第二章 专题突破三.docx

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第二章专题突破三

专题突破三　例析频率分布直方图中的统计问题

一、求样本中限制条件下的个体所占频率

例1　观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2700,3000）的频率为（　　）

A．0.001B．0.1

C．0.2D．0.3

思维切入　求对应区间上的小矩形的面积．

答案　D

解析　由直方图的意义可知，在区间[2700,3000）内取值的频率为（3000－2700）×0.001＝0.3.

点评　频率为直方图中相应小长方形的面积，即频率＝纵坐标×横坐标差的绝对值．

跟踪训练1　某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示．

已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是________，成绩优秀的频率是________．

答案　100　0.15

解析　设参赛的人数为n，第二小组的频率为1－（0.30＋0.15＋0.10＋0.05）＝0.4，

依题意

＝0.4，

∴n＝100，优秀的频率是0.10＋0.05＝0.15.

二、求样本中限制条件下的个体的频数

例2　某市高三数学抽样考试中，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布如图所示．若130～140分数段的人数为90，则90～100分数段的人数为________．

思维切入　对应区间上的频数即为对应区间的频率×样本总体．

答案　810

解析　由于90分以上的考试人数是样本总体，则图中5个分数段的频率之和等于1，设130～140分数段的频率为p，则0.45＋0.25＋0.15＋0.10＋p＝1，即0.95＋p＝1，则p＝0.05，设该样本总体共有n个学生的分数，且设90～100分数段的人数为x，则由频率概念得

解得

故90～100分数段的人数为810.

点评　本题是频率分布条形图．由于各分数段的人数与频率成正比，则可由

＝

，求出x；题设条形图的纵坐标是“频率”这是有别于常规的，在审题时不能混淆．

跟踪训练2　为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：

kPa）的分组区间为[12,13），[13,14），[14,15），[15,16），[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．

答案　12

解析　志愿者的总人数为

＝50，

所以第三组人数为50×0.36×1＝18，

所以有疗效的人数为18－6＝12.

三、求频率分布直方图中的参数问题

例3　为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（　　）

A．0.27,78B．0.27,83

C．2.7,78D．2.7,83

思维切入　根据频率分布直方图的性质列方程求解．

答案　A

解析　注意到纵轴表示

，由图象可知，

前4组的公比为3，最大频率a＝0.1×33×0.1＝0.27，

设后6组公差为d，

则0.01＋0.03＋0.09＋0.27×6＋

·d＝1，

解得d＝－0.05，即后6组频率的公差为－0.05，

所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为

（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78，

故选A.

点评　解答本题关键是要利用频率分布直方图中残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在关系．

跟踪训练3　某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：

分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图所示），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20），[20,40），[40,60），[60,80），[80,100]．

（1）求频率分布直方图中x的值；

（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿．

解　

（1）由频率分布直方图可得20×x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.0125.

（2）由频率分布直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12.因为600×0.12＝72，所以估计600名新生中有72名学生可以申请住宿．

四、频率分布直方图中的数字特征

例4　从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：

cm）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（1）由图中数据求a的值；

（2）若要从身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为多少？

（3）估计这所小学的小学生身高的众数、中位数（保留两位小数）及平均数．

思维切入　众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中．中位数即为从小到大中间的数（或中间两数的平均数）．

解　

（1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，

所以10×（0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010）＝1，

解得a＝0.030.

（2）由直方图知，身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组的学生总数为100×10×（0.030＋0.020＋0.010）＝60，

其中身高在[140,150]的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内选取的学生人数为

×10＝3.

（3）根据频率分布直方图知，身高在[110,120）的小矩形最高，

所以这所小学的小学生身高的众数为

＝115（cm）．

又0.005×10＋0.035×10＝0.4＜0.5，

0．4＋0.030×10＝0.7＞0.5，

所以中位数在[120,130）内，可设为x，

则（x－120）×0.030＋0.4＝0.5，

解得x≈123.33，

所以中位数为123.33cm.

根据频率分布直方图，计算平均数为

105×0.05＋115×0.35＋125×0.3＋135×0.2＋145×0.1＝124.5（cm）．

点评　用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数．

跟踪训练4　某工厂对一批新产品的长度（单位：

mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（　　）

A．20B．25C．22.5D．22.75

答案　C

解析　产品的中位数出现在频率是0.5的地方．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×（x－20）＝0.5，

得x＝22.5，故选C.

1．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本的频率分布直方图如图所示．若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（　　）

A．20%B．25%C．60%D．80%

答案　D

2．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为（　　）

A．1万元B．2万元

C．3万元D．4万元

答案　C

3．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：

℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5），[21.5,22.5），[22.5,23.5），[23.5,24.5），[24.5,25.5），[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．

答案　9

4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000）（元）月收入段应抽出________人．

答案　25

解析　由频率分布直方图可得[2500,3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500＝2500（人），按分层抽样应抽出2500×

＝25（人）．

5．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：

吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．估计居民月均用水量的中位数．

解　由（0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04）×0.5＝1，解得a＝0.30.设中位数为x吨．

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.

而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.

所以2≤x<2.5.

由0.50×（x－2）＝0.5－0.48，解得x＝2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．

6．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所示的频率分布直方图：

（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/方立米，w至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．

解　

（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1），[1,1.5），[1.5,2），[2,2.5），[2.5,3）内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.

依题意，w至少定为3.

（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

组号

1

2

3

4

5

6

7

8

分组

[2,4）

[4,6）

[6,8）

[8,10）

[10,12）

[12,17）

[17,22）

[22,27]

频率

0.1

0.15

0.2

0.25

0.15

0.05

0.05

0.05

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为

4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5（元）.

一、选择题

1．从向阳小区抽取100户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其月用电量都在50到350度之间，制作频率分布直方图（如图所示）的工作人员粗心大意，位置t处未标明数据，则t等于（　　）

A．0.0041B．0.0042

C．0.0043D．0.0044

答案　D

解析　由题意得50×（0.006＋t＋0.0036＋0.0024×2＋0.0012）＝1，故t＝0.0044.故选D.

2．有一容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为（　　）

A．18B．36C．54D．72

答案　B

解析　易得样本数据落在区间[10,12]内的频率为0.18，则样本数据落在区间[10,12]内的频数为36.

3．测量某地新生婴儿的体重，得到其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重（单位：

g）在[2700,3000）的频率为（　　）

A．0.001B．0.1C．0.2D．0.3

答案　D

解析　由频率分布直方图可知，所求频率为0.001×300＝0.3.

4．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20），[20,22.5），[22.5,25），[25,27.5），[27.5,30]．根据频率分布直方图可知，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A．56B．60C．120D．140

答案　D

解析　设所求人数为N，则N＝2.5×（0.16＋0.08＋0.04）×200＝140，故选D.

5．如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高（单位：

cm）在区间[150,170）内的学生人数为（　　）

A．16B．20C．22D．26

答案　B

解析　根据频率分布直方图可知身高在区间[150,170）内的频率为（0.01＋0.03）×10＝0.4，所以身高在区间[150,170）内的学生人数为50×0.4＝20，故选B.

6．某学校对高二年级一次考试进行抽样分析，如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图，其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98），[98,100），[100,102），[102,104），[104,106]．已知样本中成绩小于100分的人数是36.则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是（　　）

A．90B．75C．60D．45

答案　A

解析　因为样本中成绩小于100分的人数是36，其对应频率之和为0.050×2＋0.100×2＝0.3，所以样本总数为36÷0.3＝120，所以样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数为120×2×（0.100＋0.150＋0.125）＝90，故选A.

7．如图是某校高一一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n＝200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是（　　）

A．6B．36C．60D．120

答案　D

解析　由题中频率分布直方图得，成绩不低于60分的人数为（0.012＋0.018）×20×200＝120.

8．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：

元）都在[10,50]内，其中支出金额在[30,50]内的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n等于（　　）

A．180B．160C．150D．200

答案　A

解析　[30,50]对应的概率为1－

×10＝0.65，所以n＝

＝180.

二、填空题

9．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60）内的汽车有________辆．

答案　80

解析　由频率分布直方图得：

时速在区间[40,60）内的汽车的频率为（0.01＋0.03）×10＝0.4.

∴时速在区间[40,60）内的汽车有0.4×200＝80（辆）．

10．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的条形图（如图所示）根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________．

答案　0.9

解析　这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（0×5＋0.5×20＋1.0×10＋1.5×10＋2.0×5）÷50＝0.9（小时）．故选B.

三、解答题

11．为了了解小学生的体能情况，抽取某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4，且第一小组的频数为5.

（1）求第四小组的频率；

（2）求参加这次测试的学生的人数；

（3）若一分钟跳绳次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率．

解　

（1）第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.

（2）设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，解得x＝50，故参加这次测试的学生有50人．

（3）由题意及频率分布直方图知，样本数据的达标率约为0.3＋0.4＋0.2＝0.9，

∴可估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.

12．为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25,30）内的数据不慎丢失，依据此图可得：

（1）年龄分组[25,30）对应小长方形的高度为________．

（2）这800名志愿者中年龄在[25,35）内的人数为________．

答案　

（1）0.04　

（2）440

解析　

（1）因为各个小长方形的面积之和为1，所以年龄分组[25,30）对应小长方形的高度为

＝0.04.

（2）年龄在[25,35）内的频率为0.04×5＋0.07×5＝0.55，人数为0.55×800＝440.

13．某校100名学生的期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．

（1）求图中a的值；

（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90）之外的人数.

分数段

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

x∶y

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5

解　

（1）由频率分布直方图知（2a＋0.02＋0.03＋0.04）×10＝1，解得a＝0.005.

（2）由频率分布直方图知语文成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.

由题中给出的比例关系知数学成绩在上述分数段的人数依次为

5,40×

＝20,30×

＝40,20×

＝25.

故数学成绩在[50,90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋25）＝10.