第六章三角函数高中数学竞赛标准教材.docx
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第六章三角函数高中数学竞赛标准教材
第六章三角函数(高中数学竞赛标准教材)
第六三角函数
一、基础知识
定义1角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,),到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数sα=,正切函数tanα=,余切函数tα=,正割函数seα=,余割函数sα=
定理1同角三角函数的基本关系式,倒数关系:
tanα=,sinα=,sα=;商数关系:
tanα=;乘积关系:
tanα×sα=sinα,tα×sinα=sα;平方关系:
sin2α+s2α=1,tan2α+1=se2α,t2α+1=s2α
定理2诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα,s(π+α)=-sα,tan(π+α)=tanα,t(π+α)=tα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα,s(-α)=sα,tan(-α)=-tanα,t(-α)=tα;(Ⅲ)sin(π-α)=sinα,s(π-α)=-sα,tan=(π-α)=-tanα,t(π-α)=-tα;(Ⅳ)sin=sα,s=sinα,tan=tα(奇变偶不变,符号看象限)。
定理3正弦函数的性质,根据图象可得=sinx(x∈R)的性质如下。
单调区间:
在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2奇偶数有界性:
当且仅当x=2x+时,取最大值1,当且仅当x=3-时,取最小值-1。
对称性:
直线x=+均为其对称轴,点(,0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。
这里∈Z
定理4余弦函数的性质,根据图象可得=sx(x∈R)的性质。
单调区间:
在区间[2π,2π+π]上单调递减,在区间[2π-π,2π]上单调递增。
最小正周期为2π。
奇偶性:
偶函数。
对称性:
直线x=π均为其对称轴,点均为其对称中心。
有界性:
当且仅当x=2π时,取最大值1;当且仅当x=2π-π时,取最小值-1。
值域为[-1,1]。
这里∈Z
定理正切函数的性质:
由图象知奇函数=tanx(xπ+)在开区间(π-,π+)上为增函数,最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(π,0),(π+,0)均为其对称中心。
定理6两角和与差的基本关系式:
s(αβ)=sαsβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαsβsαsinβ;tan(αβ)=
定理7和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sins,sinα-sinβ=2sins,
sα+sβ=2ss,sα-sβ=-2sinsin,
sinαsβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],sαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
sαsβ=[s(α+β)+s(α-β)],sinαsinβ=-[s(α+β)-s(α-β)]
定理8倍角公式:
sin2α=2sinαsα,s2α=s2α-sin2α=2s2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9半角公式:
sin=,s=,
tan==
定理10万能公式:
,定理11辅助角公式:
如果a,b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a,b)的一个角为β,则sinβ=,sβ=,对任意的角α
asinα+bsα=sin(α+β)
定理12正弦定理:
在任意△AB中有,其中a,b,分别是角A,B,的对边,R为△AB外接圆半径。
定理13余弦定理:
在任意△AB中有a2=b2+2-2bsA,其中a,b,分别是角A,B,的对边。
定理14图象之间的关系:
=sinx的图象经上下平移得=sinx+的图象;经左右平移得=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原的,得到=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原的A倍,得到=Asinx的图象(振幅变换);=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原的A倍,得到=Asinx的图象(振幅变换);=Asin(x+)(,>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到=Asinx的图象。
定义4函数=sinx的反函数叫反正弦函数,记作=arsinx(x∈[-1,1]),函数=sx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数,记作=arsx(x∈[-1,1])函数=tanx的反函数叫反正切函数。
记作=artanx(x∈[-∞,+∞])=sx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数,记作=artx(x∈[-∞,+∞])
定理1三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narsina,n∈Z}。
方程sx=a的解集是{x|x=2xarsa,∈Z}如果a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=π+artana,∈Z}。
恒等式:
arsina+arsa=;artana+arta=
定理16若,则sinx<x<tanx
二、方法与例题
1.结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数=sinx与=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有6个交点,故方程有6个解。
2.三角函数性质的应用。
例2设x∈(0,π),试比较s(sinx)与sin(sx)的大小。
【解】若,则sx≤1且sx>-1,所以s,
所以sin(sx)≤0,又0<sinx≤1,所以s(sinx)>0,
所以s(sinx)>sin(sx)
若,则因为sinx+sx=(sinxs+sinsx)=sin(x+)≤<,
所以0<sinx<-sx<,
所以s(sinx)>s(-sx)=sin(sx)
综上,当x∈(0,π)时,总有s(sinx)<sin(sx)
例3已知α,β为锐角,且x•(α+β-)>0,求证:
【证明】若α+β>,则x>0,由α>-β>0得sα<s(-β)=sinβ,
所以0<<1,又sinα>sin(-β)=sβ,所以0<<1,
所以
若α+β<,则x<0,由0<α<-β<得sα>s(-β)=sinβ>0,
所以>1。
又0<sinα<sin(-β)=sβ,所以>1,
所以,得证。
注:
以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。
3.最小正周期的确定。
例4求函数=sin(2s|x|)的最小正周期。
【解】首先,T=2π是函数的周期(事实上,因为s(-x)=sx,所以|x|=sx);其次,当且仅当x=π+时,=0(因为|2sx|≤2<π),
所以若最小正周期为T0,则T0=π,∈N+,又sin(2s0)=sin2sin(2sπ),所以T0=2π。
4.三角最值问题。
例已知函数=sinx+,求函数的最大值与最小值。
【解法一】令sinx=,
则有=
因为,所以,
所以≤1,
所以当,即x=2π-(∈Z)时,in=0,
当,即x=2π+(∈Z)时,ax=2
【解法二】因为=sinx+,
=2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)),
且|sinx|≤1≤,所以0≤sinx+≤2,
所以当=sinx,即x=2π+(∈Z)时,ax=2,
当=-sinx,即x=2π-(∈Z)时,in=0。
例6设0<<π,求sin的最大值。
【解】因为0<<π,所以,所以sin>0,s>0
所以sin(1+s)=2sin•s2=≤=
当且仅当2sin2=s2,即tan=,=2artan时,sin(1+s)取得最大值。
例7若A,B,为△AB三个内角,试求sinA+sinB+sin的最大值。
【解】因为sinA+sinB=2sins,①
sin+sin,②
又因为,③
由①,②,③得sinA+sinB+sin+sin≤4sin,
所以sinA+sinB+sin≤3sin=,
当A=B==时,(sinA+sinB+sin)ax=
注:
三角函数的有界性、|sinx|≤1、|sx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
.换元法的使用。
例8求的值域。
【解】设t=sinx+sx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxsx,
所以sinxsx=,所以,
所以
因为t-1,所以,所以-1
所以函数值域为
例9已知a0=1,an=(n∈N+),求证:
an>
【证明】由题设an>0,令an=tanan,an∈,则
an=
因为,an∈,所以an=,所以an=
又因为a0=tana1=1,所以a0=,所以•。
又因为当0<x<时,tanx>x,所以
注:
换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈时,有tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。
6.图象变换:
=sinx(x∈R)与=Asin(x+)(A,,>0)
由=sinx的图象向左平移个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原的A倍,然后再保持纵坐标不变,横坐标变为原的,得到=Asin(x+)的图象;也可以由=sinx的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原的A倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原的,最后向左平移个单位,得到=Asin(x+)的图象。
例10例10已知f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤π)是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和的值。
【解】由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以sin(+)=sin(-x+),所以ssinx=0,对任意x∈R成立。
又0≤≤π,解得=,
因为f(x)图象关于对称,所以=0。
取x=0,得=0,所以sin
所以(∈Z),即=(2+1)(∈Z)
又>0,取=0时,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
取=1时,=2,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
取=2时,≥,此时f(x)=sin(x+)在[0,]上不是单调函数,
综上,=或2。
7.三角公式的应用。
例11已知sin(α-β)=,sin(α+β)=-,且α-β∈,α+β∈,求sin2α,s2β的值。
【解】因为α-β∈,所以s(α-β)=-
又因为α+β∈,所以s(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)s(α-β)+s(α+β)sin(α-β)=,
s2β=s[(α+β)-(α-β)]=s(α+β)s(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1
例12已知△AB的三个内角A,B,成等差数列,且,试求的值。
【解】因为A=1200-,所以s=s(600-),
又由于
=,
所以=0。
解得或。
又>0,所以。
例13求证:
tan20+4s70
【解】tan20+4s70=+4sin20
三、基础训练题
1.已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2s3),则x的弧度数为___________。
2.适合-2sx的角的集合为___________。
3.给出下列命题:
(1)若αβ,则sinαsinβ;
(2)若sinαsinβ,则αβ;(3)若sinα>0,则α为第一或第二象限角;(4)若α为第一或第二象限角,则sinα>0上述四个命题中,正确的命题有__________个。
4.已知sinx+sx=(x∈(0,π)),则tx=___________。
.简谐振动x1=Asin和x2=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。
6.已知3sinx-4sx=sin(x+1)=sin(x-2)=s(x+3)=s(x-4),则1,2,3,4分别是第________象限角。
7.满足sin(sinx+x)=s(sx-x)的锐角x共有________个。
8.已知,则=___________。
9.=___________。
10.t1s2t3t8=___________。
11.已知α,β∈(0,π),tan,sin(α+β)=,求sβ的值。
12.已知函数f(x)=在区间上单调递减,试求实数的取值范围。
四、高考水平训练题
1.已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R,若其周长为定值(>0),当扇形面积最大时,a=__________
2函数f(x)=2sinx(sinx+sx)的单调递减区间是__________
3函数的值域为__________
4方程=0的实根个数为__________
若sina+sa=tana,a,则__________a(填大小关系)
6(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan4)=__________
7若0<≤x<且tanx=3tan,则x-的最大值为__________
8=__________
9•s•s•s•s=__________
10s271+s71s49+s249=__________
11解方程:
sinx+2sin2x=3+sin3x
12求满足sin(x+sinx)=s(x-sx)的所有锐角x
13已知f(x)=(A0,∈Z,且A∈R),
(1)试求f(x)的最大值和最小值;
(2)若A>0,=-1,求f(x)的单调区间;(3)试求最小正整数,使得当x在任意两个整数(包括整数本身)间变化时,函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。
五、联赛一试水平训练题
(一)
1.若x,∈R,则z=sx2+s2-sx的取值范围是____________
2.已知圆x2+2=2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点,则实数的取值范围是____________
3.f()=+8s+4s2+s3的最小值为____________
4.方程sinx+sx+a=0在(0,2π)内有相异两实根α,β,则α+β=____________
.函数f(x)=|tanx|+|tx|的单调递增区间是____________
6.设sina>0>sa,且sin>s,则的取值范围是____________
7.方程tanx+tan3x=0在[0,π]中有__________个解
8.若x,∈R,则=sx+s+2s(x+)的最小值为____________
9.若0<<,∈N+,比较大小:
(2+1)sin(1-sin)__________1-sin2+1
10.t70+4s70=____________
11在方程组中消去x,,求出关于a,b,的关系式。
12.已知α,β,γ,且s2α+s2β+s2γ=1,求tanαtanβtanγ的最小值。
13.关于x,的方程组有唯一一组解,且sinα,sinβ,sinγ互不相等,求sinα+sinβ+sinγ的值。
14.求满足等式sinx=sinx+sin的所有实数对(x,),x,
联赛一试水平训练题
(二)
1.在平面直角坐标系中,函数f(x)=asinax+sax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________
2.若,则=tan-tan+s的最大值是__________
3.在△AB中,记B=a,A=b,AB=,若9a2+9b2-192=0,则=__________
4.设f(x)=x2-πx,α=arsin,β=artan,γ=ars,δ=art,将f(α),f(β),f(γ),f(δ)从小到大排列为__________
.lgsin1s1=a,lgsin1tan1=b,lgs1sin1=,lgs1tan1=d。
将a,b,,d从小到大排列为__________
6.在锐角△AB中,sA=sαsinβ,sB=sβsinγ,s=sγsinα,则tanα•tanβ•tanγ=__________
7.已知矩形的两边长分别为tan和1+s(0<<π),且对任何x∈R,f(x)=sin•x2+•x+s≥0,则此矩形面积的取值范围是__________
8.在锐角△AB中,sinA+sinB+sin的取值范围是__________
9.已知当x∈[0,1],不等式x2s-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立,则的取值范围是__________
10.已知sinx+sin+sinz=sx+s+sz=0,则s2x+s2+s2z=__________
11.已知a1,a2,…,an是n个实常数,考虑关于x的函数:
f(x)=s(a1+x)+s(a2+x)+…+s(an+x)。
求证:
若实数x1,x2满足f(x1)=f(x2)=0,则存在整数,使得x2-x1=π
12.在△AB中,已知,求证:
此三角形中有一个内角为。
13.求证:
对任意自然数n,均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>
六、联赛二试水平训练题
1.已知x>0,>0,且x+<π,求证:
(-1)sin(x+)+(sinx-sin)+sin>0①(∈R)
2已知a为锐角,n≥2,n∈N+,求证:
≥2n-2+1
3设x1,x2,…,xn,…,1,2,…,n,…满足x1=1=,xn+1=xn+,n+1=,求证:
2<xnn<3(n≥2)
4.已知α,β,γ为锐角,且s2α+s2β+s2γ=1,求证;π<α+β+γ<π
.求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意,恒有(x+3+2sins)2+(x+asin+asin)2≥
6设n,都是正整数,并且n>,求证:
对一切x都有2|sinnx-snx|≤3|sinnx-snx|
7.在△AB中,求sinA+sinB+sin-sA-sB-s的最大值。
8.求的有的实数a,使sa,s2a,s4a,…,s2na,…中的每一项均为负数。
9.已知i,tan1tan2…tann=2,n∈N+,若对任意一组满足上述条的
1,2,…,n都有s1+s2+…+sn≤λ,求λ的最小值。
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