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奥数数论基础知识
奥数数论基础知识
一质数和合数
(1)一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
(2)自然数除0和1外,按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住:
0和1不是质数,也不是合数。
(3)最小的质数是2,2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数;
最小的合数是4。
(4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数,是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能是两个质数(3和5),可能是一个质数和一个合数(3和4),可能是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。
(5)如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
(6)100以内的质数有25个:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、
29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、
83、89、97 .
二整除性
(1)概念
一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。
记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
(2)性质
性质1:
(整除的加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:
如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。
例如:
如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。
也就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质2:
如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.
即:
如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:
(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:
如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
例如:
如果2|28,7|28,且(2,7)=1,
那么(2×7)|28。
性质4:
(整除的传递性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:
如果c|b,b|a,那么c|a。
例如:
如果3|9,9|27,那么3|27。
(3)数的整除特征
①能被2整除的数的特征:
个位数字是0、2、4、6、8的整数.
②能被5整除的数的特征:
个位是0或5。
突破口
③能被3(或9)整除的数的特征:
各个数位数字之和能被3(或9)整除。
判断能被3(或9)整除的数还可以用“弃3(或9)法”:
例如:
8351746能被9整除么?
解:
8+1=9,3+6=9,5+4=9,在数字中只剩7,7不是9的倍数,所以8351746不能被9整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:
末两位数能被4(或25)整除。
⑤能被8(或125)整除的数的特征:
末三位数能被8(或125)整除。
⑥能被11整除的数的特征:
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除,依此反复检验。
例如:
判断3546725能否被13整除?
解:
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725.
上述办法也可以用来判断余数和末位数;
对于其他的数,可以将其分解成上述几个互质的数的乘积,再逐个考虑。
三约数与倍数
(1)公约数和最大公约数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
例如:
4是12和16的最大公约数,可记做:
(12 ,16)=4
(2)公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
例如:
36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36。
(3)最大公约数和最小公倍数的关系
如果用a和b表示两个自然数
1、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是:
(a,b)×[a,b]=a×b。
(多用于求最小公倍数)
2、(a,b) ≤ a ,b ≤ [a,b]
3、[a,b]是(a,b)的倍数,(a,b)是[a,b]的约数
4、(a,b)是a+b 和a-b 的约数,也是(a,b)+[a,b]和(a,b)-[a,b]的约数
(4)求最大公约数的方法很多,主要推荐:
短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如:
1、(短除法)用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
解:
∵
(30,60,75)=5×3=15
这个数最大是15。
2、(分解质因数法)求1001和308的最大公约数是多少?
解:
1001=7×11×13(这个质分解常用到) , 308=7×11×4
所以最大公约数是7×11=77
在这种方法中,先将数进行质分解,而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。
3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
解:
∵4811=2×1981+849,
1981=2×849+283,
849=3×283,
∴(4811,1981)=283。
补充说明:
如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任意两个数的最大公约数,再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果。
(5)约数个数公式
一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例如:
求240的约数的个数。
解:
∵240=24×31×51,
∴240的约数的个数是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,
∴240有20个约数。
四奇偶性
(1)奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。
特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。
最小的奇数是1 ,最小的偶数是0 .
(2)奇数与偶数的运算性质
性质1:
偶数±偶数=偶数,
奇数±奇数=偶数。
性质2:
偶数±奇数=奇数。
性质3:
偶数个奇数相加得偶数。
性质4:
奇数个奇数相加得奇数。
性质5:
偶数×奇数=偶数,
奇数×奇数=奇数。
偶数×偶数=偶数
(3)反证法
例:
桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只同时“翻转”.请说明:
无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
解:
要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下,必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是,按规定每次翻转6只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确,再利用假设说法和其他性质进行分析推理,最后得到一个不可能成立的结论,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
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