等差数列学习型教学案.docx
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等差数列学习型教学案
等差数列学案
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 §2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
知能目标解读
.通过实例,理解等差数列的概念,并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.
2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
3.体会等差数列与一次函数的关系,能用函数的观点解决等差数列问题.
4.掌握等差中项的定义,并能运用它们解决问题.
5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点:
等差数列的概念.
难点:
等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
.等差数列的定义
(1)关于等差数列定义的理解,关键注意以下几个方面:
①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项起或第4项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这些常数不一定相同,当这些常数不同时,此数列不是等差数列.
③求公差时,要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an或者d=an-an-1.
(2)如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列,根据等差数列的定义,只需证明对任意正整数n,an+1-an是同
一个常数是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:
判断一个数列是等差数列的定义式:
an+1-an=d.若证明一个数列不是等差数列,可举一个特例进行否定,也可以证明an+1-an或an-an-1不是常数,而是一个与n有关的变数即可.
2.等差数列的通项公式
(1)通项公式的推导常用方法:
方法一(叠加法):
∵{an}是等差数列,
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得:
an-a1=d,
∴an=a1+d.
方法二:
∵{an}是等差数列,
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+d.
即an=a1+d.
方法三(逐差法):
∵{an}是等差数列,则有
an=+++…++a1=a1+d.
注意:
等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法,应注意体会并应用.
(2)通项公式的变形公式
在等差数列{an}中,若m,n∈N+,则an=am+d.推导如下:
∵对任意的m,n∈N+,在等差数列中,有
am=a1+d ①
an=a1+d ②
由②-①得an-am=d,
∴an=am+d.
注意:
将等差数列的通项公式an=a1+d变形整理可得an=dn+a1-d,从函数角度来看,an=dn+是关于n的一次函数或常数函数,其图像是一条射线上一些间距相等的点,其中公差d是该射线所在直线的斜率,从上面的变形公式可以知道,d=
.
(3)通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项,可以利用通项公式求出项数.
3.从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f=a1+d=dn+,可知其图像是直线y=dx+上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是些正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.
当d>0时,{an}为递增数列,如图(甲)所示.
当d<0时,{an}为递减数列,如图所示.
当d=0时,{an}为常数列,如图所示.
4.等差中项
如果在数a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,
那么A叫做数a与b的等差中项.
注意:
等差中项A=
a,A,b成等差数列;
若a,b,c成等差数列,那么b=,2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的;
用递推关系an+1=
给出的数列是等差数列,an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.
知能自主梳理
.等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的 是 ,我们称这样的数列为等差数列.
2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做 .
3.等差数列的判断方法
(1)要证明数列{an}是等差数列,只要证明:
当n≥2时, .
(2)如果an+1=对任意的正整数n都成立,那么数列{an}是 .
(3)若a,A,b成等差数列,则A= .
4.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为
,它的推广通项公式为
.
5.等差数列的单调性
当d>0时,{an}是
数列;当d=0时,{an}是
数列;当d<0时,{an}是
数列.
[答案] 1.差 同一个常数
2.a与b的等差中项
3.
(1)an-an-1=d 等差数列 (3)
4.an=a1+d an=am+d
5.递增 常 递减
思路方法技巧
命题方向 等差数列的定义及应用
[例1] 判断下列数列是否为等差数列.
(1)an=3n+2;
(2)an=n2+n.
[分析] 利用等差数列定义,看an+1-an是否为常数即可.
[解析] an+1-an=3+2-=3.由n的任意性知,这个数列为等差数列.
an+1-an=2+-=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.
[说明] 利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数,若是,即为等差数列,若不是,则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列,这些不再是我们研究的范畴.
n=1
变式应用1 试判断数列{cn},cn=
是否为等差数列.
2n-5 n≥2
[解析] ∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2-5-2n+5=2.
∴cn+1-cn不等于同一个常数,不符合等差数列定义.
∴{cn}不是等差数列.
命题方向 等差数列通项公式的应用
[例2] 已知数列{an}为等差数列,且a5=11,a8=5,求a11.
[分析] 利用通项公式先求出a1和d,再求a11,也可以利用通项公式的变形形式an=am+d求解.
[解析] 解法一:
设数列{an}的首项为a1,公差为d,由等差数列的通项公式及已知,得
a1+4d=11 a1=19
解得
.
a1+7d=5 d=-2
∴a11=19+×=-1.
解法二:
∵a8=a5+d,
∴d===-2.
∴a11=a8+d=5+3×=-1.
[说明] 对于解法一,根据方程的思想,应用等差数列的通项公式先求出a1和d,确定通项,此法也称为基本量法.
对于解法二,根据通项公式的变形公式为:
am=an+d,m,n∈N+,进一步变形为d=,应注意掌握对它的灵活应用.
变式应用2 已知等差数列{an}中,a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.
a10=a1+9d=29
[解析] 设等差数列的公差为d,则有
,
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+×3=3n-1.
令an=3n-1=91,得n=
N+.
∴91不是此数列中的项.
命题方向 等差中项的应用
[例3] 已知a,b,c成等差数列,那么a2,b2,c2是否成等差数列?
[分析] 已知a,b,c成等差数列,由等差中项的定义,可知a+c=2b,然后要证其他三项a2,b2,c2是否成等差数列,同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.
[解析] 因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,
又a2+c2-2b2
=a2c+c2a+ab+bc
=a2c+c2a-2abc=ac=0,
所以a2+c2=2b2,
所以a2,b2,c2成等差数列.
[说明] 本题主要考查等差中项的应用,如果a,b,c成等差数列,则有a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式应用3 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq,且x1、x4、x5成等差数列.求:
p,q的值.
[分析] 由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式,结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.
[解析] 由x1=3,得2p+q=3, ①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3+25p+5q=25p+8q, ②
由①②得q=1,∴p=1.
[说明] 若三数a,b,c成等差数列,则a+c=2b,即b为a,c的等差中项,这个结论在已知等差数列的题中经常用到.
探索延拓创新
命题方向 等差数列的实际应用
[例4] 某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
[解析] 由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=-20,,每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+d
=200+×=-20n+220.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,
由an=-20n+220<0,解得n>11,
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.
[说明] 关于数列的应用题,首先要建立数列模型将实际问题数列化.
变式应用4 XX年将在伦敦举办奥运会,伦敦将会有很多的体育场,为了实际效果,体育场的看台一般呈“辐射状”.例如,某体育场一角的看台座位是这样排列的:
第一排有150个座位,从第二排起每一排都比前一排多20个座位,你能用an表示第n排的座位数吗?
第10排可坐多少人?
[分析] 分析题意知,看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.
[解析] 由题意知,每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列,
∴an=a1+d=150+×20=20n+130,
则a10=330,即第10排可坐330人.
名师辨误做答
[例5] 已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2.
(1)判断数列{an}是否为等差数列?
说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
[误解]
(1)∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2,
∴{an}是等差数列.
(2)由上述可知,an=1+2=2n-1.
[辨析] 忽视首项与所有项之间的整体关系,而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上,数列{an}从第2项起,以后各项组成等差数列,而{an}不是等差数列,an=f应该表示为“分段函数”型.
[正解]
(1)当n≥3时,an=an-1+2,
即an-an-1=2.
当n=2时,a2-a1=0不满足上式.
∴{an}不是等差数列.
(2)∵a2=1,an=an-1+2,
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
当n≥3时,an-an-1=2.
∴an=a2+d=1+2=2n-3,
又a1=1不满足此式.
∴an=
.
2n-3
课堂巩固训练
一、选择题
.(XX•重庆文,1)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=( )
A.12 B.14 c.16 D.18
[答案] D
[解析] 该题考查等差数列的通项公式,由其两项求公差d.
由a2=2,a3=4知d==2.
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为( )
A.2 B.3 c.-2 D.-3
[答案] c
[解析] ∵an=a1+d=dn+,
∴公差为-2,故选c.
3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为( )
A.1 B.2 c.3 D.4
[答案] c
[解析] 设方程x2-6x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=6.
∴其等差中项为=3.
二、填空题
4.在等差数列{an}中,a2=3,a4=a2+8,则a6=
.
[答案] 19
[解析] ∵a2=3,a4=a2+8,
a1+d=3
a1=-1
∴
,解得
.
a1+3d=a1+d+8
d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
5.已知a、b、c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图像与x轴的交点有 个.[答案] 1或2
[解析] ∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c,
又Δ=4b2-4ac=2-4ac=2≥0.
三、解答题
6.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an.
a1+4d=10
a1=-2
[解析] 由题意得
,解得
.
a1+11d=31
d=3
∴an=-2+×3=3n-5.
课后强化作业
一、选择题
.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,它的项数为( )
A.92 B.47 c.46 D.45
[答案] c
[解析] ∵a1=1,d=-1-1=-2,
∴an=1+•=-2n+3,
由-89=-2n+3,得n=46.
2.如果数列{an}是等差数列,则( )
A.a1+a8<a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 c.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5
[答案] B
[解析] 设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
3.已知数列3,9,15,…,3,…,那么81是它的第( )
A.12项 B.13项 c.14项 D.15项
[答案] c
[解析] 由3=81,解得n=14.
4.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于( )
A.-9 B.-8 c.-7 D.-4
[答案] B
a1+d=-5
[解析] 由题意,得
,
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
5.数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是( )
A.49 B.50 c.51 D.52
[答案] D
[解析] 由2an+1=2an+1得an+1-an=,
∴{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,
∴an=2+
=
,
∴a101==52.
6.已知a=,b=,则a,b的等差中项为( )
A.
B.
c.
D.
[答案] A
[解析] ===.
7.设数列{an}是递增等差数列,前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为( )
A.1 B.2 c.4 D.3
[答案] B
a1+a2+a3=12
a1+a3=8
[解析] 由题设
,,∴a2=4,∴
a1a2a3=48
a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根,
又a3>a1,∴a1=2.
8.{an}是首项为a1=4,公差d=2的等差数列,如果an=XX,则序号n等于( )
A.1003 B.1004 c.1005 D.1006
[答案]c
[解析]∵a1=4,d=2,
∴an=a1+d=4+2=2n+2,
∴2n+2=XX,
∴n=1005.
二、填空题
9.三个数lg,x,lg成等差数列,则x=
.
[答案] 0
[解析] 由等差中项的运算式得
x===0.
0.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=
,d=
.
[答案] -2,3
a5=a1+4d=10
a1+4d=10
a1=-2
[解析] 由题意得
,即
,∴
.
a1+a1+d+a1+2d=3
a1+d=1
d=3
1.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为
.
[答案] 4
[解析] ∵2=x+,∴x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
2.在数列{an}中,a1=3,且对于任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则an=
.
[答案] 3n2
[解析] 由题意得
-
=,
∴数列{}是首项为,公差为的等差数列,
∴
=n,∴an=3n2.
三、解答题
3.在等差数列{an}中:
已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
a1+d=-1
a1=-5
[解析] 由题意知
,解得
.
a1+d=2
d=1
a1+a1+d=12
a1=1
(2)由题意知
,解得
,
a1+d=7,
d=2
∴a9=a1+d=1+8×2=17.
4.已知函数f=
,数列{xn}的通项由xn=f确定.
求证:
{}是等差数列;
当x1=时,求x100.
[解析] xn=f=
,
所以==+,
-=
.
所以{}是等差数列;
由知{}的公差为.
又因为x1=,即=2.
所以=2+×,
=2+×=35.
所以x100=.
5.已知等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,a5•a6•a7=45,求数列{an}的通项公式.
[分析] 显然a6是a5和a7的等差中项,可利用等差中项的定义求解a5和a7,进而求an.[解析] 设a5=a6-d,a7=a6+d,
则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10
a5=1
a5=9
由已知可得
,解得
或
a5•a7=9
a7=9
a7=1
当a5=1时,d=4,
从而a1=-15,an=-15+×4=4n-19.
当a5=9时,d=-4,从而a1=25.
∴an=25+×(-4)=-4n+29.
所以数列{an}的通项公式为an=4n-19或an=-4n+29.
6.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算.
试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;
XX年北京奥运会是第几届?
2050年举行奥运会吗?
[解析] 由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,这个数列的通项公式为
an=1896+4=1892+4n.
(2)假设an=XX,由XX=1892+4n,得n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.
所以XX年北京奥运会是第29届,2050年不举行奥运会.
第2课时 等差数列的性质
知能目标解读
.掌握等差数列的项与序号的性质.
2.理解等差数列的项的对称性.
3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.
重点难点点拨
重点:
等差数列的性质.
难点:
应用等差数列的性质解决一些实际问题.
学习方法指导
.等差数列的公差与斜率的关系
(1)一次函数f=kx+b的图像是一条直线,斜率k=
.
当k=0时,对于常数函数f=b,上式仍然成立.
(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率.
特别地,如果已知等差数列{an}的任意两项an,am,由an=am+d,类比直线方程的斜率公式得d=
.
2.等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;
(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;
(3)若{kn}是等差数列,则{akn}也是等差数列.
知能自主梳理
.等差数列的项与序号的性质
(1)两项关系
通项公式的推广:
an=am+
.
多项关系
项的运算性质:
若m+n=p+q,则
=ap+aq.
特别地,若m+n=2p,则am+an=
.
2.等差数列的项的对称性
有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍),即a1+an=a2+
=ak+
=2a
.
3.等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列:
①{c+an}是公差为
的等差数列;
②{c•an}是公差为
的等差数列;
③{ank}是公差为
的等差数列.
若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列,则数列{pan+qbn}是公差为
的等差数列.
[答案] 1.d am+an 2ap
2.an-1 an-k+1
3.d cd kd pd1+qd2
思路方法技巧
命题方向 运用等差数列性质an=am+d解题
[例1] 若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p,则ap+q为( )
A.p+q
B.0
c.-
D.
[分析] 本题可用通项公式求解.
利用关系式an=am+d求解.
利用一次函数图像求解.
[答案] B
[解析] 解法一:
∵ap=a1+d,
aq=a1+d,
a1+d=q ①
∴
a1+d=p ②
①-②,得(p-q)d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.
代入①,有a1+=q,∴a1=p+q-1.
故ap+q=a1+d=p+q-1+=0.∴应选B.
解法二:
∵ap=aq+d,∴q=p+d,即q-p=d.
∵p≠q,∴d=-1.
故ap+q=ap+[]d=q+q=0.∴应选B.
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