;
(6)若D种产品不入选,则E种也不能入选。
问:
哪几种产品被选中参展?
【答案】A,B,C,F选中参展。
【解析】用假设法。
从条件
(1)开始,有三种情况:
①假设选A不B选,由
(2)知D不能入选,再由(5)知C入选,再由(4)推知C,B同时入选,与前面假设不选B矛盾。
假设不成立。
②假设选B不选A,由(3)知选E,F,由(6)知D入选,再由(5)知C不入选,再由(4)推知B,C都不入选,与假设选B矛盾。
假设不成立。
③假设A,B都入选,由
(2)知D不入选,由(6)知E也不入选,再由(3)知F入选,由(4)知C入选。
符合题意。
因此,A,B,C,F选中参展。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有三个盒子,甲盒装了两个1克的砝码,乙盒装了两个2克的砝码,丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。
每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。
聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码,放到天平上称了一下,就把所有标签都改正过来了。
你知道这是为什么吗?
【答案】见解析
【解析】我们发现“每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的”这句话说明标签的可能只有两种:
标注两个1克两个2克一个1克一个两克
可能1:
两个2克一个1克一个两克两个1克
可能2:
一个1克一个两克两个1克两个2克
所以我们可以从标注“一个1克一个两克”里面拿一个,如果是“1克”的就是上面那种情况,否则就是下面那种情况。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一只皮箱的密码是一个三位数。
小光说:
“它是954。
”小明说:
“它是358。
”小亮说:
“它是214。
”小强说:
“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。
”这只皮箱的密码是。
【答案】918。
【解析】每个人只猜了位置不同的一个数字,也就是说一样的数字必然不对,“5、4”第一位肯定是9,第三位是8,第二位是1,密码就是918。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛,每队与另两支队各赛一场。
已知:
(1)意大利队总进球数是0,并且有一场打了平局;
(2)荷兰队总进球数是1,总失球数是2,并且该队恰好胜了一场。
按规则:
胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分。
问德国队得了______分。
【答案】3
【解析】由条件
(2)知,荷兰队胜了一场,而不进球是不可能胜的,但它的总进球数只有1,说明这场比赛它以1∶0取胜。
又因为它总失球数2,所以另一场比赛以0∶2输了。
再由条件
(1)知:
以2∶0赢荷兰队的不可能是意大利队(因为意大利队没有进球),只可能是德国队(记2分)。
既然荷兰队输给德国队,那么它胜的一场一定是对意大利队,而且比分为1∶0。
德、意两队以0∶0踢平(各记1分)。
所以,德国队得了3分。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】一次象棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个队,每个选手都与其余9名选手各赛1盘,每盘棋的胜者得1分,负者得0分,平局双方各得0.5分.结果,甲队选手平均得4.5分,乙队选手平均得3.6分,丙队选手平均得9分.那么,甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少?
【答案】甲队4名选手,丙队1名选手。
【解析】由题意可知,这次比赛共需比9+8+7+…+2+1=45(盘).
因为每盘比赛双方得分的和都是1分(1+0=l或0.5×2=1),所以10名选手的总得分为1×45=45(分)。
每个队的得分不是整数,就是“&.5”这样的小数。
由于乙队选手平均得3.6分,3.6的整数倍不可能是“&.5”这样的小数。
所以,乙队的总得分是18或36。
但36÷3.6=10,而三个队一共才10名选手(矛盾)。
所以,乙队的总分是18分,有选手18÷3.6=5(名)。
甲、丙两队共有5名选手。
由于丙队的平均分是9分,这个队总分只可能是9分,18分(不可能是27分.因为27+18=45,甲队选手总得分为0分),丙队选手人数相应为1名、2名,甲队选手人数相应为4名,3名,经过试验,甲队4名选手,丙队1名选手。
注:
在运用假设法时,应想办法使试验的次数尽可能少些,这就需要充分利用题目所给的已知条件,并有意识地寻找别的限制条件。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】四个足球队进行单循环比赛,每两队都要赛一场。
如果踢平,每队各得1分,否则胜队得3分,负队得0分。
比赛结果,各队的总得分恰好是四个连续的自然数。
问:
输给第一名的队的总分是多少?
【答案】4
【解析】首先要求出比赛的场数,再根据胜负的得分情况,估算出四个队总得分的范围,最后再根据四队得分是四个连续的自然数,推理出各队的得分,及每两队比赛的胜负情况,就能算出输给第一名的队的总分。
四个队进行单循环赛,共要赛(4×3)÷2=6场。
如果每场都踢平,则6场比赛四个队共得了(2×6=)12分;如果每场都分出胜负,则6场比赛四个队共得了(3×6=)18分,因此四队的总得分在12分~18分。
因为四个队的得分是四个连续的自然数,而1+2+3+4=10,2+3+4+5=14,3+4+5+6=18,显然,四个队的总得分是14分,各队的得分分别是2、3、4、5分。
根据平分办法:
踢平每队各得1分,分出胜负,胜队得3分,负队得0分,可知6场比赛分出胜负的场数:
(14-12)÷(3-2)=2场。
假设A队得5分,B队得4分,C队得3分,D队得2分。
由C队得3分,可知C队与A、B、D队比赛均踢平;由D队得2分,可知D队与A、B队比赛时一场平一场负;由A、B两队得分都高于3分,又只有两场比赛分出胜负,可知A、B两队各踢胜一场,又由于5=3+1+1,4=3+1+0,所以A队一胜两平,B队一胜一平一负。
这样,只能是A队胜B队,B队胜D队,其余四场均踢平。
输给第一名(A队)的队(B队)的总分是4分。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】三名学生进行了若干科目的考试,以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多,其次是第二名,第三名得分最少。
各科都是如此记分.已知甲最后得分,乙最后得分,丙也是得分.并且已知乙英语考试得了第一名,问数学第二是谁?
【答案】丙
【解析】由乙英语第一,至少乙得3分,且总分为9分.所以科目不会多于7科,且每科第一名至多得8分。
又由甲总分为22分,所以考试科目不少于3科。
因为三人共得40分,而每科分配得分情况相同,故考试科目数应是40的约数,而3,6,7都不是40的约数,所以只可能是4科或5科。
若4科,每科共为10分.按名次分配应有4种:
(7,2,1),(6,3,1),(5,4,1),(5,3,2)。
由甲共得22分,且至多有3科第一(英语不是第一),则后三种情况不成立,因为即便是3科第一,1科第二,总分也达到不了22分。
又由乙得9分,且英语第一。
如果按(7,2,1)分配,即便其他三科都是最后一名,得1分,总分也超过9分。
所以,以上几种情况不能成立。
若是5科,每科共为8分,按名次分配只有两种:
(5,2,1);(4,3,1).而后一种也不能成立,原因仍然是不能与甲22分吻合。
所以只有(5,2,1)符合题意。
按照这种分配方案:
乙的得分情况是5,1,1,1,1。
甲的得分情况是5,5,5,5,2,且得2分的科目只能是英语,所以数学第二只能是丙。
注:
这是一道比较复杂的推理题,运用了约数等数学知识作为载体。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
习题演练
【试题来源】
【题目】 李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学,每人教两门。
现知道:
(1)顾锋最年轻;
(2)李波喜欢与体育老师、数学老师交谈;
(3)体育老师和图画老师都比政治老师年龄大;
(4)顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳;
(5)刘英与语文老师是邻居。
问:
各人分别教哪两门课程?
【答案】刘英教体育,李波教图画、语文。
【解析】李波教语文、图画,顾锋教数学、政治,刘英教音乐、体育。
由
(1)(3)(4)推知顾锋教数学和政治;由
(2)推知刘英教体育;由(3)(5)推知李波教图画、语文。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察。
已知:
(1)教师不知道甲的职业
(2)医生曾给乙治过病(3)律师是丙的法律顾问(经常见面)(4)丁不是律师(5)乙和丙从未见过面。
那么甲、乙、丙的职业依次是:
______________.
【答案】律师、教师、警察
【解析】律师、教师、警察。
由(3)可以知道丙不是律师,但是他见过律师,再由(5)知乙不是律师,又由(4)可知甲是律师。
于是由
(1)和(3)知丙不是教师,由
(2)和(5)知丙不是医生,从而丙是警察。
再由
(2)知乙是教师,丁是医生
列表法,直观明了,不会犯错误:
教师
医生
律师
警察
甲
否,
(1)
否
是
否
乙
是
否,
(2)
否,(5)
否
丙
否,(1,)(3)
否,
(2),(5)
否,(3)
是
丁
否
是
否,(4)
否
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。
赛前甲、乙、丙分别做了预测。
甲说:
“丙第1名,我第3名。
”
乙说:
“我第1名,丁第4名。
”
丙说:
“丁第2名,我第3名。
”
成绩揭晓后,发现他们每人只说对了一半,你能说出他们的名次吗?
【答案】乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。
【解析】我们以“他们每人只说对了一半”作为前提,进行逻辑推理。
假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的,第二句话“我第3名”是错的。
由此推知乙说的“我第1名”是错的,“丁第4名”是对的;丙说的“丁第2名”是错的,“丙第3名”是对的。
这与假设“丙第1名是对的”矛盾,所以假设不成立。
再假设甲的第二句“我第3名”是对的,那么丙说的第二句“我第3名”是错的,从而丙说的第一句话“丁第2名”是对的;由此推出乙说的“丁第4名”是错的,“我第1名”是对的。
至此可以排出名次顺序:
乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 a、b、c、d、e五位朋友在公园里聚会,每两人之间握一次手。
以知,a握了4次,b握了1次,c握了3次,d握了2次。
到目前为止,e握了几次?
【答案】e与ac握了两次手。
【解析】为了叙述方便,用5个点表示5个人。
两点之间连一条线,表示两人握了一次手。
a分别和bcde握手,b只和a握了一次,c和ade握了3次,d与ac握了2次,所以,e与ac握了两次手。
注意a跟b握过后,b相当于也跟a握过。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 四对夫妇坐在一起闲谈。
四个女人中,A吃了3个梨,B吃了2个,C吃了4个,D吃了1个;四个男人中,甲吃的梨和他妻子一样多,乙吃的是妻子的2倍,丙吃的是妻子的3倍,丁吃的是妻子的4倍。
四对夫妇共吃了32个梨。
问:
丙的妻子是谁?
【答案】D
【解析】分别设A,B,C,D的丈夫吃梨的个数为3a,2b,4c和d,则有
3a+2b+4c+d=32-(3+2+4+1)=22,
由题意知,a,b,c,d分别等于1,2,3,4四数之一,且互不相同。
于是可求出a=1,b=4,c=2,d=3。
因为丙吃的梨是妻子的3倍,d=3,所以丙的妻子是D。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 某楼住着4个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁.最大的男孩比最小的女孩大4岁,最大的女孩比最小的男孩也大4岁.最大的男孩多少岁?
【答案】8
【解析】最大的孩子(10岁的)不是男孩,就是女孩.
如果10岁的孩子是男孩,那么,根据题意,最小的女孩是6岁(6=10—4),从而,最小的男孩是4岁,再根据题意,最大的女孩是8岁(8=4+4)。
这就是说,4个女孩最小的6岁,最大的8岁,其中必有两个女孩同岁,但这与已知条件“他们的年龄各不相同”矛盾。
所以10岁的孩子不是男孩,而是女孩.最小(4岁)的孩子也是女孩.所以最大的男孩是4+4=8(岁)。
注:
本题中,数学问题称为推理的主要依据,我们用了以下性质:
如果4个自然数只能取三种不同的值,那么其中必定有两个数相等。
【知识点】逻辑推理问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
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- 逻辑推理 问题