高中数学集合专题训练.docx
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高中数学集合专题训练
§1–1 集 合
一、集合的概念
1.1.1 在“①难解的题目;②方程x2+1=0在实数集内的解;③直角坐标平面上第四象限内的所有点;④很多多项式”中,能够组成集合的是( ).
(A)②③(B)①③(C)②④(D)①②④
解析 由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合,答案为A.
1.1.2 下列集合中,有限集是( ).
(A){x|x<10,x∈N}(B){x|x<10,x∈Z}
(C){x|x2<10,x∈Q}(D){x|x=y+10,y∈R}
解析 由N表示自然数集得{x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}是有限集,答案为A.
1.1.3 若集合M={x|x≤6},a=,则下列结论中正确的是( ).
(A){a}
M(B)a
M(C){a}∈M(D)a∉M
解析 因为<6,则∈M,{a}
M,所以,答案为A.
1.1.4 已知集合A={0,1},B={y|y2=1-x2,x∈A},则A与B的关系是( ).
(A)A=B(B)A
B(C)A∈B(D)A
B
解析 由已知得集合B={-1,0,1},所以,A
B,答案为B.
1.1.5 下列四个关系中,正确的是( ).
(A)∅∈{0}(B)0∉{0}(C){0}∈{0,1}(D)0∈{0,1}
解析 ∅与{0},{0}与{0,1}是两个集合间的关系,这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达;而0∈{0},又0是集合{0,1}中的元素,所以,0∈{0,1}是正确的,答案为D.
1.1.6 设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=( ).
(A)1(B)-1(C)2(D)-2
解析 由已知得0∈{1,a+b,a},而a≠0,于是,只能a+b=0,则=-1,又-1∈{1,a+b,a},所以,a=-1,b=1,b-a=2,答案为C.
1.1.7 用适当的方式写出下列集合:
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合 ;
(2)不大于6的非负整数所组成的集合 ;
(3)所有正奇数组成的集合 ;
(4)方程x3+6=0的实数解构成的集合 ;
(5)不等式x2-5x+4<0的解集 ;
(6)直角坐标平面中,第一象限内的所有点组成的集合 ;
(7)直角坐标平面中,直线y=2x-1上的所有点组成的集合 .
解析
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合是{红,黄}.
(2)不大于6的非负整数所组成的集合是{0,1,2,3,4,5,6}.
(3)所有正奇数组成的集合是{x|x=2k+1,k∈N}.
(4)方程x3+6=0的实数解构成的集合是{x|x3+6=0,x∈R}.
(5)不等式x2-5x+4<0的解集{x|x2-5x+4<0}或写成{x|1 (6)直角坐标平面中,第一象限内的所有点组成的集合是{(x,y)|x>0且y>0}. (7)直角坐标平面中,直线y=2x-1上的所有点组成的集合是{(x,y)|y=2x-1}. 1.1.8 已知集合A={1,3,x},集合B={1,x2},若有B A且x∉B,则A= . 解析 由x2∈A及x∉B得x2=3,解得x=±,经检验此x的值符合集合中元素的互异性,所以,集合A={1,3,}或{1,3,-}. 1.1.9 集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2m-1≤x≤2m+1},若B⊆A,则m的取值范围是 . 解析 由已知可得解得-1≤m≤. 1.1.10 若集合M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为( ). (A)9(B)6(C)4(D)2 解析 将点(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)的坐标代入不等式组可知只有点(0,0),(1,1),(1,0),(2,1)四个点在集合N内,所以,答案为C. 1.1.11 定义集合运算: A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为( ). (A)0(B)6(C)12(D)18 解析 由已知可得A☉B={0,6,12},所以,A☉B中所有元素之和为18,答案为D. 1.1.12 设⊕是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意a,b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭.下列数集对加法,减法,乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ). (A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集 解析 任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数,任意两个无理数的积不一定是无理数,而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数,所以,有理数集对加法,减法,乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的,答案为C. 1.1.13 集合M={x|a1x>b1},N={x|a2x>b2},其中常数a1b1a2b2≠0,则“”是“M=N”的( ). (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析 若a1=b1=1,a2=b2=-1,则有,此时,M={x|x>1},N={x|x<1},M≠N; 若M=N,则必有a1a2>0,于是,M=,N=, 或者,M=,N=,于是,,即, 所以,“”是“M=N”的必要不充分条件,答案为B. 1.1.14 已知集合M={x|x≤a2+b2},其中a,b是常数.给出下列四个命题: ①2ab一定属于M ②2ab一定不属于M ③-2ab一定属于M ④-2ab一定不属于M 其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号). 解析 由(a-b)2≥0和(a+b)2≥0对任意a,b∈R恒成立可得2ab≤a2+b2,-2ab≤a2+b2,所以,2ab∈M,-2ab∈M,在上述四个命题中,①和③是正确的. 1.1.15 已知集合A是非零实数集的子集,并且有如下性质: 对任意x∈A,必有3-∈A.问: (1)集合A可否有且仅有一个元素? 如果可以,求出所有满足要求的集合A;若不可以,则说明理由; (2)集合A可否有且仅有两个元素? 如果可以,求出所有满足要求的集合A;若不可以,则说明理由. 解析 (1)若集合A中有且仅有一个元素x,则3-=x,即x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,所以,集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集. (2)集合{1,2}是满足要求的二元集.若集合A={a,b}是满足要求的二元集,并且即则a=b,矛盾,所以,满足要求的二元集只能是{1,2}. 1.1.16 同时满足{1} A⊆{1,2,3,4,5},且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是( ). (A)5(B)6(C)7(D)8 解析 若A为二元集,则A可为{1,2}、{1,4};若A为三元集,则A可为{1,2,4}、{1,3,5};若A为四元集,则A可为{1,2,3,5}、{1,3,4,5};若A为五元集,则A可为{1,2,3,4,5},所以,共有7个符合条件的集合,答案为C. 1.1.17 对于集合A和B,当A B时,下列集合之间的关系一定不能成立的是( ). (A)∅⊆A(B)∅ B(C)B=∅(D)A=∅ 解析 由于不存在集合是空集的真子集,所以,由A B可得B≠∅,所以,答案为C. 1.1.18 下列各组集合中,M与P表示同一个集合的是( ). (A)M={(1,-3)},P={(-3,1)} (B)M=∅,P={0} (C)M={y|y=x2+1,x∈R},P={(x,y)|y=x2+1,x∈R} (D)M={y|y=x2+1,x∈R},P={t|t=(y-1)2+1,y∈R} 解析 (1,-3)与(-3,1)是平面直角坐标系中两个不相同的点;集合{0}中有一个元素,它不是空集. 集合M={y|y=x2+1,x∈R}是二次函数y=x2+1的因变量的集合,它是一个数集,而集合P={(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线,它是点的集合. 集合M={y|y=x2+1,x∈R}={t|t=(y-1)2+1,y∈R}={y|y≥1},所以,答案为D. 1.1.19 写出集合A={(x,y)|x2+y2=2且x+y=0}的所有子集: . 解析 集合A={(1,-1),(-1,1)},所以,A的所有子集是∅,{(1,-1)},{(-1,1)},{(1,-1),(-1,1)}. 1.1.20 用适当的方式写出下列集合并化简: (1)方程x2+2=0的全体实数解组成的集合: ; (2)函数y=3x+2,1≤x≤3的所有因变量组成的集合: ; (3)函数y=-x2+4x+3,x∈R的所有因变量组成的集合: . 解析 (1)方程x2+2=0的全体实数解组成的集合是{x|x2+2=0,x∈R}=∅; (2)函数y=3x+2,1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y=3x+2,1≤x≤3}={y|5≤y≤11}; (3)函数y=-x2+4x+3,x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y=-x2+4x+3,x∈R}={y|y≤7}. 1.1.21 已知集合{x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}中有且仅有一个元素,则a的值是 . 解析 要使得集合{x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}中有且仅有一个元素,则a=0或Δ=22-4a=0,所以,a=0或a=1. 1.1.22 关于x的不等式≤的解集是A,关于x的不等式x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(其中a∈R)的解集是B,求使A⊆B的a的取值范围. 解析 不等式≤的解集A=[2a,a2+1]. 不等式x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0即为(x-2)(x-3a-1)≤0. 若a≥,则B=[2,3a+1];若a<,则B=[3a+1,2]. 由A⊆B得或解得1≤a≤3或a=-1. 所以,a的取值范围是a=-1或1≤a≤3. 1.1.23 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-bx+2=0,x∈R},若B⊆A,C⊆A,求实数a,b应满足的条件. 解析 集合A={1,2},而x2-ax+(a-1)=0即为(x-1)(x-a+1)=0,若a-1=1,即a=2,则B={1}满足;若a-1≠1,即a≠2,则B={1,a-1},由B⊆A知a-1=2,即a=3.对于集合C,由C⊆A知,若C=∅,则Δ=(-b)2-8<0,解得-2 1.1.24 已知集合A={(x,y)|y=-x2+mx-1},B={(x,y)|x+y=3,0≤x≤3},若有且仅有一个点同时属于集合A和B,求实数m的取值范围. 解析 由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点.由得 x2-(1+m)x+4=0,该方程在区间[0,3]上只有一个解. 若Δ=(m+1)2-16=0,则m=3或m=-5,如果m=3,解得x=2;如果m=-5,解得x=-2∉[0,3],于是m=-5舍去. 若Δ>0,则记f(x)=x2-(1+m)x+4,此时,只需f(3)<0,即9-3(m+1)+4<0,解得m>. 所以,m的取值范围是m>或m=3. 1.1.25 设集合M={1,2,3,4,5,6},S1,S2,…,Sk都是M的含两个元素的子集,且满足: 对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k}),都有min≠min(min{x,y}表示两个数x,y中的较小者),则k的最大值是( ). (A)10(B)11 (C)12(D)13 解析 集合M的所有两元子集是{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共计15个,其中,不同min(i=1,2,…,15)有共11个,所以,答案为B. 1.1.26 设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P,都有a+b,a-b,ab,∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题: ①整数集是数域;②若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域; ③数域必为无限集;④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号填上). 解析 因为任意两个整数的商不一定是整数,故命题①不正确;当集合M=Q∪{}时,由于1∈Q,而∉M,故命题②不正确;由数域P的定义知,必有=1∈P,从而2∈P,则3∈P,…,所以,整数集Z⊆P,故数域P中必有无穷多个元素,命题③正确;由于数集F={a+b|a,b∈Q}是数域,则将其中的换成,…等仍为数域,所以数域有无穷多个,命题④正确. 所以,在上述四个命题中,正确命题的序号是③,④. 1.1.27 非空集合G关于运算⊕满足: (1)对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G; (2)存在e∈G,使得对一切a∈G,都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算: ①G={非负整数},⊕为整数的加法; ②G={偶数},⊕为整数的乘法; ③G={平面向量},⊕为平面向量的加法; ④G={二次三项式},⊕多项式的乘法; ⑤G={虚数},⊕为复数的乘法. 其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序号). 解析 对于非负整数集以及加法运算,两个非负整数之和一定是非负整数,其中e=0;对于偶数集和乘法运算,其中不存在满足要求的元素e;对于平面向量集合以及向量的加法运算,任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量,e=;对于二次三项式集合以及多项式的乘法,其中不存在满足要求的元素e;对于虚数集和复数的乘法运算,其中不存在满足要求的元素e,所以,集合G关于运算⊕为“融洽集”的是①和③. 1.1.28 已知集合S={x|x=m2+n2,m,n∈Z}.求证: 若a,b∈S,则ab∈S. 解析 由a,b∈S得存在整数p,q,r,s,使得a=p2+q2,b=r2+s2,则ab=(p2+q2)(r2+s2)=p2r2+q2s2+p2s2+q2r2=(pr+qs)2+(ps-qr)2,其中pr+qs和ps-qr都是整数,所以,ab∈S. 1.1.29 已知集合A={x|x=12a+8b,a,b∈Z},B={y|y=20c+16d,c,d∈Z}.判断集合A与集合B之间存在什么关系,并说明理由. 解析 若y∈B,即y=20c+16d=12c+8(c+2d),因为c,d∈Z,则有c+2d∈Z,得y∈A,于是B⊆A;若x∈A,则x=12a+8b=60a-48a+40b-32b=20(3a+2b)+16(-3a-2b),因为a,b∈Z,则有3a+2b,-3a-2b∈Z,于是A⊆B.所以,A=B. 1.1.30 若f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,A={x|x=f(x),x∈R},B={x|x=f[f(x)],x∈C}. (1)写出集合A与B之间的关系,并证明; (2)当A={-1,3}时,用列举法表示集合B. 解析 (1)任取x∈A,则f(x)=x,于是,f[f(x)]=f(x)=x,即有x∈B,所以有A⊆B,但由于x=f[f(x)]必为四次方程,在复数集C上有4个根,所以A B. (2)当A={-1,3}时,即方程x2+ax+b=x的两根为-1、3,于是-1+3=-(a-1),(-1)×3=b,所以a=-1,b=-3,即f(x)=x2-x-3,此时,集合B中的方程为(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x,即(x2-x-3)2-x2=0,(x2-3)(x2-2x-3)=0,所以,B={-1,3,,-}. 1.1.31 已知A={(x,y)|x2+y2+4x+4y+7=0,x,y∈R},B={(x,y)|xy=-10,x,y∈R}. (1)对于直线m和直线外的一点P,用“m上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的.试以类似的方式给出一个点集A与B的“距离”的定义; (2)依照 (1)中的定义求出A与B的“距离”. 解析 (1)定义: 在点集A,B中分别任取一点,所取两点间的距离若有最小值,则此最小值称为点集A与B的“距离”. (2)集合A中的点构成一个圆,其方程是(x+2)2+(y+2)2=1,圆心C(-2,-2),半径为1,设P(x,y)为曲线xy=-10上任意一点,则|PC|2=(x+2)2+(y+2)2=x2+y2+4(x+y)+8=(x+y)2-2xy+4(x+y)+8=(x+y)2+4(x+y)+28=(x+y+2)2+24. 当且仅当即或时,|PC=24,|PC|最小值=2,所以,A与B的“距离”为2-1. 二、集合的运算 1.1.32 已知全集I={a1,a2,a3,a4,a5,a6},集合A={a1,a3,a4,a5},B={a1,a4},则A∩∁IB=( ). (A){a1,a4}(B){a2,a6} (C){a3,a5}(D){a2,a3,a5,a6} 解析 ∁IB={a2,a3,a5,a6},所以,A∩∁IB={a3,a5},答案为C. 1.1.33 若集合M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0},则M∩N=( ). (A){3}(B){0}(C){0,2}(D){0,3} 解析 M=[-2,2],N={0,3},所以M∩N={0},答案为B. 1.1.34 设A,B,I均为非空集合,且满足A⊆B⊆I,则下列各式中错误的是( ). (A)(∁IA)∪B=I 题1.1.34 (B)(∁IA)∪(∁IB)=I (C)A∩(∁IB)=∅ (D)(∁IA)∩(∁IB)=(∁IB) 解析 集合A,B,I的关系如图所示,可知(∁IA)∪(∁IB)=∁IA≠I,所以,答案为B. 1.1.35 设全集I={2,3,5},A={|a-5|,2},∁IA={5},则a的值为( ). (A)2(B)8(C)2或8(D)-2或8 解析 由A∪∁IA=I得|a-5|=3,所以a=2或8,答案为C. 1.1.36 设集合M={x|a1x2+b1x+c1=0},N={x|a2x2+b2x+c2=0},则方程(a1x2+b1x+c1)(a2x2+b2x+c2)=0的解集是( ). (A)M∩N(B)M∪N(C)N(D)M 解析 由(a1x2+b1x+c1)(a2x2+b2x+c2)=0可得(a1x2+b1x+c1)=0或(a2x2+b2x+c2)=0,所以,该方程的解集是M∪N,答案为B. 1.1.37 若集合M={(x,y)|x+y=0},P={(x,y)|x-y=2},则M∩P=( ). (A)(1,-1)(B){x=1}∪{y=-1} (C){1,-1}(D){(1,-1)} 解析 由得所以,M∩P={(1,-1)},答案为D. 1.1.38 满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( ). (A)1(B)2(C)3(D)4 解析 由M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}知a1、a2∈M,a3∉M,a4可以在集合M也可以不在集合M中,所以,满足要求的集合M的个数是2个.答案为B. 1.1.39 若A,B,C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( ). (A)A⊆C(B)C⊆A (C)A≠C(D)A=∅ 解析 任取x∈A,则x∈A∪B=B∩C,于是,x∈B∩C,则x∈C,所以,A⊆C,答案为A. 1.1.40 已知A={x|x≤7},B={x|x<2},C={x|x>5},则A∩B= ;A∪C= ;A∩B∩C= . 解析 由已知得A∩B={x|x<2},A∪C=R,A∩B∩C=∅. 题1.1.41 1.1.41 若集合A={x|-2 解析 在数轴上画出集合A∪B和A∩B可得a=1,b=3. 1.1.42 全集U的子集A、B、C的关系如图所示: 其中三个圆分别表示集合A、B、C,试用集合A、B、C的运算结果表述图中的阴影所代表的集合: . 题1.1.42 解析 图中的阴影部分表示集合∁UA∩B∩C. 1.1.43 已知a>b>0,全集I=R,集合M=,N=,P={x|b 题1.1.43 (A)P=M∩∁IN(B)P=∁IM∩N (C)P=M∪N(D)P=M∩N
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