必修3第二章第4节用样本估计总体理科4.docx
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必修3第二章第4节用样本估计总体理科4
年级
高二
学科
数学
版本
人教新课标A版(理)
课程标题
必修3第二章第2节用样本估计总体
编稿老师
张变英
一校
李秀卿
二校
林卉
审核
吴华斌
一、学习目标:
会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点。
会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想。
二、重点、难点:
重点:
会用样本的频率分布估计总体分布,并会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征,解决一些简单的实际问题。
难点:
会根据样本频率分布或频率直方图估计总体分布。
三、考点分析:
1.以基本题目(中、低档题)为主,多以选择题、填空题的形式出现,以实际问题为背景,综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力;
2.热点问题是频率分布直方图和用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
1.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征
(1)众数、中位数
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;
将一组数据按照从大到小(或从小到大)的顺序排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
(2)平均数与方差
如果这n个数据是
,那么
叫做这n个数据的平均数;
如果这n个数据是
,那么
2叫做这n个数据的方差;同时
2叫做这n个数据的标准差。
2.频率分布直方图、折线图与茎叶图
样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比,就是该数据的频率。
所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布,可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。
频率分布直方图:
具体做法如下:
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);
(2)决定组距与组数;
(3)将数据分组;
(4)列频率分布表;
(5)画频率分布直方图。
注:
频率分布直方图中小长方形的面积=组距×
=频率。
折线图:
连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。
总体密度曲线:
当样本容量足够大时,分组越多,折线越接近于一条光滑的曲线,此光滑曲线为总体密度曲线。
知识点一:
数字特征以及数字特征的应用
例1、为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽取了其中20颗做试验,得到这20颗手榴弹的杀伤半径,并列表如下:
(1)在这个问题中,总体、个体、样本和样本容量各是什么?
(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数,并估计这批手榴弹的平均杀伤半径。
【思路分析】
题意分析:
本题主要考查了总体、个体、样本等基本概念以及众数、中位数、平均数的求解。
解题思路:
关键是读懂表格,理解表格的含义,然后结合概念进行解答。
【解答过程】
(1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体;个体是每一颗手榴弹的杀伤半径;样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径;样本容量是20。
(2)在20个数据中,10出现了6次,次数最多,所以众数是10(米)。
20个数据从小到大排列,第10个和第11个数据是最中间的两个数,分别为9(米)和10(米),所以中位数是
(9+10)=9.5(米)。
样本平均数
(米)
所以,估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4米。
【题后思考】
(1)根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题.要注意:
总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标,不能说成考察的对象是手榴弹,而应说是手榴弹的杀伤半径。
(2)读懂表格的意义,利用概念求众数、中位数,用样本平均数估计这批手榴弹的平均杀伤半径。
另外在这里还要会简便计算有多个重复数据的样本的平均数。
例2、为估计一次性木质筷子的用量,2008年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本,这些饭店每天消耗的一次性木质筷子盒数分别为:
0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0
(1)通过对样本的计算,估计该县2008年消耗了多少盒一次性木质筷子(每年按350个营业日计算);
(2)2010年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查,调查的结果是10个样本饭店,每个饭店平均每天使用一次性木质筷子2.42盒。
求该县2009年、2010年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2010年该县饭店数、全年营业天数均与2008年相同);
(3)假如让你统计你所在省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量,如何利用统计知识完成任务,简要地用文字表述出来。
【思路分析】
题意分析:
本题主要考查数据的平均数的简单运用,是与函数、抽样问题结合考查的一道综合性题目。
解题思路:
第一问先根据已知数据求出一天的平均消耗值,然后求出一年的总消耗量。
第二问结合函数的增长率问题,进行求解运算。
第三问,运用随机抽样解决实际问题。
【解答过程】
(1)
所以,该县2008年消耗一次性木质筷子为2×600×350=420000(盒)。
(2)设平均每年增长的百分率为X,则2(1+X)2=2.42,解得X1=0.1=10%,X2=-2.1(不合题意,舍去)。
所以,平均每年增长的百分率为10%;
(3)先抽取若干个县(或市、州)作样本,再分别从这些县(或市、州)中抽取若干家饭店作样本,统计一次性木质筷子的用量。
【题后思考】本题是一道统计综合题,涉及的知识点很多,需要灵活运用各种知识分析解决问题。
对于第
(1)小题,可先求得样本平均数,再利用样本估计总体的思想来求解。
对于第
(2)小题,实际是一个增长率问题的应用题,可通过设未知数列方程的方法来解。
第(3)小题只要能够运用随机抽样方法,能体会到用样本估计总体的统计思想就可解决,在文字表述上要注意简洁、明了、正确。
例3、甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:
t/hm2)
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是。
【思路分析】
题意分析:
本题考查了数据的平均值和数据的方差的运用。
解题思路:
首先求甲、乙品种小麦单位面积产量的平均值,比较大小,然后求出各自的方差,比较其大小,方差越小越稳定。
【解答过程】甲
甲=
(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10.0,
乙=
(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10.0;
=
(9.8-10)2+…+(10.2-10)2=0.02,
=
(9.4-10)2+…+(9.8-10)2=0.244>0.02。
因为
,所以小麦品种甲较稳定。
【题后思考】方差与平均数在反映样本的特征上一定要区分开。
平均水平要用平均数体现,稳定性要通过方差进行比较。
知识点二:
频率分布直方图与条形图、茎叶图
例4、为检测某种产品的质量,抽取了一个容量为30的样本,检测结果为一级品5件,二级品8件,三级品13件,次品4件。
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出表示样本频率分布的条形图;
(3)根据上述结果,估计此种产品为二级品或三级品的概率约是多少。
【思路分析】
题意分析:
本题考查样本频率分布表和条形图的简单运用。
解题思路:
首先求出各级产品的频率,然后列出表格,最后画出条形图。
【解答过程】
(1)样本的频率分布表为
产品
频数
频率
一级品
5
0.17
二级品
8
0.27
三级品
13
0.43
次品
4
0.13
(2)样本频率分布的条形图为:
(3)此种产品为二级品或三级品的概率约为0.27+0.43=0.7。
【题后思考】条形图中纵坐标一般是频数或频率。
例5、为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下:
根据上图可得这100名学生中体重在(56.5,64.5)范围内的学生人数是
A.20B.30C.40D.50
【思路分析】
题意分析:
本题考查频率分布直方图的简单运用。
解题思路:
仔细读图,理解直方图中的面积表示频率。
然后结合总体数乘以频率等于频数进行计算。
【解答过程】答案:
C;
根据运算的算式:
体重在(56.5,64.5)范围内的学生累积频率为2×0.03+2×0.05+2×0.05+2×0.07=0.4,则体重在(56.5,64.5)范围内的学生人数为0.4×100=40。
【题后思考】熟悉频率、频数、组距间的关系式。
例6、某中学对高三年级进行身高统计,测量随机抽取的40名学生的身高,其结果如下(单位:
cm)
分组
[140,145)
[145,150)
[150,155)
[155,160)
[160,165)
[165,170)
[170,175)
[175,180)
合计
人数
1
2
5
9
13
6
3
1
40
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计数据落在[150,170)范围内的概率。
【思路分析】
题意分析:
本题主要考查绘制频率分布直方图,并能求变量在一定范围内的概率。
解题思路:
先结合表格确定各个区间的频率,然后结合组距,求出各个区间对应的频率与组距的比值,然后绘制出直方图,并求解在一定范围内的概率。
【解答过程】
(1)根据题意可列出频率分布表:
分 值
频 数
频 率
[140,145)
1
0.025
[145,150)
2
0.050
[150,155)
5
0.125
[155,160)
9
0.225
[160,165)
13
0.325
[165,170)
6
0.15
[170,175)
3
0.075
[175,180)
1
0.025
合 计
40
1.00
(2)频率分布直方图如下:
(3)数据落在[150,170)范围内的概率约为0.825。
【题后思考】熟练掌握频率分布直方图中频率,频数,组距之间的关系运用,并解决一定的实际问题。
例7、下图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据图可知()
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D.甲运动员的最低得分为0分
【思路分析】
题意分析:
本题考查茎叶图的简单运用。
解题思路:
读图,识图,然后结合基本数字特征来分析甲、乙的成绩情况
【解答过程】
由图可知,甲的成绩最低分是10分,故答案D不正确。
再看甲的成绩对称分布,主要集中在30多分,中位数是34.5,而乙的成绩集中在29分,因此甲的成绩好于乙的成绩,答案B不正确。
而且由上可知他们的成绩有明显的差异,答案C不对,故正确答案为A
【题后思考】理解茎叶图表示的数据的含义,并能直接观察数据,分析其在实际问题中所反映出的现实问题。
【小结】掌握频率分布条形图,频率分布直方图中频率的含义。
正确理解和求解数据的平均值和标准差,并能根据茎叶图进行理解和运用。
本部分内容主要考查熟练地识别频率分布直方图,并能解决有关的频率和频数以及概率问题。
同时能根据给定的数据求平均水平以及数据的稳定性。
一般高考对这部分主要以小题的形式考查,所以只要熟悉基本的题型即可。
一、预习新知:
思考:
在学校里,老师对学生说:
“如果你的数学成绩好,那么你的物理成绩也不会差。
”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在一种相关关系,这种说法有没有根据呢?
二、预习点拨:
探究与反思:
探究任务一:
变量之间的相关关系有哪些?
1.正相关:
。
2.负相关:
。
【反思】
(1)你能举出一些生活中的正相关和负相关的例子吗?
(2)两个变量成负相关时,散点图有什么特点?
那么正相关时,散点图有什么特点呢?
探究任务二:
回归方程以及最小二乘法
【反思】
(1)什么是回归直线呢?
(2)如何求回归直线方程呢?
(3)什么是最小二乘法?
(答题时间:
60分钟)
一、选择题
1、为了了解一批数据在各个范围内所占比例的大小,将这批数据分组,落在各个小组里的数据个数叫做()
A.频数B.样本容量C.频率D.频数累计
2、在频率分布直方图中,各个小长方形的面积表示()
A.落在相应各组的数据的频数
B.相应各组的频率
C.该样本所分成的组数
D.该样本的容量
3、为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况,以某天销售40双皮鞋为一个样本,把它按尺码分成5组,第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是40—42码的皮鞋,则售出的200双皮鞋中含40—42码的皮鞋为()
A.50双B.40双C.20双D.30双
4、从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,前三组是不超过80分的人,其频数之和为20人,其频率之和(又称累积频率)为0.4,则所抽取的样本的容量是()
A.100B.80C.40D.50
5、下列叙述中正确的是()
A.从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小
B.频数是指落在各个小组内的数据
C.每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率
D.组数是样本平均数除以组距
二、填空题
6、将一批数据分成5组列出频率分布表,其中第1组的频率是0.1,第4组与第5组的频率之和是0.3,那么第2组与第3组的频率之和是。
7、在求频率分布时,把数据分为5组,若已知其中的前四组频率分别为0.1,0.3,0.3,0.1,则第五组的频率是,这五组的频数之比为。
8、在已分组的数据中,每组的频数是指,每组的频率是指_____。
三、解答题
9、为了了解学生的身体发育情况,某校对年满16周岁的60名男生的身高进行测量,其结果如下:
身高(m)
1.57
1.59
1.60
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.68
人数
2
1
4
2
3
4
2
7
6
身高(m)
1.69
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
人数
8
7
4
3
2
1
2
1
1
(1)根据上表,估计这所学校年满16周岁的男生中,身高不低于1.65m且不高于1.71m的约占多少?
不低于1.63m的约占多少?
(2)将测量数据分为6组,画出样本频率分布直方图;
(3)根据图形说出该校年满16周岁的男生在哪一范围内的人数所占的比例最大?
如果年满16周岁的男生有360人,那么在这个范围内的人数估计约有多少人?
10、为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组及频率如下表:
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
[10.85,10.95)
9
[10.95,11.05)
13
[11.05,11.15)
16
[11.15,11.25)
26
[11.25,11.35)
20
[11.35,11.45)
7
[11.45,11.55)
4
[11.55,11.65)
2
合计
100
(1)完成上面的频率分布表;
(2)根据上表画出频率分布直方图;
(3)根据上表和
(2)题图,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的概率约是多少?
(4)数据小于11.20的概率约是多少?
1、A;2、B;3、B;4、D;5、C
6、0.6
7、0.21:
3:
3:
1:
2
8、落入该组的数据的个数;落入该组的数据个数与数据总数的比值
9、解:
(1)计算各个身高数据的频率,不低于1.65m且不高于1.71m的占56.7%,不低于1.63m的占85%。
(2)样本频率分布直方图略。
(3)在不低于1.69m且不高于1.71m范围内的男生人数所占比例最大,全校在这个范围内的人数估计有114人。
10、解:
(1)
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
0.03
[10.85,10.95)
9
0.09
[10.95,11.05)
13
0.13
[11.05,11.15)
16
0.16
[11.15,11.25)
26
0.26
[11.25,11.35)
20
0.20
[11.35,11.45)
7
0.07
[11.45,11.55)
4
0.04
[11.55,11.65)
2
0.02
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图略
(3)数据落在[10.95,11.35)范围内的概率为:
0.13+0.16+0.26+0.20=0.75
(4)由图可知,数据小于11.20的概率约为0.54
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