全等三角形经典模型总结.docx
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全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
(一)角平分线的性质模型
辅助线:
过点G作GE⊥射线AC
A、例题
1、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是 cm.
2、如图,已知,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AP平分∠BAC.
B、模型巩固
1、如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:
∠A+∠C=180°.
(二)角平分线+垂线,等腰三角形必呈现
A、例题
辅助线:
延长ED交射线OB于F 辅助线:
过点E作EF∥射线OB
例1、如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于F.
求证:
.
例2、如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证:
.
(三)角分线,分两边,对称全等要记全
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使OB=OA,从而使△OAC≌△OBC .
A、例题
1、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ .
2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
B、模型巩固
1、在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,P是线段AD上任意一点(不与A重合).
求证:
AB-AC>PB-PC.
2、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∠B的平分线交AC于D,
求证:
AD+BD=BC.
3、如图,△ABC中,BC=AC,∠C=90°,∠A的平分线交BC于D,
求证:
AC+CD=AB.
二、等腰直角三角形模型
(一)旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程:
(1)将△ABD逆时针旋转90°,得△ACM≌△ABD,从而推出△ADM为等腰直角三角形.
(2)辅助线作法:
过点C作MC⊥BC,使CM=BD,连结AM.
(二)旋转中心为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等:
操作过程:
连结AD.
(1)使BF=AE(或AF=CE),导出△BDF≌△ADE.
(2)使∠EDF+∠BAC=180°,导出△BDF≌△ADE.
A、例题
1、如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点M、N在斜边BC上滑动,且∠MAN=45°,试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC.
试判断△EMC的形状,并证明你的结论.
B、模型巩固
1、已知,如图所示,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM.
(1)试判断△OMN的形状,并证明你的结论.
(2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化?
2、在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求∠BAE+∠DCF为多少度.
(三)构造等腰直角三角形
(1)利用以上
(一)和
(二)都可以构造等腰直角三角形(略);
(2)利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.
(四)将等腰直角三角形补全为正方形,如下图:
A、例题应用
1、如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,
满足PB=PC,AP=AC,求证:
∠BCP=15° .
三、三垂直模型(弦图模型)
A、例题
已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC中点,AF⊥BD于点E,交BC于F,连接DF.
求证:
∠ADB=∠CDF .
变式1、已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,连接NF.
求证:
(1)∠AMB=∠CNF;
(2)BM=AF+FN.
变式2、在变式1的基础上,其他条件不变,只是将BM和FN分别延长交于点P,
求证:
(1)PM=PN;
(2)PB=PF+AF.
四、手拉手模型
1、△ABE和△ACF均为等边三角形
结论:
(1)△ABF≌△AEC.
(2)∠BOE=∠BAE=60°.
(3)OA平分∠EOF.(四点共圆证)
拓展:
△ABC和△CDE均为等边三角形
结论:
(1)AD=BE;
(2)∠ACB=∠AOB;
(3)△PCQ为等边三角形;
(4)PQ∥AE;
(5)AP=BQ;
(6)CO平分∠AOE;(四点共圆证)
(7)OA=OB+OC;
(8)OE=OC+OD .
((7),(8)需构造等边三角形证明)
例、如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点.若点M为△ABC的费尔马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:
如图②,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.
2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论:
(1)BE=CD;
(2)BE⊥CD .
3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形
结论:
(1)BD=CF;
(2)BD⊥CF.
变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,AS⊥BC交FD于T,
求证:
(1)T为FD中点;
(2)
.
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,T为FD中点,TA交BC于S,
求证:
AS⊥BC.
4、如图,以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时,总有:
五、半角模型
条件:
两边相等.
思路:
1、旋转
辅助线:
①延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF
②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF,注意:
旋转需证F、B、M三点共线
结论:
(1)MN=BM+DN;
(2)
;
(3)AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .
2、翻折(对称)
辅助线:
①作AP⊥MN交MN于点P
②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.
A、例题
例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM+DN,
求证:
(1)∠MAN=45°;
(2)
;
(3)AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
变式:
在正方形ABCD中,已知∠MAN=45°,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,
AH⊥MN,垂足为H,
(1)试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系;
(2)求证:
AB=AH
例2、在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上的点,且满足EF=BE+DF,求证:
.
变式:
在四边形ABCD中,∠B=90°,∠D=90°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上的点,且
求证:
EF=BE+DF.
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