在分界点x=a处的导数时,一般利用左、右导数的定
义分别求该点处的左、右导数.如果二者存在且相等,则在这一点处的导数就存在,且等于左、右导数,否则函数在这点不可导;
(3)y=f(x)在x0点可导的充分必要条件是y=f(x)在x0点的左、右导数都存在;(4)函数y=f(x)在x0点连续是它在x0点可导的充分必要条件.答:
(1)正确.根据导数的定义.
-
)
(2)正确.一般情况下是这样,但是若已知f¢(x)连续时,也可以用f-¢(x0)=f¢(x0
+
(即导函数的左极限),f+¢(x0)=f¢(x0)(即导函数的右极限)求左右导数.
(3)不正确.应是左、右导数都存在且相等.
(4)不正确.f(x)在x0点连续仅是f(x)在x0可导的必要条件,而不是充分条件,如
y=
3
x、y=x都在x=0点连续,但是它们在x=0点都不可导.
2
2.设函数y=x+x,用导数定义求它在x=-1点处的导数.
解:
y¢(-1)=lim
x+x-0x+1
2
x®-1
=limx=-1.
x®-1
3
.设函数y=
x0=1点处的导数.
解:
y¢
(1)=lim
x-1x-1
x®1
=lim
1x+1
x®1
=
12
.
4.用定义求函数y=lnx在任意一点x(x>0)处的导数.
ln(x+Dx)-lnx
Dx
2
解:
y¢=lim
Dx®0
=limln[(1+
Dx®0
Dxx
x11
)Dx]x=lnex=
1x
.
5.对函数f(x)=x-2x,分别求出满足下列条件的点x0:
(1)f¢(x0)=0;
(2)f¢(x0)=-2.
解:
f¢(x)=lim
[(x+h)-2(x+h)]-(x-2x)
h
22
h®0
=lim(2x-2+h)=2x-2,
h®0
(1)由f¢(x0)=0,有2x0-2=0,得x0=1;
(2)由f¢(x0)=-2,有2x0-2=-2,得x0=0.6.已知某物体的运动规律为s=
12
gt,求时刻t时物体的运动速度v(t),及加速度a(t).
2
2
2
解:
速度为v(t)=s¢(t)=lim
g(t+h)/2-gt
h
g(t+h)-gt
h
/2
h®0
=lim(gt+
h®0
h2
)=gt,
加速度为a(t)=v¢(t)=lim
h®0
=limg=g.
h®0
7.求曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程与法线方程.解:
切线斜率k=y¢
(1)=
1x
x=1
=1,
切线方程为:
y-0=1×(x-1),即x-y-1=0;法线方程为:
y-0=
-11
(x-1),即x+y-1=0.
8.若函数f(x)可导,求下列极限:
f(x0-Dx)-f(x0)
Dx
f(x)x
(1)lim;
(2)lim
Dx®0x®0
(其中f(0)=0);
(3)lim
f(x0+h)-f(x0-h)
h
f(x0-Dx)-f(x0)
Dx
=limf(x)x
;(4)lim
f
(1)-f(1-sinx)
x
.
h®0x®0
解:
(1)lim
Dx®0
=-lim
f(x0-Dx)-f(x0)
-Dx
Dx®0
=-f¢(x0).
(2)lim
f(x)-f(0)
x-0
x®0x®0
=f¢(0).
(3)lim
f(x0+h)-f(x0-h)
h
h®0
=lim
f(x0+h)-f(x0)
h
h®0
+lim
f(x0-h)-f(x0)
-h
h®0
=f¢(x0)+f¢(x0)=2f¢(x0).
(4)lim
f
(1)-f(1-sinx)
x
x®0
=lim
x®0
f(1-sinx)-f
(1)sinx×=f¢
(1)´1=f¢
(1).
-sinxx
9.讨论下列函数在指定点的连续性和可导性:
(1)y=
3
x,在x=0点;
1ì
ïxarctan2,x¹0,
(2)f(x)=í在x=0点;x
ïx=0,î0,
ìx2,
(3)f(x)=í
îx,
x³1,x<1,
在x=1点.
解:
(1)y=
x是初等函数,且在x=0的邻域内有定义,因此y=
x在x=0点连续,
因为lim
x-0x-0
x®0
=lim
1x
2
x®0=+¥(极限不存在),所以y=
3
x在x=0点不可导.
(2)因为lim
xarctan(1/x)-0
x-0
2
x®0
=limarctan
x®0
1x
2
=
p2
,
1ì
pïxarctan2,x¹0,
¢x=0f(0)=所以f(x)=í在点可导,且,从而也连续.x
2ïx=0,î0,
(3)因为f
(1)=limx=1,f
(1)=limx=1,f
(1)=1,有limf(x)=f
(1),
x®1
-
-+2
x®1
+
x®1
ìx2,
所以,f(x)=í
îx,
x³1,x<1,
在x=1点连续,
又f-¢
(1)=lim
x-1
-
x®1
x-1
=1,f+¢
(1)=lim-
x®1
x-1x-1
2
=lim-(x+1)=2,由f-¢
(1)¹f+¢
(1),
x®1
ìx2,
所以,f(x)=í
îx,
x³1,x<1,
在x=1点不可导.
ìex,x<1,
10.设函数f(x)=í求f¢
(1).
îex,x³1,
解:
因为f-¢
(1)=lim
e-e
-
x
x®1
x-1
=elim-
x®1
e
x-1
-1
x-1
=e,f+¢
(1)=lim-
x®1
ex-ex-1
=e,所以f¢
(1)=e.
11.设函数f(x)=í
ìcosx,x<0,î2x+1,x³0,
求f¢(x).
解:
当x<0时,f¢(x)=(cosx)¢=-sinx,
当x>0时,f¢(x)=(2x+1)¢=lim
2(x+h)+1-(2x+1)
h
=lim2=2,
h®0
h®0
当x=0时,由f-¢(0)=lim
cosx-1
_
x®0
x-0
=0,f+¢(0)=lim+
x®0
2x+1-1x-0
=2,
ì-sinx,x<0,
¢于是函数在x=0点不可导,所以f(x)=í
2,x>0.î
习题2—1(B)
1.有一非均匀细杆AB长为20cm,又知AM的质量与从A点到点M的M为AB上一点,距离平方成正比,当AM为2cm时质量为8g,求:
(1)AM为2cm时,这段杆的平均线密度;
(2)全杆的平均线密度;(3)求点M处的密度.
解:
设AM=xcm,则AM杆的质量为m(x)=kx2g,由AM=2时,m=8,得k=2,
2(x+h)-2x
h
m
(2)2
=
2
2
所以,m(x)=2x,m¢(x)=lim
2
h®0
=lim(4x+2h)=4xg/cm.
h®0
(1)AM为2cm时,这段杆的平均线密度为
(2)全杆的平均线密度为
m(20)20
=80020
82
=4g/cm.
=40g/cm.
(3)点M处的密度为m¢(x)=4xg/cm.
ìex,x<0,
a,bf(x)=2.求的值,使函数在x=0点可导.í
îax+b,x³0
解:
首先函数f(x)要在x=0点连续.
而f(0)=lime=1,f(0)=lim(ax+b)=b,f(0)=b,
x®0
-
-x+
x®0
+
-+
由f(0)=f(0)=f(0),得b=1,此时f(0)=1.
又f-¢(0)=lim
e-1
-
x
x®0
x
=1,f+¢(0)=lim+
x®0
ax+1-1
x
=a,由f-¢(0)=f+¢(0)得a=1.
ìex,x<0,
所以,当a=1,b=1时,函数f(x)=í在x=0点可导.
îax+b,x³0
3.讨论函数y=tanx在x=0点的可导性.
解:
f-¢(0)=lim
tanx-0
-
x®0
x
=lim-
x®0
-tanxx
=-1,f+¢(0)=lim+
x®0
tanx-0
x
=lim+
x®0
tanxx
=1
因为f-¢(0)¹f+¢(0),所以函数y=tanx在x=0点不可导.
4.若函数f(x)可导,且f(x)为偶(奇)函数,证明f¢(x)为奇(偶)函数.证明:
(1)若f(x)是偶函数,有f(-x)=f(x),因为f¢(-x)=lim
f(-x+h)-f(-x)
h
=-lim
f(x-h)-f(x)
-h
=-f¢(x),
h®0h®0
所以f¢(x)是奇函数.
(2)若f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x),因为f¢(-x)=lim
f(-x+h)-f(-x)
h
=lim
f(x-h)-f(x)
-h
=f¢(x),
h®0h®0
所以f¢(x)是偶函数.
5.设非零函数f(x)在区间(-¥,+¥)因为lim
f(x+h)-f(x)
h
f(h)-1h
=lim
f(x)f(h)-f(x)
h
f(h)-f(0)
h
h®0h®0
=f(x)lim
h®0
=f(x)lim
h®0
=f(x)f¢(0)=af(x),
所以函数f(x)可导,且f¢(x)=af(x).6.求曲线y=x+解:
y¢(x)=lim
1x
上的水平切线方程.
=lim
[x+h+1/(x+h)]-(x+1/x)
h
y(x+h)-y(x)
h
h®0h®0
=lim[1+
h®
-1x(x+h)
]=1-
1x
2
,
由y¢(x)=0,得x=±,
当x=1时,y=2,此时水平切线是y-2=0(x-1),即y=2;当x=-1时,y=-2,此时水平切线是y+2=0(x-1),即y=-2.
7.在抛物线y=1-x2上求与直线x-y=0平行的切线方程.解:
对y=1-x2,导函数为:
y(x+h)-y(x)
h
2
y¢(x)=lim
h®0
=lim
[1-(x+h)]-(1-x)
h
22
h®0
=-lim(2x+h)=-2x,
h®0
设切点为(t,1-t),则切线斜率为k=y¢(t)=-2t,而直线斜率为k1=1,根据已知,有k=k1,即-2t=1,得t=-1/2,切点为(-1/2,3/4),切线方程为:
y-
34
=1×(x+
12
),即4x-4y+5=0.
8.已知曲线y=ax2与曲线y=lnx相切,求公切线方程.
解:
设切点为(x0,y0),则两曲线在切点处的斜率分别为k1=2ax0,k2=1/x0.
2
ìax0=lnx0,1
由两曲线在x=x0时相切,有í得lnx0=,即x0=
2î2ax0=1/x0.
e,
此时,a=
12e
,y0=
12
,公切线斜率为k=
1e
,
公切线方程为y-
12
=
1e
(x-e),化简得y-
1e
x+
12
=0.
习题2—2(A)
1.下列论述是否正确,并对你的回答说明理由:
(1)在自变量的增量比较小时,函数的微分可以近似刻画函数的增量,但是二者是不会相等的;
(2)函数y=f(x)在一点x处的微分df(x)=f¢(x)Dx仅与函数在这点处的导数有关;(3)函数在一点可微与在这点可导是等价的,在一点可微的函数在这点必然连续,但反过来不成立,即在一点连续的函数在这点未必可微.
答:
(1)前者正确,根据微分的定义Dy=dy+o(Dx)»dy;
后者不正确,如对线性函数y=ax+b,恒有Dy=dy(=aDx).
(2)不正确.因为df(x)
=f¢(x0)Dx,可见df(x)
x=x0x=x0
不仅与f¢(x0)有关,还与自
变量x在该点的增量Dx有关.
(3)正确.这就是本章定理2.1与定理1.2所述.2.求下列函数在x点处的微分dy:
(1)y=lnx;
(2)y=(3)y=
1x
1x
3
;x(x¹0)
(x¹0);(4)y=2x+x2.
dxx
3
解:
(1)因为y¢=,所以dy=
3
.
x
1
(x+h)
2
(2)因为y¢(x)=lim
x+h-
h
h®0
=lim
h®0+
x(x+h)+
x
2
=3×
1
,
x
2
所以,dy=
3×
dx
x
2
.
(3)因为y¢(x)=lim
1/x+h-1/
h
x
h®0
=lim
x-
2
x+h
h®0
=
1x
lim
-1x+
x+h
hx+xh
h®0
=-
12xx
,
所以,dy=-
dx2xx
.
(4)因为y¢(x)=lim
[2(x+h)+(x+h)]-(2x+x)
h
22
h®0
=lim(2+2x+h)=2(1+x),
h®0
所以dy=2(1+x)dx.
3.求下列函数在x=x0点处的微分dy
(1)y=cosx,x0=
p
2
x=x0
:
1x
;
(2)y=x+
=-sinx
1x
2
,x0=1.
解:
(1)因为y¢=-sinx,所以dy
(2)因为y¢=1-4
.设函数y=
1x
2
x=p/2x=p/2
×dx=-dx.
,所以dy
x=1
=[1-
]x=1×dx=0×dx=0.
x0=1,Dx=0.1时函数的微分dy.
解:
因为y¢=lim
x+h-
hDx2x
x=1
Dx=0.1
x
h®0
=lim
1x+h+
x
h®0
=
12x
,
所以dy
x=1Dx=0.1
==0.05.
5.用函数的局部线性化计算下列数值的近似值:
(1)sin30o30¢;
(2).05;(3)ln1.002.
解:
(1)取f(x)=sinx,x=30o30¢=61p/360,x0=30o=p/6,f¢(x)=cosx,由f(x)»f¢(x0)(x-x0)+f(x0),得
sin30o30¢»cos
p
6
×
p
360
+
12
=
3720
p+
12
»0.0076+0.5000=0.5076.
(2)取f(x)=
x,x=1.05,x0=1,f¢(x)=1/2x,
12
´0.05+1=1.025.
由f(x)»f¢(x0)(x-x0)+f(x0),得.05»
(3)取f(x)=ln(1+x),当x<<1时,先证明ln(1+x)»x,事实上,取x0=0,则f(x0)=f(0)=0f¢(x0)=f¢(0)=lim
ln(1+x)-0
x-0
=1,
x®0
由f(x)»f¢(x0)(x-x0)+f(x0),得ln(1+x)»1×(x-0)+0=x,利用ln(1+x)»x,得ln1.002=ln(1+0.002)»0.002.6.讨论下列函数在x=0点的可微性:
(1)f(x)=
3
ìx3,x<0,
x;
(2)f(x)=xx;(3)f(x)=í
îsinx,x³0.
23
解:
(1)因为lim
x
2
-0
x®0
x-0
=lim
1x
x®03
=¥,则f(x)=
3
2
x在x=0点不可导,
所以f(x)=
2
x在x=0不可微.
(2)因为lim
xx-0x-0
x®0
=limx=0,则f(x)=xx在x=0点可导,
x®0
所以f(x)=xx在x=0点可微.
x-0
-
3
(3)因为f-¢(0)=lim
x®0
x-0
=0,f+¢(0)=lim+
x®0
sinx-0x-0
=1,f-¢(0)¹f+¢(0),
ìx3,x<0,
f(x)=得在x=0点不可导,所以在x=0点也不可微.í
îsinx,x³0
习题2—2(B)
1.已知单摆的振动周期T=2p
lg
,其中g=980cm/s是重力加速度,l是摆长(单位:
2
cm).设原摆长为20cm,为使周期T增加0.05s,问摆长大约需要增加多少?
解:
dTdl
l=20
=lim
2pl/g-2pl-20
20/g
l®20
=
2pg
l®20
lim
1l+
20
=
p
20g
»0.02244
由DT»T¢(20)Dl,得Dl»
DTT¢(20)
»
0.050.02244
»2.23,
即为使周期T增加0.05s,摆长大约需要加长2.23cm.
2.用卡尺测量圆钢的直径D,如果测得D=60.03mm,且产生的误差可能为0.05mm,求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小.解:
设圆钢的截面积为A=A(D)=pD2/4,
[p(D+h)/4]-pD/4
h
2
2
A¢(D)=lim
h®0
=
p4
lim(2D+h)=
h®0
pD2
;
DA»A¢(D)DD=pD×DD/2,
当D=60.03,DD£0.05时,DA£3.1416´60.03´0.04/2»4.715mm2,所以绝对误差大约为4.715mm2;
DAA
»
pD×DD/2pD/4
2
=
2×DDD
£
2´0.0560.03
»0.0017,所以相对误差大约为0.17%.
3.若函数f(x)在x=0点连续,且lim解:
由lim
f(x)x
f(x)x
x®0
=1,求dy
x=0
.
x®0
=1,及分母极限limx=0,得分子极限limf(x)=0;
x®0
x®0
又因为函数f(x)在x=0点连续,所以f(0)=limf(x)=0,
x®0
f¢(0)=lim
f(x)-f(0)
x-0
x®0
=lim
f(x)x
x®0
=1,dy
x=0
=f¢(0)dx=dx.
Dydy
4.设函数f(x)在点x0可微,且f¢(x0)=2,求极限lim解:
由已知,有dy=2Dx,所以
Dydy
dy+o(Dx)
dy
o(Dx)2Dx
.
Dx®0
Dx®0
lim=lim
Dx®0
=lim[1+
Dx®0
]=1+0=1.
习题2—3(A)
1.下列叙述是否正确?
并根据你的回答说出理由:
(1)求复合函数的导数时要根据复合函数的关系,由“外”到“里”分别对各层函数求导,再把它们相乘;
(2)求任意函数的微分首先要求出该函数的导数,然后将该导数乘以自变量的微分.答:
(1)正确.这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形,通常称为复合函数的“链
式求导法则”,又形象地俗称为“扒皮法”,要注意不能漏项.
(2)不一定.还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分.2.求下列函数的导数:
(1)y=x2+
2
(2)y=x(x+
1x
+
3;x
2
);
3
(3)y=
(1-x)x
2
;(4)y=xlnx;
(5)y=2x
+tanx-sinx;(6)y=
cosxx
1+cosx
.
解:
(1)y¢=(x2)¢+2(
1
)¢+(3)¢=2x-
11.x
xx
+0=2x-
xx
3
31
(2)y¢=(x2)¢+(x-
2
)¢=
3-
52
3x2
x2-
32
x=2
(1-
1x
3
).
(3)y¢=(x
-2
-3x
-1
+3-x)¢=-
2
32
1x
3
+x
-.
(4)y¢=x¢lnx+x(lnx)¢=lnx+x/x=lnx+1.(5)y=(2x
)¢+(tanx)¢-
x(sinx)¢-x¢sinx
x
2
=2xln2+sec
2
x-
xcosx-sinx
x
2
.(6)y¢=
(cosx)¢(1+cosx)-cosx(1+cosx)¢
x(1+cosx)
2
=-
sin(1+cosx)
2
.
3.求下列函数在指定点的导数或微分:
(1)f(x)=sinx-cosx,求f¢(
p
3
)与f¢(
p
2
);
(2)y=2+
x
3
5-x
3
,求dy
x=0
与dy
x=2
.
解:
(1)f¢(x)=cosx+sinx,
f¢(
p
3
)=cos
p
3
+sin
p
3
3
=
1+2
3
,f¢(
p
2
2
)=cos
p
2
+sin
p
2
=1.
(2)y=(
25-x
)¢+(225
x
3
)¢=-
2´(-1)(5-x)29
2
+x389
=
2(5-x)
2
+x,
225
389
2
因为y¢(0)=,y¢
(2)=+4=,所以dy
x=0
=dx,dy
x=2
=dx.
4.求下列函数的导数:
(1)y=(2-x)7;
(2)y=cos(3x+2);(3)y=earctanx;(4)y=tan
-x;
(5)y=arcsine2x;(6)y=arccos(7
)y=(8)y=sin
1x
;
2
+x;
(9)y=cos2(1+ln2x);(10
)y=ln(x+.解:
(1)y¢=7(2-x)6(2-x)¢=-7(2-x)6.
(2)y¢=-sin(3x+2)(3x+2)¢=-3sin(3x+2).
e
arctanx
2
(3)y¢=e
arctanx
(arctanx)¢=
1+x
.
(4)y¢=sec
2
-x(-x)¢=
2x
2x
sec
2
-x
2-x
(1-x)¢=-
sec
2
-x
.
2-x
(5)y¢=
(e)¢
2x
-(e)
2
=
e(2x)¢
4x
=
2e
2x4x
.
-e=
-e=
(6)y¢=-
(1/x)¢-(1/x)
2
xx×
2
1x
x-1
2
x-1
2
.
(7)y¢=
(sin
2
x)¢
2
=x
2sinx(sinx)¢2+sin
2
2
=
sinxcosx+sin
2
.
2+sinx(x)¢
2
x
2
(8)y¢=cos+x(1+x)¢=
2
2+x
2
cos+x=
x+x
2
cos+x
2
.
(9)y¢=2cos(1+ln2x)[cos(1+ln2x)]¢=-2cos(1+ln2x)sin(1+ln2x)(1+ln2x)¢
=-sin(2+2ln2x)[0+
(2x)¢2x
]=-
sin(2+2ln2x)
x
.
(10)y¢=
(x+2x)¢x+2x
=
1x+2x
(1+
1x
)=
1+2x+x
xx
.
5.求下列函数的微分dy:
(1)y=x3+3x+ln3;
(2)y=x2sin2x;(3)y=ln2(1+x);(4)y=sec2(1-x);(5)y=
x-x
2
;(6)y=tan(1+2x2);
(7)y=arctan
-s