绝对值化简方法辅导精编版.docx

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绝对值化简方法辅导精编版

下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简

 首先我们要知道绝对值化简公式：

 例题1：

化简代数式|x-1|

可令x-1=0，得x=1（1叫零点值）

根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分

1） 当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-（x-1）=-x+1

2） 当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0

3） 当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1

另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分

1） 当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-（x-1）=-x+1

2） 当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1

 例题2：

化简代数式|x+1|+|x-2|

解：

可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分

1） 当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-（x-2）=-x-1-x+2=-2x+1

2） 当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3

3） 当-10，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-（x-2）=x+1-x+2=3

4） 当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3

5） 当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

 另解，将零点值归到零点值右侧部分

1） 当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-（x-2）=-x-1-x+2=-2x+1

2） 当-1≤x<2时，x+1≥0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-（x-2）=x+1-x+2=3

3） 当x≥2时，x+1>0，x-2≥0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 

例题3：

化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|

 可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）

1） 当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2） 当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3） 当-130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

4） 当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5） 当-110，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

6） 当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7） 当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

另解，将零点值归到零点值右侧部分

1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2）当-13≤x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13≥0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

3）当-11≤x<12时，x+11≥0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

4）当x≥12时，x+11>0，x-12≥0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12 

 例题4：

化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

 解:

令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=1 ,x=2,x=3,x=4

（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

（3）当2≤x＜3时，，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10 

总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简，这样比较省时间 

同学们若不熟练可以针对以上3个例题反复化简 熟练之后再换新的题进行练习

习题：

化简下列代数式

|x-1|

|x-1|+|x-2|

|x-1|+|x-2|+|x-3|

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|

初一学生作业-绝对值中最值问题一

例题1:

1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

   2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

    3）当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

    4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

例题2：

1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

   2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

   3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

   4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：

、

1）非负数：

0和正数，有最小值是0

2）非正数：

0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0

4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0 -|x+m|≤0有最大值是0

（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）

5）x是任意有理数，m和n是常数，

 则|x+m|+n≥n，有最小值是n -|x+m|+n≤n，有最大值是n

（可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右（n>0）或者向左（n<0）平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3） 

总结：

根据3）、4）、5）可以发现，当绝对值前面是“+”时，代数式有最小值，有“—”号时，代数式有最大值

在没有学不等式的时候，很好的理解（4）和（5）有点困难，若实在理解不了，请同学们看下面的例题答案，分析感觉下，就可以总结出上面的结论了）

 例题1:

1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

    2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

     3）当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

    4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

解：

1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0

  2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3

  3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3

4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3可知和3）问一样

 即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3 

例题2：

1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

    2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

    3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

   4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

解：

1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0

   2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3

   3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3

   4）3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：

当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3

请同学们总结一下问题

若x是任意有理数，a和b是常数，则

1）|x+a|有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

2）|x+a|+b有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

3）-|x+a|+b有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

 含有绝对值的代数式化简问题：

化简代数式|x+1|+|x-2|

化简代数式|x+1|+|x-2|

化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|

初一学生作业-绝对值中最值问题二

【例题1】：

求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围

分析：

我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：

可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分

1） 当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-（x-2）=-x-1-x+2=-2x+1

2） 当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3

3） 当-10，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-（x-2）=x+1-x+2=3

4） 当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3

5） 当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

 我们发现：

当x<-1时，|x+1|+|x-2|=-2x+1>3

当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3

当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3

所以：

可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：

   -1≤x≤2 

解：

可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3

评：

若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？

并求x的取值范围？

一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。

所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值 

请总结，若a>b，则请回答当x在什么范围内时，代数式|x-a|+|x-b|有最小值，最小值是多少？

 【类似习题】求代数式|x-4|+|x-5|的最小值，并确定此时x的取值范围

 【例题1】：

（1）若|x-2|＞a，求a的取值范围是多少？

（2）若|x-2|≥a，求a的取值范围是多少？

【分析】：

我们知道|x-2|的最小值是0，则

（1）有0＞a，即可以求出a的范围是a＜0，

（2）0≥a，即a≤0 

【解】：

（1）∵不论x为何值时|x-2|≥0

∴|x-2|有最小值是0

∵|x-2|＞a

∴0＞a

∴a＜0

（2）∵不论x为何值时|x-2|≥0

∴|x-2|有最小值是0

∵|x-2|≥a

∴0≥a

∴a≤0

【总结】：

解决本题的关键是很好的理解绝对值的含义及找代数式的最值 

【例题2】：

（1）若|x+1|+|x-2|>a，求a的取值范围是多少？

（2）若|x+1|+|x-2|≥a，求a的取值范围是多少？

【分析】：

根据绝对值化简可以求出|x+1|+|x-2|的最小值是3，仿照例题1可以求出a的取值范围

【解】：

（1）∵x取任意有理数时|x+1|+|x-2|≥3

∴|x+1|+|x-2|的最小值是3

∵|x+1|+|x-2|>a

∴3>a

∴a＜3

（2）

（1）∵x取任意有理数时|x+1|+|x-2|≥3

∴|x+1|+|x-2|的最小值是3

∵|x+1|+|x-2|≥a

∴3≥a

∴a≤3 

【例题3】：

（1）若|x+11|+|x-12|+|x+13|＞a,求a的取值范围是多少？

（2）若|x+11|+|x-12|+|x+13|≥a,求a的取值范围是多少？

【分析】：

由绝对值化简可以得出代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，同例题1或例题2可以顺利求出本题a的取值范围

【解】：

∵不论x为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13|≥25

∴|x+11|+|x-12|+|x+13|最小值是25

∵|x+11|+|x-12|+|x+13|＞a

∴25＞a

∴a＜25

（2）∵不论x为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13|≥25

∴|x+11|+|x-12|+|x+13|最小值是25

∵|x+11|+|x-12|+|x+13|≥a

∴25≥a

∴a≤25 

【练习】：

1.

（1）若|x+3|＞a，求a的取值范围是多少？

（2）若|x+3|≥a，求a的取值范围是多少？

2.

（1）若|x+2|+|x-4|>a，求a的取值范围是多少？

（2）若|x+2|+|x-4|≥a，求a的取值范围是多少？

3.

（1）若|x-7|+|x-8|+|x-9|>a，求a的取值范围是多少？

（2）若|x-7|+|x-8|+|x-9|≥a，求a的取值范围是多少？

初一学生作业-绝对值中最值问题三

【例题1】：

求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

分析：

先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程

 可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）

1） 当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2） 当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3） 当-130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

4） 当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5） 当-110，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

6） 当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7） 当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

可知：

当x<-13时，   |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27

当x=-13时，   |x+11|+|x-12|+|x+13|=40

当-13

当x=-11时，   |x+11|+|x-12|+|x+13|=25

当-11

当x=12时      |x+11|+|x-12|+|x+13|=48

当x>12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48

观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11

解：

可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）

将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12

可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25 

评：

先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。

例题4：

求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

分析:

回顾化简过程如下

令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=1 ,x=2,x=3,x=4

（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10

根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值

解：

根据绝对值的化简过程可以得出

当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10＞6

当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8     4＜2x+8≤6

当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2    4＜2x-2 ＜6

当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6

则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3 

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值 

 习题：

求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值，并求出此时x的值，并确定此时x的值或者范围？

初一学生作业-乘方最值问题

知识点铺垫：

若a为任意有理数，则a²为非负数，即a²≥0,则-a²≤0

可以判断出当a=0时，a²有最小值是0，-a²有最大值是0 

问题解决：

例题：

（1）当a取何值时，代数式（a-3）²有最小值，最小值是多少？

（2）当a取何值时，代数式（a-3）²+4有最小值，最小值是多少？

（3）当a取何值时，代数式（a-3）²-4有最小值，最小值是多少？

（4）当a取何值时，代数式-（a-3）² 有最大值，最大值是多少？

（5）当a取何值时，代数式-（a-3）²+4有最大值，最大值是多少？

（6）当a取何值时，代数式-（a-3）²-4有最大值，最大值是多少？

（7）当a取何值时，代数式4-（a-3）²有最大值，最大值是多少？

分析：

根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3）²为非负数，即（a-3）²≥0，则-（a-3）²≤0

可以进一步判断出最值 

解

（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3）²有最小值是0

（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3）²+4有最小值是4

    （3）当a-3=0，即a=3时，（a-3）²-4有最小值是-4

    （4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3）²有最大值是4

    （5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3）²+4有最大值是4

    （6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3）²-4有最大值是4

     （7）4-（a-3）²可以变形为-（a-3）²+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，即a=3时，4-（a-3）²有最大值是4（这里要学会转化和变通哦） 

评：

很好理解掌握a²即-a²的最值是解决本题的关键

归纳总结：

若x为未知数，a,b为常数，则

当x取何值时，代数式（x+a）²+b有最小值，最小值是多少

当x取何值时，代数式-（x+a）²+b有最大值，最大值是多少 

例题1:

1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

       2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

       3）当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

       4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

例题2：

1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

       2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

       3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

       4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

初一学生作业-绝对值+乘方=0

涉及知识点：

x²=0，则x=0|y|=0，则y=0x与y互为相反数，则x+y=0

例题1：

根据下列条件求出a和b的值

（1）|a-1|=0

（2）|a-1|+|b-2|=0

（3）3|a-1|+5|b-2|=0

（4）3|a-1|=-5|b-2|

（5）|a-1|与|b-2|互为相反数

分析：

我们知道：

若|y|=0，则y=0；

若y为任意有理数,m为常数，则y-m依然为任意有理数，则|y|≥0,|y-m|≥0

两个非负数的和为0，则两个数同时为0，即m≥0且n≥0,且m+n=0，则m=0且n=0

这样我们可以根据以上知识点可以很好的解决本题

解：

（1）∵|a-1|=0∴a-1=0∴a=1

（2）∵|a-1|≥0，|b-2|≥0，且|a-1|+|b-2|=0

  ∴|a-1|=0且|b-2|=0

  ∴a-1=0且b-2=0

  ∴a=1，b=2

（3）∵|a-1|≥0，|b-2|≥0，

   ∴3|a-1|≥0，5|b-2|≥0

   ∵3|a-1|+5|b-2|=0

   ∴3|a-1|=0且5|b-2|=0

   ∴a-1=0且b-2=0

    ∴a=1，b=2

（4）3|a-1|=-5|b-2|可以变形为3|a-1|+5|b-2|=0解法同（3）得a=1，b=2

（5）∵|a-1|与|b-2|互为相反数

  ∴|a-1|+|b-2|=0

   同

（2）解得a=1,b=2

例题2：

根据下列条件求出a和b的值

（1）（a-1）²=0

（2）（a-1）²+（b-2）²=0

（3）3（a-1）²+5（b-2）²=0

（4）3（a-1）²=-5（b-2）²

（5）（a-1）²与（b-2）²互为相反数

分析：

若a为任意有理数，则a-1和b-2仍然为任意有理数，则a²≥0，（a-1）²≥0，（b-2）²≥0

∴模仿例题1可以顺利解决本题

解：

（1）∵（a-1）²=0

∴a-1=0

∴a=1

（2）∵（a-1）²