年金的含义与计算.docx

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年金的含义与计算

第一章财务管理的价值观念

教学目标：

了解资金时间价值；熟悉资金时间价值的基本术语；掌握单利、复利与预付年金的终值与现值的计算方法；了解风险的概念和类别；掌握风险衡量及风险报酬确定的方法。

教学重点：

终值、现值的含义，复利终值现值的计算；普通年金终值、现值计算；预付年金终值现值计算；递延年金终值现值计算；永续年金终值现值计算。

教学难点：

年金终值现值计算。

课时：

8

第一节：

资金时间价值

什么是资金时间价值？

资金的所有者因进行某项投资活动（如开办企业、购买有价证券、存入银行、借出款项等）而推迟消费，就要得到相应的报酬。

这种因推迟使用货币一段时间而得到的相应报酬就是资金的时间价值。

期初

状态

效果

1万元

置于家中

1万元

1万元

进一批货，1个月内售出，获利10%

1.1万元

1万元

存入银行，年利率12%

1.01万元

时间价值实质是随着时间的推移，货币在周转使用中所发生的增值，时间越长、增值越多。

本质上看，它来源于货币有目的的投资，是工人创造的剩余价值的一部分。

1、单利的计算

计算公式

F=P·（1+i·n）

P=F·（1+i·n）-1

I=P·i·n

F---终值P---现值（本金）

i---利率（折现率）I---利息n---计息期

例1：

某人持有一张带息票据，面额2000元，票面利率

5﹪，持票90天，问他可以得到多少利息？

解：

I=2000×5﹪×90∕360=25（元）

例2：

某人希望在5年后从银行取得本利和1000元，

用于支付一笔款项。

若在利率为5﹪，在单利

方式计算下，此人现在需要存入银行多少钱？

解：

P=1000×1∕（1+5﹪×5）=800（元）

2、复利终值是指一定量的本金，按复利计算，若干期后的本利和。

公式：

Fn=P·（1+i）n复利终值系数（F∕P，i，n）

Fn——复利终值P——本金

i——利率n——计息期

复利利息：

I=F-P=P[（1+i）n-1]

公式的推导如下：

例3：

某人将1000元存入银行，定期3年，年利率10﹪，

3年期满，按复利计算，问他可以从银行得到多少元？

解：

F5=1000×（1+10﹪）=1000×（F∕P，10﹪，3）

=1000×1.331=1331（元）

例4：

某人有资金1000元，拟存入银行，在复利10﹪计息

的条件下，经过多少年可以使他的资金增加一倍？

解：

2000=1000×（1+10﹪）=1000×（F∕P，10﹪，n）

2=（1+10﹪）n

查表可知：

需要7年多的时间。

例5：

（复利现值）某企业拟在5年后用10000元购买新设备，银行现行

的年利率为10﹪，问现在需要一次存入银行多少元？

解：

10000=P×（1+10﹪）5

P=10000×（1+10﹪）-5

=10000×（P∕F，10﹪，5）

=10000×0.621

=6210（元）

例6：

（复利利息）某企业用1000元对外投资5年，年利率为15﹪，

每年复利一次，其复利本利和与复利利息为多少？

解：

F=1000×（1+15﹪）5

=1000×（F∕P，15﹪，5）

=1000×2.011

=2011（元）

I=2011－1000

=1011（元）

3、现金流量图（cashflowdiagram）

描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。

是资金时间价值计算中常用的工具。

三大要素：

大小、流向、时间点

说明：

.水平线是时间标度，时间的推移是自左向右，

每一格代表一个时间单位（年、月、日）；

.箭头表示现金流动的方向：

向上——现金的流入，

向下——现金的流出；

.现金流量图与立脚点有关。

注意：

.第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。

.立脚点不同,画法刚好相反。

.净现金流量=现金流入－现金流出

.现金流量只计算现金收支（包括现钞、转帐支票等凭证）,不计算项目内部的现金转移（如折旧等）。

例7：

某投资者购买了1000元的债券，限期3年，年利率10%，到期一次还本付息，按照复利计算法，则3年后该投资者可获得的利息是多少？

解：

I=P[（1+i）n－1]=1000[（1+10%）3－1]=331元

（三）年金的现值与终值

•年金是（Annuity）指等额、定期的系列收支。

特点：

等额、等期

形式：

等期等额偿还贷款，等期等额发放养老金、等期等额支付工程款、每年相同的销售收入

•按年金的收付时点，可以将年金划分为：

普通年金、预付年金、递延年金、永续年金

1、普通年金（OrdinaryAnnuity）又称后付年金：

是指各期期末收付的年金。

（1）普通年金终值：

是一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。

每期期末等额收付款项的复利终值之和

普通年金终值计算公式的推导

每年的支付金额为A;利率为I;期数为n;

则按复利计算的普通年金终值F为：

每年的等式两边同乘（1+i）：

上述两式相减,整理后，得到：

其中：

是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金终值，记作（F/A，i，n），可以通过查阅“年金终值系数表”取得相关系数。

例8：

某人5年内，每年年底存入银行100元，存款利率为8﹪，问第5年年末年金终值为多少？

解：

F=100×[（1+8﹪）5－1]∕8﹪

=100×（F∕A，8﹪，5）

=100×5.867=586.7（元）

（2）偿债基金的计算

偿债基金（SinkingFund）是指为了在约定的未来一定时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额存入的准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额。

偿债基金的计算是根据年金的终值计算年金的即已知终值求年金。

根据普通年金终值计算公式：

可知：

式中的普通年金终值系数的倒数，称偿债基金系数

记作（A/F，i，n）

偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。

【例】制订还款计划

例9：

假设江南公司拟在3年后还清100万元的债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。

假设银行存款利率为10％，每年需要存入多少元?

解：

在银行利率为10％时，每年存入30.21万元，3年后可得100万元，用来还清债务。

由于有利息因素，不必每年存入33.33万元，只要存入较少的金额，3年后本利和即可达到100万元用以清偿债务。

（3）普通年金现值的计算

它是一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和。

普通年金现值公式的推导：

由于：

等式两边同乘（1+i）：

上述两式相减

（2）－

（1）：

其中：

是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金现值

记作（P/A，i，n）

可以通过查阅“年金现值系数表”取得相关系数。

例10：

假设你需要在每年年末取出100元，连续取3年，在银行存款利率为10%的情况下，你现在要向银行存入多少钱？

P=100×（1+10%）-1+100×（1+10%）-2+100×（1+10%）-3

=248.68元

例12：

某公司须马上向银行存入一笔款项，以便在今后5年内能于每年年终发放特种奖金4000元。

现时银行存款年利率为8﹪，问该公司现在应向银行存入多少元？

解：

P=4000×[1－（1+8﹪）-5]∕8﹪

=4000×（P∕A，8﹪，5）

=4000×3.993=15972（元

（4）、年资本回收额的计算

年资本回收额（CapitalRecovery），是指在约定年限内等额收回初始投入资本或清偿所欠的债务。

即根据年金现值计算的年金，即已知现值求年金。

根据普通年金现值计算公式：

可知：

普通年金现值系数的倒数，称资本回收系数

记作（A/P，i，n）

资本回收系数与年金现值系数互为倒数

例13：

假设江南公司现在拟出资100万元投资某项目，项目投资回报率预计为10％，公司拟在3年内收回投资，请问每年至少要收回多少元?

解：

投资回报率为10％时，每年至少要收回40.21万元，才能确保3年后收回初始投资额100万元。

2.即付年金（预付年金）

即付年金是指一定时期内，每期期初等额收付的系列款项。

（1）即付年金终值：

是其最后一期期末时的本利和，即各期收付款项的复利终值之和。

预付年金与普通年金比较：

普通年金收付款的时点？

在期末

预付年金的收付款时点？

在期初

这是两者的区别。

在实务中，我们可以在理解普通年金终值计算的基础上掌握预付年金终值的计算。

具体有两种方法：

方法一：

利用同期普通年金的终值公式再乘以（1+i）计算

预付年金的终值计算公式为：

方法二：

利用期数加1，系数减1的方法计算

预付年金的终值计算公式应为：

例14：

假如江南公司有一基建项目，分五次投资，每年年初投资1000万元，预计第五年末建成。

该公司的投资款均向银行借款取得，利率为8%。

该项目的投资总额是多少？

（1）按方法一计算：

F＝A（F/A，i，n）（1+i）

＝1000×（F/A，8%，5）×（1+8%）

＝1000×5.8666×（1+8%）

＝6335.92（元）

（2）按方法二计算：

F＝A（F/A，i，n+1）－A

＝A（（F/A，i，n+1）－1）

＝1000×（（F/A，8%，6）－1）

＝1000×（7.3359－1）

＝6335.90（元）

例15：

某人计划在连续10年的时间里，每年年初存入银行1000元，现时银行存款利率为8﹪，问第10年末他能一次取出本利和多少元？

解：

F=1000×（F∕A，8﹪，10）×（1+8﹪）

=1000×14.487×1.08=15645（元）

或:

F=1000×[（F∕A，8﹪，11）-1]

=1000×（16.645-1）=15645（元）

（2）预付年金现值的计算

预付年金现值，是指一定时期内每期期初收付款项的复利现值之和。

每期期初收付款项的复利现值之和。

有两种计算方法。

方法一：

利用同期普通年金的现值公式再乘以（1+i）计算

即付年金的现值公式：

方法二：

利用期数减1，系数加1的方法计算

预付年金的现值公式：

也就是说，即付年金现值系数与普通年金现值系数相比，期数减1，系数加1。

例16：

江南公司拟购买新设备，供应商有两套付款方案。

方案一是采用分付款方式，每年年初付款20000元，分l0年付清。

方案二是一次性付款15万元。

若公司的资金回报率为6%，你将选择何种付款方式，假设有充裕的资金。

解：

实际上，将方案一求出的现值与方案二的15万元进行比较即可得出结果。

也就是求预付年金的现值，因此有：

＝20000×（P/A，6%，10）×（1+6%）

＝20000×7.3601×（1+6%）

＝156034.00（元）

或，＝20000×（（P/A，6%，10－1）＋1）

＝20000×（6.8017＋1）

＝156034.00（元）

所以，应选择一次性付款。

例17：

企业若租用一台设备，在10年中，每年年初要付租金5000元，现时银行存款利率为8﹪。

假设该设备原值40000元，无残值，问该企业应租还是应买？

解:

P=5000×（P∕A，8﹪，10）×（1+8﹪）

=5000×6.71×1.08=36234（元）

或:

P=5000×[（P∕A，8﹪，9）+1]

=5000×（6.247+1）=36235（元）＜40000元

租设备划得来！

普通年金与预付年金的比较

年金期间利率和金额相同时，预付年金的终值比普通年金的终值大（预付年金终值系数在普通年金终值系数上，期数加1，系数减1）

年金期间利率和金额相同时，预付年金的现值比普通年金的现值大（预付年金现值系数在普通年金现值系数上，期数减1，系数加1）

3、递延年金

递延年金（DeferredAnnuity）是指第一次年金收付形式发生在第二期或第二期以后的年金。

递延年金的支付形式如图所示。

从图中可以看出，前m期没有发生年金收付形式。

我们一般用m表示递延期数，用n表示递延年金发生的期数，则总期数为m+n。

（1）、递延年金终值计算

由于递延期m与终值无关，只需考虑递延年金发生的期数n。

计算公式如下：

例18：

农庄的累计净收益为多少？

假设江南公司拟一次性投资开发某农庄，预计该农庄能存续15年，但是前5年不会产生净收益，从第6年开始，每年的年末产生净收益5万元。

在考虑资金时间价值的因素下，若农庄的投资报酬率为10%，该农庄给企业带来累计收益为多少？

求该农庄给企业带来的累计收益，实际上就是求递延年金终值。

根据

＝50000×（F/A，10%，10）

＝50000×15.937

＝796850（元）

（2）、递延年金现值计算

递延年金是指在最初若干期没有收付款项的情况下，后面若干期有等额的系列收付款项。

递延年金的现值是自若干时期后开始每期款项的现值之和。

即是后n期年金贴现至m期第一期期初的现值之和。

递延年金的现值与递延期数相关递延的期数越长，其现值越低。

递延年金的现值计算有三种方法。

方法1：

把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，然后再向前折现。

即

方法2：

把递延期每期期末都当作有等额的年金收付A，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值再把递延期虚增的年金现值减掉即可。

即

方法3：

先求递延年金终值，再折现为现值

即

例19：

农庄的累计投资限额为多少？

假设江南公司拟一次性投资开发某农庄，预计该农庄能存续15年，但是前5年不会产生净收益，从第6年开始，每年的年末产生净收益5万元。

在考虑资金时间价值的因素下，若农庄的投资报酬率为10%，假设江南公司决定投资开发该农庄，根据其收益情况，该农庄的累计投资限额为多少？

分析：

实质上，求现值

只有未来的收益大于当前的投资额，企业才有投资的意愿。

由于不同时点上的资金不能直接比较。

因此，必须考虑资金时间价值，将未来的收益与当前的投资额进行对比。

因为递延期m为5，发生递延年金收付期数n为10。

解：

按第一种方法计算：

P＝50000×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，5）

＝50000×6.1446×0.6209

＝190759.11（元）

按第二种方法计算：

P＝50000×（P/A，10%，15）－50000×（P/A，10%，5）

＝50000×7.6061－50000×3.7908

＝190765.00（元）

按第三种方法计算：

P＝50000×（F/A，10%，10）×（P/F，10%，15）

＝50000×15.9370×0.2394

＝190765.89（元）

计算结果表明，该农庄的累计投资限额为190759.11元。

采用上述三种方法计算得出的结果存在微小的差异，这主要是尾数差异造成的。

例20：

某企业向银行借入一笔款项，银行贷款利率为8﹪。

银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息1000元，问这笔款项的现值是多少？

解：

P=1000×[（P∕A，8﹪，20）-（P∕A，8﹪，10）]

=1000×（9.818-6.71）=3108（元）

或:

P=1000×（P∕A，8﹪，10）×（P∕F，8﹪，10）

=1000×6.71×0.463=3107（元）

4、永续年金

永续年金（PerpetualAnnuity）是指无限期等额收付的年金。

（1）永续年金现值的计算

永续年金因为没有终止期所以，只有现值没有终值。

永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。

普通年金的现值公式？

令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值：

例21：

创建一个永久性的爱心基金

江南公司想给学校创立一个永久性的爱心基金，希望每年能从该基金中拿出10万元用于经济困难学生的生活补助。

考虑到基金资金的安全性，基金管理人计划将基金的购买近乎无风险的国债，用其产生的利息收入用于学生的补助。

假设一年期的国债的平均利率为3%。

那么，该企业要向学校捐赠多少款项才能创建该爱心基金呢？

解：

该企业应向学校捐赠的款项为：

P＝10÷3%＝333.33万元

也就是说，该企业要向学校捐赠333.33万元，才能让该爱心基金存续下去，并能每年支付10万元用于学生补助支出。

例22：

某学校拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发

10000元奖金，若银行利率为10﹪，学校现在应

存入银行多少元？

解：

P=10000×1∕10﹪=100000（元）